Twierdzenie cosinusów

Dla dowolnego trójkąta, prawdziwy jest następujący związek

c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma

Podobne zależności zachodzą w przypadku pozostałych boków

a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha

b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta

Przykład 1

Oblicz długość boku b trójkąta poniżej.

 

Z twierdzenia cosinusów otrzymujemy zależność:

(\sqrt{2})^2=b^2+b^2-2bb\cos 15^{\circ}

2=2b^2-2b^2\cos 15^{\circ}

\cos15^{\circ}=\cos(45^{\circ}-30^{\circ})=\cos45^{\circ}\cos30^{\circ}+\sin45^{\circ}\sin30^{\circ}=

=\cfrac{\sqrt{2}}{2} * \cfrac{\sqrt{3}}{2} + \cfrac{\sqrt{2}}{2} * \cfrac{1}{2} =\cfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

2=2b^2(1-\cos 15^{\circ})

1=b^2(1-\cos 15^{\circ})

b^2=\cfrac{1}{1-\cos 15^{\circ}}=\cfrac{1}{1-\cfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=\cfrac{4}{4-\sqrt{6}-\sqrt{2}}

b=\sqrt{\cfrac{4}{4-\sqrt{6}-\sqrt{2}}}=\cfrac{2}{\sqrt{4-\sqrt{6}-\sqrt{2}}}


Zadanie 1

Trójkąt ABC ma boki długości a=4, b=6 i c=7. Która z odpowiedzi jest prawidłowa?

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz