Okręgi styczne.

Dwa okręgi na płaszczyźnie mogą być rozłączne, styczne, przecinające się bądź pokrywające się.

Styczne wewnętrznie

Odległość między środkami okręgów |S_1S_2| jest równa różnicy promieni:

|S_1S_2|=|R-r|

 

Styczne zewnętrznie

Odległość między środkami okręgów |S_1S_2| jest równa sumie promieni:

|S_1S_2|=R+r

 

 

Okręgi rozłączne.

Rozłączne wewnętrznie

Odległość między środkami okręgów |S_1S_2| jest mniejsza niż różnica promieni:

|S_1S_2|<|R-r|

Jeżeli mamy dane dwa okręgi, z których jeden jest wewnątrz drugiego, to odległość między środkami tych okręgów jest największa, gdy są one styczne wewnętrznie. Jeżeli natomiast są one rozłączne, to odległość między ich środkami musi być mniejsza, niż przy okręgach stycznych wewnętrznie. Stąd powyższa nierówność.

Rozłączne zewnętrznie

Odległość między środkami okręgów |S_1S_2| jest większa niż suma promieni:

|S_1S_2|>R+r

Okręgi współśrodkowe

Oba okręgi mają środek w tym samym miejscu.

 

Okręgi przecinające się.

Okręgi przecinające się w dwóch punktach

Odległość między środkami okręgów |S_1S_2| spełnia nierówność:

|R-r|<|S_1S_2|<R+r

Odległość między środkami okręgów jest mniejsza, niż odległość między środkami okręgów zewnętrznie i jednocześnie jest większa niż odległość między środkami okręgów stycznych wewnętrznie.

 

Przykład 1

Dane są dwa okręgi za pomocą równań:

O_1:\ (x-3)^2+(y+2)^2=4,

O_2:\ (x-1)^2+(y+4)^2=9.

Określ wzajemne położenie tych okręgów.

Najpierw z równania okręgu odczytujemy środek oraz promień.

O_1:\ (x-3)^2+(y+2)^2=4

S_1=(3,-2)

r_1=2

 

O_2:\ (x-1)^2+(y+4)^2=9

S_2=(1,-4)

r_2=3

Obliczamy odległość między środkami obu okręgów:

|S_1S_2|=\sqrt{(1-3)^2+(-4+2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2} \approx 2,8

Obliczamy sumę i różnicę promieni:

r_1+r_2=2+3=5

|r_1-r_2|=|2-3|=1

 Zauważ, że spełniona jest  nierówność:

|r_1-r_2|<|S_1S_2|<r_1+r_2

1<2,8<5

Zatem okręgi O_1 i O_2 przecinają się w dwóch punktach.


Zadanie 1

Wyznacz dla jakich wartości parametru k, okręgi

O_1:\ (x-2k-1)^2+(y-2k+1)^2=4k^2

O_2:\ (x-3k+3)^2+(y-k)^2=16k^2

są wewnętrznie styczne.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Określ dla jakich wartości parametru m, okręgi

O_1:\ (x-m-4)^2+(y-m-2)^2=4,

O_2:\ (x+2)^2+(y-m)^2=16

mają ze sobą dwa punkty wspólne.

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Określ dla jakich wartości parametru m, okręgi

O_1:\ (x+m)^2+(y-2m)^2=9,

O_2:\ (x-3m)^2+(y+m)^2=16

mają ze sobą dokładnie jeden punkt wspólny.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

 

Trzy okręgi o tym samym promieniu R są parami zewnętrznie styczne. Połączono środki tych okręgów i powstał trójkąt S_1S_2S_3 (patrzy rysunek). Oblicz pole zacieniowanego obszaru.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz