Wzajemne położenie prostej i okręgu.

Ten temat był już pokrótce omawiany wcześniej. W tej nauce jednak zwrócimy uwagę na wzajemne położenie prostej i okręgu w układzie współrzędnych.

 Dany jest okrąg o równaniu:

O:\ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2

S=(a,b) - środek okręgu

r - promień okręgu

 

oraz prosta o równaniu

k:\ Ax+By+C=0.

d(S,k) jest to odległość punktu S od prostej k, czyli:

d(S,k)=\cfrac{|A* a+B * b+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

 

Prosta i okrąg:

  • mają dwa punkty wspólne, jeżeli

d(S,k)<r

  • są styczne, jeżeli

d(S,k)=r

  • nie przecinają się, jeżeli

d(S,k)>r

Przykład 1

Dane są prosta k:\ 4x+7y-5=0 oraz okrąg O:\ (x-5)^2+(y-4)^2=9. Zbadaj ich wzajemne położenie.

Z równania okręgu wyznaczamy jego środek oraz promień:

S=(5,4)

r=3

Obliczamy odległość środka okręgu od prostej k:

d(S,k)=\cfrac{|4* 5+7 * 4-5|}{\sqrt{4^2+7^2}}=\cfrac{|43|}{\sqrt{65}} \approx 5,3

d(S,k)>r

5,3>3

Zatem prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych.


Zadanie 1

Dany jest okrąg o równaniu x^2+y^2-2x-4y+1=0. Punkty A i B są punktami przecięcia tego okręgu z prostą o równaniu y=-x+5.

a) Znajdź współrzędne punktów A i B.

b) Oblicz długość odcinka AB.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Określ wzajemne położenie prostej k i okręgu O, gdzie

k:\ y=2x-4,

O:\ (x-3)^2+(y+1)^2=9.

Wyznacz punkty wspólne.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Ile punktów wspólnych ma prosta o równaniu y = -2x-1   z okręgiem o równaniu (x-3)^2+(y-2)^2=4?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Ile punktów wspólnych ma prosta o równaniu y = 2x+1    z okręgiem o równaniu (x-3)^2+(y-2)^2=4?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Wyznacz równanie okręgu o środku w punkcie S=(-2,1) stycznego do prostej o równaniu 3x-2y+4=0.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Punkt A=(-3,-1) leży na okręgu O, który jest styczny do prostej k:\ 2x-y+1=0 w punkcie P=(1,3). Wyznacz równanie okręgu O.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Znajdź te wartości parametru m, dla których okrąg o równaniu

x^2+y^2-3mx+2my+4m+1=0

ma z  prostą x=5 dokładnie jeden punkt wspólny.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Punkt styczności okręgu o równaniu (x-3)^2+(y-2)^2=4 z osią OX to:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Punkt styczności okręgu o równaniu (x-5)^2+(y+2)^2=25 z osią OY to:

 

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz