Jesteś w: Matematyka
»
Tablice matematyczne
»
Liceum
»
Geometria analityczna
»
Wektory - definicja i dzi...

Wektory - definicja i działania na wektorach.

Spis treści

Wektor - podstawowe informacje.
Działania na wektorach.

Wektor - podstawowe informacje.

Wektor swobodny

Graficznie wektor przedstawiany jest jako strzałka.

Wektory oznaczamy najczęściej małymi literami [tex]\vec{u},\vec{v},\vec{w}, ...[/tex] lub za pomocą punktu początkowego i końcowego wektora [tex]\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD},...[/tex].

Aby jednoznacznie opisać wektor, należy podać jego:

kierunek - wyznacza go prosta, na której znajduje się wektor,
zwrot - wyznacza go grot strzałki,
wartość - czyli długość wektora.

Wektor zaczepiony

Wektorem zaczepionym nazywamy uporządkowaną parę punktów (w geometrii analitycznej).
Na płaszczyźnie wektory mają dwie współrzędne. Dla odróżnienia ich od punktów, wektory zapisujemy w nawiasach kwadratowych. Np.[tex]\vec{u}=[3,5][/tex] lub [tex]\overrightarrow{AB}=[3,5][/tex].

Wzór: Współrzędne wektora

Jeżeli punkt [tex]A=(x_A,y_A)[/tex] jest początkiem wektora i punkt [tex]B=(x_B,y_B)[/tex] jest końcem tego wektora, to współrzędne wektora [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] są równe:

[tex]\overrightarrow{AB}=[x_B-x_A,y_B-y_A][/tex]

Możemy to zapisać inaczej, jako:

[tex]\vec{u}=[u_x,u_y][/tex],

[tex]\begin{matrix}
u_x&=&x_B-x_A,\\
u_y&=&y_B-y_A
\end{matrix}[/tex],

gdzie

[tex]u_x[/tex] jest pierwszą współrzędną,

[tex]u_y[/tex] jest drugą współrzędną.

Rysowanie wektorów:

Narysujemy teraz wektor [tex]\vec{u}=[2,3][/tex].

Zaznaczamy punkt, w którym chcemy zaczepić wektor [tex]\vec{u}[/tex].

Współrzędne wektora [tex][2,3][/tex] wskazują nam gdzie znajduje się koniec wektora.

Pierwsza współrzędna oznacza przesunięcie poziome: np. [tex]1[/tex] oznacza przesunięcie o jedną jednostkę w prawo, [tex]-2[/tex] oznacza przesunięcie o dwie jednostki w lewo.

Druga współrzędna oznacza przesunięcie pionie: np. [tex]3[/tex] oznacza przesunięcie o trzy jednostki w górę, [tex]-1[/tex] oznacza przesunięcie o jedną jednostkę w dół.

Wyznaczając koniec wektora, najpierw przesuwamy się zgodnie z pierwszą współrzędną w prawo lub w lewo, a następnie z tego samego miejsca w górę lub w dół zgodnie z drugą współrzędną. Wówczas wyznaczymy koniec wektora.

Poniżej kilka innych przykładów:

Definicja: Równość wektorów

Dwa wektory są równe, jeżeli mają takie same współrzędne.(Mają taki sam kierunek, zwrot i wartość.)

Definicja: Wektor przeciwny

Dwa wektory są przeciwne, jeżeli ich współrzędne są liczbami przeciwnymi. (Mają taki sam kierunek i wartość ale przeciwne zwroty.)

Wektor [tex]\vec{v}=[v_x,v_y][/tex] jest wektorem przeciwnym do wektora [tex]\vec{u}=[u_x,u_y][/tex] wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki:

[tex]\begin{matrix}
v_x&=&-u_x \\
v_y&=&-u_y
\end{matrix}[/tex]

Przykład 1

Wskaż wektor przeciwny do wektora [tex]\vec{u}=[3,-5][/tex].

Oznaczmy wektor przeciwny jako [tex]\vec{v}=[v_x,v_y][/tex]. Zgodnie z definicją muszą być spełnione warunki:

[tex]\begin{matrix}
v_x&=&-3 \\
v_y&=&-(-5)=5
\end{matrix}[/tex]

Zatem wektor przeciwny do wektora [tex]\vec{u}[/tex], to [tex]\vec{v}=[-3,5][/tex].

Wzór: Długość wektora

Długość wektora obliczamy następująco:

[tex]\vec{u}=[u_x,u_y][/tex]

[tex]|\vec{u}|=\sqrt{u_x^2+u_y^2}[/tex]

[tex]\overrightarrow{AB}=[x_B-x_A,y_A-y_B][/tex]

[tex]|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}[/tex]

Przykład 2

Oblicz długości wektorów:

[tex]a) \quad \vec{u}=[6,3][/tex]

[tex]b) \quad \overrightarrow{AB}[/tex], gdzie [tex]A=(5,2)[/tex] i [tex]B=(1,2)[/tex].

[tex]a) \quad \vec{u}=[6,3][/tex]

Podstawiamy współrzędne wektora do wzoru i obliczamy długość:

[tex]|\vec{u}|=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}[/tex]

[tex]b) \quad \overrightarrow{AB}[/tex], gdzie [tex]A=(5,2)[/tex] i [tex]B=(1,2)[/tex].

Obliczamy długość:

[tex]|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=\sqrt{(1-5)^2+(2-2)^2}=\sqrt{4^2}=4[/tex]

Do góry

$|\vec{u}|$

$|\vec{v}|$

$|\overrightarrow{AB}|$

$5 $

$\sqrt{29}$

$\sqrt{26}$

Działania na wektorach.

Do góry

Dodawanie wektorów

[tex]\vec{u}=[u_x,u_y][/tex]

[tex]\vec{v}=[v_x,v_y][/tex]

[tex]\vec{u}+\vec{v}=[u_x,u_y]+[v_x,v_y]=[u_x+v_x,u_y+v_y][/tex]

Interpretacja geometryczna:

Dodawanie wektorów - Metoda równoległoboku.

Mamy dane dwa wektory [tex]\vec{u}[/tex] i [tex]\vec{v}[/tex].

Zaczepiamy te wektory w jednym punkcie.

Rysujemy równoległobok, w ten sposób, że wektory [tex]\vec{u}[/tex] i [tex]\vec{v}[/tex] są bokami tego równoległoboku:

Sumą wektorów [tex]\vec{u}[/tex] i [tex]\vec{v}[/tex] jest wektor, którego początek pokrywa się z punktem zaczepienia obu wektorów, a koniec znajduje się na przecięciu dorysowanych przerywaną linią boków równoległoboku:

Przykład 1

Oblicz sumę wektorów [tex]\vec{u}=[3,-1][/tex] i [tex]\vec{v}=[2,2][/tex].

Zgodnie ze wzorem, dodajemy te wektory po współrzędnych:

[tex]\vec{u}+\vec{v}=[3,-1]+[2,2]=[3+2,-1+2]=[5,1][/tex]

Odejmowanie wektorów

[tex]\vec{u}=[u_x,u_y][/tex]

[tex]\vec{v}=[v_x,v_y][/tex]

[tex]\vec{u}-\vec{v}=[u_x,u_y]-[v_x,v_y]=[u_x-v_x,u_y-v_y][/tex]

Interpretacja geometryczna:

Mamy dane dwa wektory [tex]\vec{u}[/tex] i [tex]\vec{v}[/tex]. Podobnie jak przy dodawaniu wektorów zaczepiamy je w jednym punkcie. Różnicą wektorów [tex]\vec{u}[/tex] i [tex]\vec{v}[/tex] jest wektor, który łączy końce tych wektorów.

Przykład 2

Oblicz różnicę wektorów [tex]\vec{u}=[3,-1][/tex] i [tex]\vec{v}=[2,2][/tex].

Zgodnie ze wzorem, odejmujemy te wektory po współrzędnych:

[tex]\vec{u}-\vec{v}=[3,-1]-[2,2]=[3-2,-1-2]=[1,-3][/tex]

Mnożenie wektora przez liczbę

[tex]\vec{u}=[u_x,u_y][/tex]

[tex]k \in \mathbb{R}[/tex]

[tex]k\cdot \vec{u}=k \cdot [u_x,u_y]=[k \cdot u_x,k\cdot u_y][/tex]

Interpretacja geometryczna:

Mamy dany wektor [tex]\vec{u}[/tex] oraz liczbę [tex]k[/tex].

Po pomnożeniu tego wektora przez liczbę, otrzymujemy wektor o tym samym kierunku.

Jeżeli liczba [tex]k[/tex] jest dodatnia to zwrot tego wektora jest taki sam jak wektora [tex]\vec{u}[/tex]:

Jeżeli natomiast liczba [tex]k[/tex] jest ujemna, to zwrot wektora jest przeciwny do wektora [tex]\vec{u}[/tex]:

Przykład 3

Oblicz iloczyn wektora [tex]\vec{u}=[3,-1][/tex] przez liczbę [tex]2[/tex].

Zgodnie ze wzorem, mnożymy każdą współrzędną wektora przez daną liczbę:

[tex]2 \cdot \vec{u}=2 \cdot [3,-1]=[2\cdot 3,2\cdot (-1)]=[6,-2][/tex]

Definicja: Wektory równoległe

Dane są dwa wektory [tex]\vec{u}[/tex] i [tex]\vec{v}[/tex]. Te wektory są równoległe, jeżeli istnieje pewna liczba [tex]k \in \mathbb{R}[/tex], taka, że:

[tex]\vec{u}=k\cdot \vec{v}[/tex]

lub

[tex]\vec{v}=k\cdot \vec{u}[/tex].

Do góry