Wzajemne położenie dwóch okręgów.

Spis treści

1. Okręgi styczne.
2. Okręgi rozłączne.
3. Okręgi przecinające się.

---

Okręgi styczne.

Dwa okręgi na płaszczyźnie mogą być rozłączne, styczne, przecinające się bądź pokrywające się.

Styczne wewnętrznie

Odległość między środkami okręgów [tex]|S_1S_2|[/tex] jest równa różnicy promieni:

[tex]|S_1S_2|=|R-r|[/tex]

 

Styczne zewnętrznie

Odległość między środkami okręgów [tex]|S_1S_2|[/tex] jest równa sumie promieni:

[tex]|S_1S_2|=R+r[/tex]

 

 

Okręgi rozłączne.

Rozłączne wewnętrznie

Odległość między środkami okręgów [tex]|S_1S_2|[/tex] jest mniejsza niż różnica promieni:

[tex]|S_1S_2|<|R-r|[/tex]

Jeżeli mamy dane dwa okręgi, z których jeden jest wewnątrz drugiego, to odległość między środkami tych okręgów jest największa, gdy są one styczne wewnętrznie. Jeżeli natomiast są one rozłączne, to odległość między ich środkami musi być mniejsza, niż przy okręgach stycznych wewnętrznie. Stąd powyższa nierówność.

Rozłączne zewnętrznie

Odległość między środkami okręgów [tex]|S_1S_2|[/tex] jest większa niż suma promieni:

[tex]|S_1S_2|>R+r[/tex]

Okręgi współśrodkowe

Oba okręgi mają środek w tym samym miejscu.

 

Okręgi przecinające się.

Okręgi przecinające się w dwóch punktach

Odległość między środkami okręgów [tex]|S_1S_2|[/tex] spełnia nierówność:

[tex]|R-r|<|S_1S_2|<R+r[/tex]

Odległość między środkami okręgów jest mniejsza, niż odległość między środkami okręgów zewnętrznie i jednocześnie jest większa niż odległość między środkami okręgów stycznych wewnętrznie.

 

[tex]O_1:\ (x-3)^2+(y+2)^2=4[/tex],

[tex]O_2:\ (x-1)^2+(y+4)^2=9[/tex].

Określ wzajemne położenie tych okręgów.

Najpierw z równania okręgu odczytujemy środek oraz promień.

[tex]O_1:\ (x-3)^2+(y+2)^2=4[/tex]

[tex]S_1=(3,-2)[/tex]

[tex]r_1=2[/tex]

 

[tex]O_2:\ (x-1)^2+(y+4)^2=9[/tex]

[tex]S_2=(1,-4)[/tex]

[tex]r_2=3[/tex]

Obliczamy odległość między środkami obu okręgów:

[tex]|S_1S_2|=\sqrt{(1-3)^2+(-4+2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2} \approx 2,8[/tex]

Obliczamy sumę i różnicę promieni:

[tex]r_1+r_2=2+3=5[/tex]

[tex]|r_1-r_2|=|2-3|=1[/tex]

 Zauważ, że spełniona jest  nierówność:

[tex]|r_1-r_2|<|S_1S_2|<r_1+r_2[/tex]

[tex]1<2,8<5[/tex]

Zatem okręgi [tex]O_1[/tex] i [tex]O_2[/tex] przecinają się w dwóch punktach.

---

Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Liceum » Geometria analityczna » #578

Wyznacz dla jakich wartości parametru [tex]k[/tex], okręgi

[tex]O_1:\ (x-2k-1)^2+(y-2k+1)^2=4k^2[/tex]

[tex]O_2:\ (x-3k+3)^2+(y-k)^2=16k^2[/tex]

są wewnętrznie styczne.

---

Liceum » Geometria analityczna » #579

Określ dla jakich wartości parametru [tex]m[/tex], okręgi

[tex]O_1:\ (x-m-4)^2+(y-m-2)^2=4[/tex],

[tex]O_2:\ (x+2)^2+(y-m)^2=16[/tex]

mają ze sobą dwa punkty wspólne.

 

---

Liceum » Geometria analityczna » #580

Określ dla jakich wartości parametru [tex]m[/tex], okręgi

[tex]O_1:\ (x+m)^2+(y-2m)^2=9[/tex],

[tex]O_2:\ (x-3m)^2+(y+m)^2=16[/tex]

mają ze sobą dokładnie jeden punkt wspólny.

---