Przykłady zadań związanych z figurami na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Różne zadania w układzie współrzędnych

Obliczy pole trapezu przedstawionego na powyższym rysunku.

Aby obliczyć pole powyższego trapezu musimy znać długości jego podstaw (długości odcinków $AB$ i $CD$ ) oraz wysokość trapezu czyli odległość między podstawami.

Odczytajmy najpierw współrzędne punktów będących wierzchołkami trapezu:

$A=(-1,-1)$

$B=(4,-1)$

$C=(6,3)$

$D=(-3,3)$

Długość odcinka $AB$ to odległość punktów $A$ i $B$ od siebie, czyli:

$|AB|=\sqrt{(-1-4)^2+(-1-(-1))^2}=\sqrt{5^2}=5$

UWAGA!

Bez obliczania w tym przypadku można odczytać z układu współrzędnych długość odcinka $AB$ jako wartość bezwzględna różnicy pierwszych współrzędnych tych punktów. Drugie współrzędne obu punktów są takie same!

$|AB|=|-1-4|=|-5|=5$

Długość odcinka $CD$ to odległość punktów $C$ i $D$ od siebie, czyli:

$|AB|=\sqrt{(6-(-3))^2+(3-3)^2}=\sqrt{9^2}=9$

Odcinek $AB$ leży na prostej $y=-1$

Odcinek $CD$ leży na prostej $y=3$

Odległość tych prosty od siebie to:

$h=|-1-3|=|4|=4$

Obliczamy pole trapezu:

$P=\cfrac{(|AB|+|CD|)* h}{2}=\cfrac{(5+9)* 4}{2}=28$

Zadanie 1

Punkty $A= (0,3)$ i $B=(3,0)$ są wierzchołkami prostokąta $ABCD$ . Punkt $S= \left(\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{2}\right)$ jest punktem przecięcia się przekątnych tego prostokąta. Znajdź współrzędne pozostałych wierzchołków.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 2

Długości przekątnych równoległoboku $ABCD$ to:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 3

Punkty $A=(1,2)$ oraz $C=(-2,3)$ są przeciwległymi wierzchołkami prostokąta $ABCD$ . Środek okręgu opisanego na tym prostokącie znajduje się w punkcie:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 4

Punkty $A=(3,5)$ i $C=(9,0)$ są przeciwległymi wierzchołkami prostokąta. Współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego prostokąta to:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 5

Punkty $A=(2,6),\ B=(-2,-4),\ C=(-5,y_C)$ leżą na okręgu $O$ . Odcinek $AB$ jest średnicą tego okręgu. Punkt $C$ leży w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Wyznacz równanie okręgu $O$ oraz oblicz obwód trójkąta $ABC$ (wynik podaj z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku).

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
0 komentarzy

Zadanie 6

W okrąg o równaniu $(x-2)^2+(y+3)^2=9$ wpisano trójkąt równoboczny. Oblicz jego pole.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 7

Ile wynosi pole figury ograniczonej przez osie układu współrzędnych i prostą $y=-x+2$ ?

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 8

Na okręgu o równaniu $(x-5)^2+(y+2)^2=25$ opisano trapez. Wysokość tego trapezu wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
0 komentarzy

Zadanie 9

Punkt K = (2, 2) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego KLM, w którym |KM| = |LM|. Odcinek MN jest wysokością trójkąta i N = (4, 3). Zatem

Rozwiązanie video

Matura podstawowa
0 komentarzy
CKE

Zadanie 10
Premium

Oblicz pole i obwód figury ograniczonej prostymi:

$y=-2$

$y=3$

$y=5x+8$

$y=-\cfrac{5}{2}x+8$

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
0 komentarzy

Zadanie 11
Premium

Oblicz pole trójkąta równobocznego, wpisanego w okrąg o równaniu $x^2+y^2-4x+6y+9=0$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
0 komentarzy

Zadanie 12
Premium

Oblicz pole trójkąta równobocznego opisanego na okręgu o równaniu $x^2+y^2-12x+4y+31 =0$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
0 komentarzy

Zadanie 13
Premium

Punkty $A=(\sqrt{3},3),\ B=(6\sqrt{3},3)$ oraz $C$ są wierzchołkami trójkąta. Wierzchołki $A$ i $C$ leżą na prostej $k$ , która jest nachylona do osi $OX$ pod kątem $30^{\circ}$ . Z wierzchołka $C$ poprowadzono wysokość, która przecina bok $AB$ w punkcie $D$ . Długość odcinka $CD$ wynosi $2$ .

a) Wyznacz równanie prostej $k$

b) Oblicz współrzędne wierzchołka $C$

c) Oblicz pole trójkąta $DBC$

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
4 komentarze

Zadanie 14
Premium

Punkt $A=(-1,3)$ jest wierzchołkiem równoległoboku $ABCD$ . Proste $k: x+y+1=0$ i $l: -2x+y+1 =0$ zawierają dwa boki tego równoległoboku, a ich przecięcie wyznacza wierzchołek $C$ . Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków równoległoboku $ABCD$ . Wykonaj rysunek pomocniczy do zadania.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 15
Premium

Uzasadnij, że czworokąt przedstawiony na rysunku jest trapezem prostokątnym, a następnie oblicz jego pole.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 16
Premium

Dane są punkty $A =(1,2)$ i $B =(3,1)$ . Znajdź taki punkt $C$ o współrzędnych całkowitych, leżący na prostej $y=3$ , aby odcinek $AB$ był przyprostokątną trójkąta $ABC$ , a następnie oblicz pole tego trójkąta.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 17
Premium

Punkty $A =(3,5)$ i $B =(5,3)$ są wierzchołkami równoległoboku $ABCD$ . Punkt $E = (1,1)$ jest środkiem boku $CD$ . Znajdź pozostałe wierzchołki tego równoległoboku i uzasadnij, że jest on prostokątem, a następnie oblicz jego pole.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 18
Premium

Punkty $A=(2,0)$ i $B=(0,2)$ są wierzchołkami prostokąta $ABCD$ . Na tym prostokącie opisany jest okrąg o równaniu $\left(x-\cfrac{5}{2}\right)^2+\left(y-\cfrac{5}{2}\right)^2=\cfrac{13}{2}$ . Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków prostokąta $ABCD$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
0 komentarzy

Zadanie 19
Premium

Punkty $A = (\sqrt{3},3)$ i $C = (3\sqrt{3},5)$ są wierzchołkami trójkąta równoramiennego $ABC$ ( $|AC|=|BC|$ ). Bok $AB$ tego trójkąta jest równoległy do osi $OX$ . Oblicz miary kątów tego trójkąta oraz jego pole.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 20
Premium

Punkty $A=(\sqrt{3}, 8)$ i $D=(2\sqrt{3}, 11)$ są wierzchołkami równoległoboku $ABCD$ . $AB || CD$ i są równoległe do osi $OX$ . Punkt $S=(\cfrac{7\sqrt{3}}{2}, \cfrac{19}{2})$ jest punktem przecięcia przekątnych tego równoległoboku. Oblicz:

a) miary kątów równoległoboku $ABCD$

b) współrzędne wierzchołków $B$ i $C$

c) pole równoległoboku $ABCD$

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 21
Premium

Punkty $A=(\sqrt{3},6)$ i $C=(2\sqrt{3},9)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$ . Bok $AB$ tego trójkąta jest równoległy do osi $OX$ . Z wierzchołka $A$ opuszczona jest wysokość na bok $BC$ i przecina ona ten bok w punkcie $D$ . Oblicz długość odcinka $AD$ jeżeli wiadomo, że odcinek ten znajduje się na prostej o równaniu $y=\cfrac{\sqrt{3}}{3}x +5$ .

Wskazówka: Skorzystać z interpretacji współczynnika kierunkowego prostej.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
6 komentarzy

Zadanie 22
Premium

Oblicz pole zacieniowanej figury.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
3 komentarze

Zadanie 23
Premium

Jeżeli punkty $A=(x_A,y_A)$ , $B=(x_B,y_B)$ oraz $C=(x_C,y_C)$ są wierzchołkami trójkąta, to pole tego trójkąta możemy obliczyć ze wzoru:

$P_{ABC}=\cfrac{1}{2} | (x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A) |$ .

W oparciu o ten wzór, rozwiąż poniższe zadanie.

Dane są dwa punkty $A=(2,3)$ i $B=(4,7)$ . Są one wierzchołkami trójkąta $ABC$ . O wierzchołku $C$ wiadomo, że znajduje się na okręgu o równaniu $x^2+y^2=9$ .

$a)$ Znajdź wzór funkcji $f$ , za pomocą której możemy obliczyć pole trójkąta $ABC$ , gdy znamy pierwszą współrzędną wierzchołka $C$ .

$b)$ Oblicz współrzędne wierzchołka $C$ , jeżeli wiadomo, że są to całkowite liczby nieujemne, a pole trójkąta $ABC$ wynosi $4$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
0 komentarzy

Zadanie 24
Premium

$k$ jest pewną liczbą całkowitą. Punkty $A=(k,k)$ i $B=(k+2,k+2)$ są wierzchołkami pewnego trapezu równoramiennego (gdzie $AD \parallel BC$ ). Prosta o równaniu $x=k+3$ jest osią symetrii tego trapezu.

$a)$ Znajdź współrzędne pozostałych wierzchołków.

$b)$ Oblicz miarę kąta przy podstawie.

$c)$ Oblicz pole trapezu.

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
2 komentarze

Zadanie 25
Premium

$a)$ Opisz za pomocą układu nierówności czworokąt opisany na rysunku.

$b)$ Sprawdź czy w ten czworokąt można wpisać okrąg.

$c)$ Oblicz pole czworokąta $ABCD$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
2 komentarze

Zadanie 26
Premium

Trójkąt $ABC$ jest opisany za pomocą układu nierówności:

$\left\{\begin{matrix}<br>y>|x+5|\\y<\cfrac{1}{5}x+\cfrac{17}{5}<br>\end{matrix}\right.$

$a)$ Znajdź współrzędne wierzchołków trójkąta $ABC$ .

$b)$ Znajdź równanie okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
5 komentarzy

Zadanie 27
Premium

Punkty $A=(6,4)$ i $B=(2,1)$ są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Wysokość tego trójkąta wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 28
Premium

Punkty $A=(9,-2)$ i $C=(1,2)$ są przeciwległymi wierzchołkami prostokąta $ABCD$ . Promień okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.