Trójkąt prostokątny

Drukuj

Trójkąt prostokątny

Definicja: Trójkąt prostokątny

Trójkąt prostokątny to trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty.

Własności trójkąta prostokątnego

Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny

$r = \cfrac{a + b - c}{2} = \cfrac{ab}{a + b + c}$

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym

$R = \cfrac{c}{2}$

Pole trójkąta prostokątnego

Pole trójkąta prostokątnego można obliczyć korzystając z kilku wzorów. Przyjmujemy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Pole trójkąta prostokątnego o bokach $a, b, c$ i wysokości $h$ wyraża się wzorami:

$P = \cfrac{1}{2}ab = \cfrac{1}{2}c * h$

$P = \cfrac{1}{2}b^2 \tan \alpha = \cfrac{1}{2}a^2 \tan \beta$

$P = \cfrac{1}{4}c^2 \sin 2\alpha$

Zadanie 1

Pole trójkąta prostokątnego wynosi $3$ . Wiadomo, że $\tan\alpha=\cfrac{2}{3}$ , gdzie $\alpha$ to jeden z kątów ostrych tego trójkąta. Oblicz długości przyprostokątnych.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
4 komentarze

Zadanie 2

Dany jest trójkąt prostokątny (patrz rysunek). $h$ jest wysokością opuszczoną z wierzchołka kąta prostego. Wykaż, że $h=\cfrac{ab}{c}$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
2 komentarze

Zadanie 3

W trójkącie $ABC$ z wierzchołka $C$ poprowadzono środkową, która przecięła bok $AB$ w punkcie $D$ . Wiadomo, że $|AD|=|BD|=|CD|$ . Wykaż, że jest to trójkąt prostokątny.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 4
Premium

W trójkącie prostokątnym $ABC$ , przyprostokątna $AB$ jest $5$ razy dłuższa od przyprostokątnej $BC$ . Z wierzchołka $B$ tego trójkąta poprowadzono wysokość, która przecięła przeciwprostokątną $AC$ w punkcie $D$ . Oblicz stosunek $|AD|$ do $|DC|$

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
2 komentarze

Zadanie 5
Premium

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$ o przeciwprostokątnej $AC$ . Wiadomo, że $\sin\sphericalangle ACB = 0,8$ oraz że $|AB|=8\ cm$ . Oblicz pole koła opisanego na tym trójkącie.