Wektory - definicja i działania na wektorach

Co to jest wektor?

Wektor swobodny

Graficznie wektor przedstawiany jest jako strzałka.

Wektory oznaczamy najczęściej małymi literami $\vec{u},\vec{v},\vec{w}, ...$ lub za pomocą punktu początkowego i końcowego wektora $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD},...$ .

Aby jednoznacznie opisać wektor, należy podać jego:

kierunek - wyznacza go prosta, na której znajduje się wektor,
zwrot - wyznacza go grot strzałki,
wartość - czyli długość wektora.

Wektor zaczepiony

Wektorem zaczepionym nazywamy uporządkowaną parę punktów (w geometrii analitycznej).
Na płaszczyźnie wektory mają dwie współrzędne. Dla odróżnienia ich od punktów, współrzędne wektorów zapisujemy w nawiasach kwadratowych. Np. $\vec{u}=[3,5]$ lub $\overrightarrow{AB}=[3,5]$ .

Współrzędne wektora

Jeżeli punkt $A=(x_A,y_A)$ jest początkiem wektora i punkt $B=(x_B,y_B)$ jest końcem tego wektora, to współrzędne wektora $\overrightarrow{AB}$ są równe:

$\overrightarrow{AB}=[x_B-x_A,y_B-y_A]$

Możemy to zapisać inaczej, jako:

$\vec{u}=[u_x,u_y]$ ,

$\begin{matrix} u_x&=&x_B-x_A,\\ u_y&=&y_B-y_A \end{matrix}$ ,

gdzie

$u_x$ jest pierwszą współrzędną,

$u_y$ jest drugą współrzędną.

Rysowanie wektorów:

Narysujemy teraz wektor $\vec{u}=[2,3]$ .

Zaznaczamy punkt, w którym chcemy zaczepić wektor $\vec{u}$ .

Współrzędne wektora $[2,3]$ wskazują nam gdzie znajduje się koniec wektora.

Pierwsza współrzędna oznacza przesunięcie poziome: np. $1$ oznacza przesunięcie o jedną jednostkę w prawo, $-2$ oznacza przesunięcie o dwie jednostki w lewo.

Druga współrzędna oznacza przesunięcie pionie: np. $3$ oznacza przesunięcie o trzy jednostki w górę, $-1$ oznacza przesunięcie o jedną jednostkę w dół.

Wyznaczając koniec wektora, najpierw przesuwamy się zgodnie z pierwszą współrzędną w prawo lub w lewo, a następnie z tego samego miejsca w górę lub w dół zgodnie z drugą współrzędną. Wówczas wyznaczymy koniec wektora.

Poniżej kilka innych przykładów:

Definicja: Równość wektorów

Dwa wektory są równe, jeżeli mają takie same współrzędne.(Mają taki sam kierunek, zwrot i wartość.)

Definicja: Wektor przeciwny

Dwa wektory są przeciwne, jeżeli ich współrzędne są liczbami przeciwnymi. (Mają taki sam kierunek i wartość ale przeciwne zwroty.)

Wektor $\vec{v}=[v_x,v_y]$ jest wektorem przeciwnym do wektora $\vec{u}=[u_x,u_y]$ wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki:

$\begin{matrix} v_x&=&-u_x \\ v_y&=&-u_y \end{matrix}$

Przykład 1

Wskaż wektor przeciwny do wektora $\vec{u}=[3,-5]$ .

Oznaczmy wektor przeciwny jako $\vec{v}=[v_x,v_y]$ . Zgodnie z definicją muszą być spełnione warunki:

$\begin{matrix} v_x&=&-3 \\ v_y&=&-(-5)=5 \end{matrix}$

Zatem wektor przeciwny do wektora $\vec{u}$ , to $\vec{v}=[-3,5]$ .

Działania na wektorach

Na wektorach można wykonywać podstawowe operacje takie jak:

Dodawanie dwóch wektorów polega na dodanie do siebie odpowiednich współrzędnych i otrzymaniu wektora wynikowego

$\vec{u}=[u_x,u_y]$

$\vec{v}=[v_x,v_y]$

$\vec{u}+\vec{v}=[u_x,u_y]+[v_x,v_y]=[u_x+v_x,u_y+v_y]$

Przy odejmowaniu od siebie dwóch wektorów postępujemy analogicznie i odejmujemy od siebie odpowiednie współrzędne

$\vec{u}=[u_x,u_y]$

$\vec{v}=[v_x,v_y]$

$\vec{u}-\vec{v}=[u_x,u_y]-[v_x,v_y]=[u_x-v_x,u_y-v_y]$

Mnożenie wektora przez liczbę polega na zwykłym przemnożeniu każdej współrzędnej tego wektora przez daną liczbę

$\vec{u}=[u_x,u_y]$

$k \in \mathbb{R}$

$k* \vec{u}=k * [u_x,u_y]=[k * u_x,k* u_y]$

Definicja: Wektory równoległe

Dane są dwa wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$ . Te wektory są równoległe, jeżeli istnieje pewna liczba $k \in \mathbb{R}$ , taka, że:

$\vec{u}=k* \vec{v}$

lub

$\vec{v}=k* \vec{u}$ .

Dane są wektory: $\vec{u}=[3,7]$ , $\vec{v}=[-2,3]$ , $\vec{w}=[0,-2]$ .

Ćwiczenia są dostępne dla zalogowanych uzytkowników posiadających konto premium

Zadanie 1

Dane są dwa niezerowe wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$ takie, że:

$\vec{u}=[3p+1,2]$ ,

$\vec{v}=[4,-2p]$ .

Wyznacz takie wartości parametru $p$ , aby trójkąt rozpięty na wektorach $\vec{u}$ i $\vec{v}$ był równoramienny.

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
3 komentarze

Zadanie 2

Znajdź wektor jednostkowy równoległy do wektora $\vec{u}=[8,6]$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
0 komentarzy

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.

Rozumiem

Wektory - definicja i działania na wektorach

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Co to jest wektor?

Wektor swobodny

Wektor zaczepiony

Rysowanie wektorów:

Działania na wektorach

Dane są wektory: , , .

Zadanie 1

Zadanie 2

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Dane są wektory: $\vec{u}=[3,7]$ , $\vec{v}=[-2,3]$ , $\vec{w}=[0,-2]$ .