Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą graficzną oraz wyznacznikową.

Spis treści

1. Metoda graficzna rozwiązywania układów równań liniowych.
2. Przykład zastosowania metody graficznej.
3. Wyznacznik stopnia drugiego.
4. Metoda wyznacznikowa rozwiązywania układów równań liniowych.

---

Metoda graficzna rozwiązywania układów równań liniowych.

Metoda graficzna rozwiązywania układów równań liniowych polega na wykreśleniu w układzie współrzędnym prostych odpowiadających równaniom układu. Jeżeli wykreślone proste

• przecinają się - układ równań posiada dokładnie jedno rozwiązanie (układ oznaczony). Rozwiązaniem układu są współrzędne punktu przecięcia, które odczytujemy z wykresu.

• pokrywają się - układ równań posiada wówczas nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony). Rozwiązaniami układu są współrzędne punktów leżących na prostych.

 

• są do siebie równoległe - układ równań nie posiada wtedy rozwiązań (układ sprzeczny)

 

 

Przykład zastosowania metody graficznej.

 

 

[tex]\left\{\begin{matrix}2x - y + 4 = 0 \\ x - 2y = 4 \end{matrix} \right.[/tex]

Przekształcamy równania, do postaci prostej kierunkowej.

Pierwsza prosta

[tex]2x - y + 4 = 0[/tex]

[tex]2x + 4 = y[/tex]

[tex]y = 2x + 4[/tex]

wybieramy dwa punkty leżące na tej prostej, np.:

[tex](0, 4)[/tex] i [tex](-2, 0)[/tex]

Druga prosta

[tex]x - 2y = 4[/tex]

[tex]x - 4 = 2y[/tex]

[tex]\cfrac{1}{2}x - 2 = y[/tex]

[tex]y = \cfrac{1}{2}x - 2[/tex]

wybieramy dwa punkty leżące na tej prostej, np. :

[tex](0, -2)[/tex] i [tex](4, 0)[/tex]

Rysujemy proste

Proste mają punkt wspólny [tex]P=(-4,-4)[/tex], który jest jedynym rozwiązaniem układu.

Wyznacznik stopnia drugiego.

[tex]\left|
\begin{array}{ c c }
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array} \right| = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2[/tex]

 

Metoda wyznacznikowa rozwiązywania układów równań liniowych.

Dla układu równań

[tex]\left\{  \begin{matrix}
A_1 x + B_1 y = C_1 \\
A_2 x + B_2 y = C_2 \\
\end{matrix} \right.[/tex]

tworzymy wyznaczniki

[tex]W = \left| \begin{array}{ c c } A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2 \end{array} \right|[/tex]

[tex]W_x = \left| \begin{array}{ c c } C_1 & B_1 \\ C_2 & B_2 \end{array} \right|[/tex]

[tex]W_y = \left| \begin{array}{ c c } A_1 & C_1 \\ A_2 & C_2 \end{array} \right|[/tex]

• Jeżeli [tex]W \neq 0[/tex] to układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie (układ oznaczony) takie, że:

[tex]x = \cfrac{W_x}{W} \quad y = \cfrac{W_y}{W}[/tex]

• Jeżeli [tex]W = W_x= W_y = 0[/tex] to układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony)
• Jeżeli [tex]W = 0[/tex] i [tex]W_x \neq 0[/tex]  lub [tex]W = 0[/tex] i [tex]W_y \neq 0[/tex] to układ nie posiada rozwiązania (układ sprzeczny)

 

[tex]W[/tex] nazywany jest wyznacznikiem głównym.

 

 

 

[tex]\left\{  \begin{matrix}
2x - y = -4 \\
x - 2y = 4
\end{matrix} \right.[/tex]

Obliczamy wyznaczniki

[tex]W = \left| \begin{array}{ c c } 2 & -1 \\ 1 & -2 \end{array} \right| = 2 \cdot (-2) - (-1) \cdot 1 = -4 + 1 = -3[/tex]

[tex]W_x = \left| \begin{array}{ c c } -4 & -1 \\ 4 & -2 \end{array} \right| = (-4) \cdot (-2) - (-1) \cdot 4 = 8 + 4 = 12[/tex]

[tex]W_y = \left| \begin{array}{ c c } 2 & -4 \\ 1 & 4 \end{array} \right| = 2 \cdot 4 - (-4) \cdot 1 = 8 + 4 = 12[/tex]

ponieważ [tex]W \neq 0[/tex], zatem układ ma jedno rozwiązanie

[tex]\left\{\begin{matrix}
x = \cfrac{W_x}{W} = \cfrac{12}{-3} = -4 \\
y = \cfrac{W_y}{W} = \cfrac{12}{-3} = -4 \\
\end{matrix} \right.[/tex]

 

 

 

[tex]\left\{  \begin{matrix}
2x  = 12 -3y \\
y + 4x - 14 = 0
\end{matrix} \right.[/tex]

Doprowadzamy układ do odpowiedniej postaci

[tex]\left\{  \begin{matrix}
2x + 3y = 12 \\
4x + y = 14 \\
\end{matrix} \right.[/tex]

obliczamy wyznaczniki

[tex]W = \left| \begin{array}{ c c } 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} \right| = 2 \cdot 1 - 3 \cdot 4 = 2 - 12 = -10[/tex]

[tex]W_x = \left| \begin{array}{ c c } 12 & 3 \\ 14 & 1 \end{array} \right| = 12 \cdot 1 - 3 \cdot 14 = 12 - 42 = -30[/tex]

[tex]W_y = \left| \begin{array}{ c c } 2 & 12 \\ 4 & 14 \end{array} \right| = 2 \cdot 14 - 12 \cdot 4 = 28 - 48 = -20[/tex]

ponieważ [tex]W \neq 0[/tex], zatem układ ma jedno rozwiązanie

[tex]\left\{  \begin{matrix}
x = \cfrac{W_x}{W} = \cfrac{-30}{-10} = 3 \\
y = \cfrac{W_y}{W} = \cfrac{-20}{-10} = 2
\end{matrix} \right.[/tex]

 

 

 

[tex]\left\{  \begin{matrix}
2x + 3y = 2 \\
-6x - 9y = -6
\end{matrix} \right.[/tex]

Obliczamy wyznaczniki

[tex]W = \left| \begin{array}{ c c } 2 & 3 \\ -6 & -9 \end{array} \right| = 2 \cdot (-9) - 3 \cdot (-6) = -18 + 18 = 0[/tex]

[tex]W_x = \left| \begin{array}{ c c } 2 & 3 \\ -6 & -9 \end{array} \right| = 2 \cdot (-9) - 3 \cdot (-6) = -18 + 18 = 0[/tex]

[tex]W_y = \left| \begin{array}{ c c } 2 & 2 \\ -6 & -6 \end{array} \right| = 2 \cdot (-6) - 2 \cdot (-6) = -12 + 12 = 0[/tex]

ponieważ [tex]W = W_x = W_y = 0[/tex], zatem układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań.

Można znaleźć przykładowe rozwiązania przekształcając np. pierwsze równanie układu

[tex]x = 1 - \cfrac{3}{2}y[/tex]

zatem rozwiązania równania są postaci

[tex](1-\cfrac{3}{2}t, t)[/tex], gdzie [tex]t \in \mathbb{R}[/tex]

Np.

• dla [tex]t = 0[/tex] mamy rozwiązanie [tex]x=1, y=0[/tex]

• dla [tex]t = 2[/tex] mamy zaś rozwiązanie [tex]x=-2, y=2[/tex]

---

Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Liceum » Geometria analityczna » #123

Rozwiąż poniższy układ równań metodą graficzną:

[tex]\left\{\begin{matrix}
x+y=1\\
-3x+y=5
\end{matrix}\right.[/tex]

---

Liceum » Geometria analityczna » #122

Rozwiąż poniższy układ równań metodą graficzną:

[tex]\left\{\begin{matrix}
x-y=-5\\
2x+y=8
\end{matrix}\right.[/tex]

---