Twierdzenie sinusów

Twierdzenie: Sinusów

W dowolnym trójkącie, stosunek długości boku do sinusa kąta leżącego na przeciw tego boku jest równy średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.

\cfrac{a}{\sin\alpha}=\cfrac{b}{\sin\beta}=\cfrac{c}{\sin\gamma}=2R

Przykład 1

Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o promieniu R=\sqrt{6}. Trójkąt ABC ma kąty o miarach 45^{\circ},\ 60^{\circ},\ 75^{\circ}. Oblicz długości boków trójkąta ABC.

Z twierdzenia sinusów wiemy, że:

\cfrac{a}{\sin 60^{\circ}}=\cfrac{b}{\sin 75^{\circ}}=\cfrac{c}{\sin 45^{\circ}}=2\sqrt{6}

\sin 60^{\circ}=\cfrac{\sqrt{3}}{2}

\sin 45^{\circ}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}

Wartość \sin 75^{\circ} obliczymy korzystając ze wzoru na sinus sumy kątów:

\sin 75^{\circ}=\sin (45^{\circ}+30^{\circ})=\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ}+\cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ}=

=\cfrac{\sqrt{2}}{2} * \cfrac{\sqrt{3}}{2}+\cfrac{\sqrt{2}}{2} * \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

Obliczamy długości kolejnych boków trójkąta:

\cfrac{a}{\cfrac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{6}

a=3\sqrt{2}

\cfrac{b}{\cfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=2\sqrt{6}

b=\cfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} * 2\sqrt{6}=\cfrac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})* \sqrt{6}}{2} =3+\sqrt{3}

\cfrac{c}{\cfrac{\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{6}

c=\cfrac{\sqrt{2}}{2} * 2\sqrt{6}=2\sqrt{3}

Długości boków trójkąta ABC to:

a=3\sqrt{2}

b=3+\sqrt{3}

c=2\sqrt{3}


Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz