Nierówności liniowe na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Dana jest prosta o równaniu y=ax+b.  Prosta ta dzieli płaszczyznę na dwie części. W jednej części mamy punty, które spełniają nierówność

y<ax+b

a w drugiej części mamy punkty, które spełniają nierówność odwrotną

y>ax+b.

Zawsze punkty spełniające nierówność y>ax+b znajdują się powyżej prostej y=ax+b:

  • gdy a>0, to:


 

  • gdy a<0, to:

 

Punkty  y<ax+b znajdują się poniżej  prostej y=ax+b:

  • gdy a>0, to:

 

  • gdy a<0, to:

 

 

Przykład 1

 

Na powyższym rysunku żółtym kolorem została zaznaczona półpłaszczyzna, której punkty spełniają nierówność y<x+5.

Przykład 2

Zaznacz w układzie współrzędnych wszystkie punkty spełniające układ nierówności:

\left\{\begin{matrix} y<-2x+5\\  y<4x+9\\  \end{matrix}\right..

Rysujemy najpierw proste:

y=-2x+5

y=4x+9

Zaznaczamy półpłaszczyznę y<-2x+5. (Wszystkie punkty poniżej prostej y=-2x+5)

 

Teraz rysujemy drugą półpłaszczyznę y<4x+9. (Wszystkie punkty poniżej prostej y=4x+9).

 

Zatem punkty, które jednocześnie spełniają obie nierówności to:

 

Za pomocą układów nierówności liniowych, możemy opisywać figury geometryczne na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Przykład 3

Narysuj w układzie współrzędnych równoległobok, który został opisany za pomocą układu nierówności:

\left\{\begin{matrix} y>-x-5\\  y>x-4\\  y<x+5\\ y<-x+4  \end{matrix}\right.

Zaznaczamy punkty, które równocześnie spełniają wszystkie nierówności, tzn są

  • powyżej prostej y=-x-5
  • powyżej prostej y=x-4
  • poniżej prostej y=x+5
  • poniżej prostej y=-x+4

W rezultacie otrzymujemy równoległobok:

 


Zadanie 1

 

a) Opisz za pomocą układu nierówności czworokąt opisany na rysunku.

b) Sprawdź czy w ten czworokąt można wpisać okrąg.

c) Oblicz pole czworokąta ABCD.

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Oblicz pole obszaru opisanego za pomocą układu nierówności:

\left\{\begin{matrix}(x-2)^2+(y-3)^2 \leq 1\\y>3\\y>\sqrt{3}x+3-2\sqrt{3}\end{matrix}\right.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Trójkąt ABC jest opisany za pomocą układu nierówności:

\left\{\begin{matrix}<br>y>|x+5|\\y<\cfrac{1}{5}x+\cfrac{17}{5}<br>\end{matrix}\right.

a) Znajdź współrzędne wierzchołków trójkąta ABC.

b) Znajdź równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz