Wektor - podstawowe informacje.

Wektor swobodny

Graficznie wektor przedstawiany jest jako strzałka.

Wektory oznaczamy najczęściej  małymi literami \vec{u},\vec{v},\vec{w},  ... lub za pomocą punktu początkowego i końcowego wektora \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD},....

Aby jednoznacznie opisać wektor, należy podać jego:

  • kierunek - wyznacza go prosta, na której znajduje się wektor,
  • zwrot - wyznacza go grot strzałki,
  • wartość - czyli długość wektora.

Wektor zaczepiony

Wektorem zaczepionym nazywamy uporządkowaną parę punktów (w geometrii analitycznej).
Na płaszczyźnie wektory mają dwie współrzędne. Dla odróżnienia ich od punktów, współrzędne wektorów zapisujemy w nawiasach kwadratowych. Np.\vec{u}=[3,5] lub \overrightarrow{AB}=[3,5].

 

Wzór: Współrzędne wektora

Jeżeli punkt A=(x_A,y_A) jest początkiem wektora i punkt B=(x_B,y_B) jest końcem tego wektora, to współrzędne wektora \overrightarrow{AB} są równe:

\overrightarrow{AB}=[x_B-x_A,y_B-y_A]

Możemy to zapisać inaczej, jako:

\vec{u}=[u_x,u_y],

\begin{matrix} u_x&=&x_B-x_A,\\ u_y&=&y_B-y_A  \end{matrix},

gdzie

u_x jest pierwszą współrzędną,

u_y jest drugą współrzędną.

 

Rysowanie wektorów:

Narysujemy teraz wektor \vec{u}=[2,3].

Zaznaczamy punkt, w którym chcemy zaczepić wektor \vec{u}.

Współrzędne wektora [2,3] wskazują nam gdzie znajduje się koniec wektora.

Pierwsza współrzędna oznacza przesunięcie poziome: np. 1 oznacza przesunięcie o jedną jednostkę w prawo, -2 oznacza przesunięcie o dwie jednostki w lewo.

Druga współrzędna oznacza przesunięcie pionie: np. 3 oznacza przesunięcie o trzy jednostki w górę, -1 oznacza przesunięcie o jedną jednostkę w dół.

Wyznaczając koniec wektora, najpierw przesuwamy się zgodnie z pierwszą współrzędną  w prawo lub w lewo, a następnie z tego samego miejsca w górę lub w dół zgodnie z drugą współrzędną. Wówczas wyznaczymy koniec wektora.

 

 Poniżej kilka innych przykładów:

 

 

Definicja: Równość wektorów

Dwa wektory są równe, jeżeli mają takie same współrzędne.(Mają taki sam kierunek, zwrot i wartość.)

 

Definicja: Wektor przeciwny

Dwa wektory są przeciwne, jeżeli ich współrzędne są liczbami przeciwnymi. (Mają taki sam kierunek i wartość ale przeciwne zwroty.)

Wektor \vec{v}=[v_x,v_y] jest wektorem przeciwnym do wektora \vec{u}=[u_x,u_y] wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki:

\begin{matrix} v_x&=&-u_x \\  v_y&=&-u_y  \end{matrix}

 

Przykład 1

Wskaż wektor przeciwny do wektora \vec{u}=[3,-5].

Oznaczmy wektor przeciwny jako \vec{v}=[v_x,v_y]. Zgodnie z definicją muszą być spełnione warunki:

\begin{matrix} v_x&=&-3 \\  v_y&=&-(-5)=5  \end{matrix}

Zatem wektor przeciwny do wektora \vec{u}, to \vec{v}=[-3,5].

 

Wzór: Długość wektora

Długość wektora obliczamy następująco:

  • \vec{u}=[u_x,u_y]

|\vec{u}|=\sqrt{u_x^2+u_y^2}

  • \overrightarrow{AB}=[x_B-x_A,y_B-y_A]

|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

 

Przykład 2

Oblicz długości wektorów:

a) \quad \vec{u}=[6,3]

b) \quad \overrightarrow{AB}, gdzie A=(5,2) i B=(1,2).

 

a) \quad \vec{u}=[6,3]

Podstawiamy współrzędne wektora do wzoru i obliczamy długość:

|\vec{u}|=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}

 

b) \quad \overrightarrow{AB}, gdzie A=(5,2) i B=(1,2).

Obliczamy długość:

|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=\sqrt{(1-5)^2+(2-2)^2}=\sqrt{4^2}=4

Działania na wektorach.

Dodawanie wektorów

\vec{u}=[u_x,u_y]

\vec{v}=[v_x,v_y]

\vec{u}+\vec{v}=[u_x,u_y]+[v_x,v_y]=[u_x+v_x,u_y+v_y]

Interpretacja geometryczna:

Dodawanie wektorów - Metoda równoległoboku.

Mamy dane dwa wektory \vec{u} i \vec{v}.

 

Zaczepiamy te wektory w jednym punkcie.


Rysujemy równoległobok, w ten sposób, że wektory \vec{u} i \vec{v} są bokami tego równoległoboku:


Sumą wektorów \vec{u} i \vec{v} jest wektor, którego początek pokrywa się z punktem zaczepienia obu wektorów, a koniec znajduje się na przecięciu dorysowanych przerywaną linią boków równoległoboku:


 

Przykład 1

Oblicz sumę wektorów \vec{u}=[3,-1] i \vec{v}=[2,2].

 

Zgodnie ze wzorem, dodajemy te wektory po współrzędnych:

\vec{u}+\vec{v}=[3,-1]+[2,2]=[3+2,-1+2]=[5,1]

 

Odejmowanie wektorów

\vec{u}=[u_x,u_y]

\vec{v}=[v_x,v_y]

\vec{u}-\vec{v}=[u_x,u_y]-[v_x,v_y]=[u_x-v_x,u_y-v_y]

Interpretacja geometryczna:

Mamy dane dwa wektory \vec{u} i \vec{v}. Podobnie jak przy dodawaniu wektorów zaczepiamy je w jednym punkcie. Różnicą wektorów \vec{u} i \vec{v} jest wektor, który łączy końce tych wektorów.

 

Przykład 2

Oblicz różnicę wektorów \vec{u}=[3,-1] i \vec{v}=[2,2].

 

Zgodnie ze wzorem, odejmujemy te wektory po współrzędnych:

\vec{u}-\vec{v}=[3,-1]-[2,2]=[3-2,-1-2]=[1,-3]

 

Mnożenie wektora przez liczbę

\vec{u}=[u_x,u_y]

k \in \mathbb{R}

k* \vec{u}=k * [u_x,u_y]=[k  * u_x,k* u_y]

Interpretacja geometryczna:

Mamy dany wektor \vec{u} oraz liczbę k.

Po pomnożeniu tego wektora przez liczbę, otrzymujemy wektor o tym samym kierunku.

Jeżeli liczba k jest dodatnia to zwrot tego wektora jest taki sam jak wektora \vec{u}:

Jeżeli natomiast liczba k jest ujemna, to zwrot wektora jest przeciwny do wektora \vec{u}:

 

Przykład 3

Oblicz iloczyn wektora \vec{u}=[3,-1] przez liczbę 2.

 

Zgodnie ze wzorem, mnożymy każdą współrzędną wektora przez daną liczbę:

2 * \vec{u}=2 *  [3,-1]=[2* 3,2* (-1)]=[6,-2]

 

Definicja: Wektory równoległe

Dane są dwa wektory \vec{u} i \vec{v}. Te wektory są równoległe, jeżeli istnieje pewna liczba k \in \mathbb{R}, taka, że:

\vec{u}=k* \vec{v}

lub

\vec{v}=k* \vec{u}.

 

Dane są wektory: \vec{u}=[3,7], \vec{v}=[-2,3], \vec{w}=[0,-2].


Zadanie 1

Dane są dwa niezerowe wektory \vec{u} i \vec{v} takie, że:

\vec{u}=[3p+1,2],

\vec{v}=[4,-2p].

Wyznacz takie wartości parametru p, aby trójkąt rozpięty na wektorach \vec{u} i \vec{v} był równoramienny.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Znajdź wektor jednostkowy równoległy do wektora \vec{u}=[8,6].

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz