Równanie okręgu.

Wzór: Równanie okręgu

Równanie okręgu o środku w punkcie  S = (a, b) i promieniu  r > 0 ma postać:

 (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

lub

 x^2+y^2 - 2ax -2by + c = 0 ,

gdzie  r^2 = a^2 + b^2- c > 0

Pierwsza postać równania okręgu

Aby zrozumieć równanie okręgu zauważ, że okrąg jest to zbiór punktów oddalonych od środka okręgu  S o  r , który jest promieniem okręgu.

Weźmy przykładowy punkt leżący na okręgu  P= (x,y) . Zauważ, że dla punktu P, jak i dla każdego punktu leżącego na okręgu, możemy wyznaczyć trójkąt prostokątny którego przeciwprostokątna to promień okręgu a jedna z przyprostokątnych jest równoległa do osi  X .

 

Punkt A ma współrzędne:

A=(x,b)

Zauważ, że długości przyprostokątnych trójkąta to

 |SA| = x - a

 |PA| = y - b

Powyższe zależności możesz łatwo wyznaczyć rzutując współrzędne punktów  S,\ P na osie układu współrzędnych. Dla tak stworzonego trójkąta prostokątnego możemy zastosować Twierdzenie Pitagorasa, które mówi, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

Stosując to twierdzenie w naszym przypadku otrzymamy

 |SA|^2 + |PA|^2 = r^2

Podstawiając wyznaczone przez nas odległości mamy

Wzór: Równanie okręgu

 (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

Powyższe równanie nazywamy równaniem okręgu.

 

Druga postać równania okręgu

Znamy już pierwszą postać równania okręgu teraz przyjrzyjmy się drugiej,

 

 (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

Podnosimy wyrażenia do kwadratu i porządkujemy:

 x^2-2ax+a^2 + y^2-2by+b^2 = r^2

Porządkujemy wyrażenia i przenosimy  r^2 na lewą stronę, pamiętamy przy tym że  r>0 , ponieważ jest to promień okręgu

 x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2  + b^2 - r^2 = 0

Skoro czynniki  a^2,\ b^2,\ r^2 to liczby (współrzędne środka okręgu i promień), to wyrażeniea^2+b^2-r^2 oznaczmy przez   c :

 a^2  + b^2 - r^2 = c

Podstawiając stałą do równania otrzymujemy drugą postać równania okręgu.

Wzór: Równanie okręgu 2

 x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem. Okrąg o równaniu  (x-6)^2 + (y + 3)^2 = 81 ma:

Promień o długości  6
Środek o współrzędnych  (6, -3)
Promień o długości  9
Środek o współrzędnych  (-6, 3)

Zadanie 1

Do okręgu należą punkty A=(7,2) i B =(0,3). Znajdź równanie tego okręgu, jeżeli wiadomo, że środek tego okręgu znajduje się na prostej o równaniu x=3.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Dane jest równanie okręgu (x+6)^2+(y-6)^2=81 . Środek tego okręgu znajduje się w punkcie:

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Wyznacz wzór okręgu jeżeli wiadomo, że jego pole wynosi 2\pi\ cm^2, a odcinek AB jest średnicą tego okręgu (  A=(3,6)B=(5,8) ).

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Odcinek AB jest średnicą okręgu O. A=(1,3),\ B=(-5,-7). Wyznacz równanie tego okręgu oraz jego obwód.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Punkt A=(3,0) jest punktem styczności okręgu do osi OX. Znajdź równanie tego okręgu wiedząc, że należy do niego punkt B=(6,9).

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Oblicz pole trójkąta równobocznego, wpisanego w okrąg o równaniu x^2+y^2-4x+6y+9=0.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Oblicz pole trójkąta równobocznego opisanego na okręgu o równaniu x^2+y^2-12x+4y+31 =0.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Punkty A=(2,6),\ B=(-2,-4),\ C=(-5,y_C) leżą na okręgu O. Odcinek AB jest średnicą tego okręgu. Punkt C leży w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Wyznacz równanie okręgu O oraz oblicz obwód trójkąta ABC (wynik podaj z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku).

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Prosta 5x-y+1=0 oraz parabola o równaniu y=x^2+2x+3 przecinają się w punktach A i B. Odcinek AB jest średnicą okręgu. Wyznacz równanie tego okręgu oraz oblicz jego długość.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

Punkty A=(2,0) i B=(0,2) są wierzchołkami prostokąta ABCD. Na tym prostokącie opisany jest okrąg o równaniu \left(x-\cfrac{5}{2}\right)^2+\left(y-\cfrac{5}{2}\right)^2=\cfrac{13}{2}. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków prostokąta ABCD.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

Wyznacz równanie okręgu wpisanego w kwadrat ABCD.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

Środkiem okręgu jest punkt S=(-2,-2). Wyznacz równanie tego okręgu wiedząc, że punkt A = (2,1) do niego należy.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

W okrąg o równaniu (x-2)^2+(y+3)^2=9 wpisano trójkąt równoboczny. Oblicz jego pole.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

Wyznacz równanie prostej w postaci kierunkowej, równoległej do prostej l: 3x+6y-1=0 i  przechodzącej przez środek okręgu o równaniu (x+1)^2+(y-4)^2=9.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15

Jeżeli punkty A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B) oraz C=(x_C,y_C) są wierzchołkami trójkąta, to pole tego trójkąta możemy obliczyć ze wzoru:

P_{ABC}=\cfrac{1}{2} | (x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A) |.

W oparciu o ten wzór, rozwiąż poniższe zadanie.

Dane są dwa punkty A=(2,3) i B=(4,7). Są one wierzchołkami trójkąta ABC.  O wierzchołku C wiadomo, że znajduje się na okręgu o równaniu x^2+y^2=9.

a) Znajdź wzór funkcji f, za pomocą której możemy obliczyć pole trójkąta ABC, gdy znamy pierwszą współrzędną wierzchołka C.

b) Oblicz współrzędne wierzchołka C, jeżeli wiadomo, że są to całkowite liczby nieujemne, a pole trójkąta ABC wynosi 4 .

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 16

Trójkąt ABC jest opisany za pomocą układu nierówności:

\left\{\begin{matrix}<br>y>|x+5|\\y<\cfrac{1}{5}x+\cfrac{17}{5}<br>\end{matrix}\right.

a) Znajdź współrzędne wierzchołków trójkąta ABC.

b) Znajdź równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 17

Wyznacz równanie okręgu o środku w punkcie S=(-2,1), stycznego do prostej o równaniu k:\ 3x-2y+4=0.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 18

Punkt A=(-3,-1) leży na okręgu O, który jest styczny do prostej k:\ 2x-y+1=0 w punkcie P=(1,3). Wyznacz równanie okręgu O.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 19

Oblicz pole obszaru opisanego za pomocą układu nierówności:

\left\{\begin{matrix}(x-2)^2+(y-3)^2 \leq 1\\y>3\\y>\sqrt{3}x+3-2\sqrt{3}\end{matrix}\right.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 20

Okrąg o środku w punkcie S=(2,-4) oraz promieniu r=3 ma równanie:

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 21

Okrąg o środku w punkcie S=(0,-2) oraz promieniu r=3 ma równanie:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 22

Dane jest równanie okręgu (x-6)^2+(y+3)^2=25. Obwód tego okręgu wynosi:

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 23

 Licza punktów wspólnych okręgu o równaniu (x-3)^2+(y+1)^2=4 z osiami układu współrzędnych jest równa:

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 24

Równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych oraz środek okręgu o równaniu x^2+y^2-4x+10y+20=0 to:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 25

Na okręgu o równaniu (x-5)^2+(y+2)^2=25 opisano trapez. Wysokość tego trapezu wynosi:

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 26

Dane jest równanie okręgu (x+7)^2+(y-3)^2=81 . Środek tego okręgu znajduje się w punkcie:

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 27

Okrąg o środku w punkcie S=(0,-2) oraz promieniu r=4 ma równanie:

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz