Układ współrzędnych.

0

Spis treści

  1. Układ współrzędnych kartezjańskich.
  2. Odległość punktów na płaszczyźnie kartezjańskiej.
  3. Wyznaczanie współrzędnych środka odcinka.

Układ współrzędnych kartezjańskich.

Układ współrzędnych kartezjańskich ( na płaszczyźnie ) to dwie prostopadłe do siebie osie liczbowe.


Oś odciętych to oś [tex]OX[/tex].

Oś rzędnych to oś [tex]OY[/tex].

 

Ćwiartki układu współrzędnych.

Osie układu  współrzędnych kartezjańskich dzielą płaszczyznę na cztery ćwiartki:

  • I ćwiartka: [tex]\{(x,y): x>0,y>0\}[/tex]
  • II ćwiartka: [tex]\{(x,y): x<0,y>0\}[/tex]
  • III ćwiartka: [tex]\{(x,y): x<0,y<0\}[/tex]
  • IV ćwiartka: [tex]\{(x,y): x>0,y<0\}[/tex]

 

Współrzędne punktu na płaszczyźnie kartezjańskiej:

Położenie punktu w układzie współrzędnych określamy za pomocą współrzędnych.

[tex]P=(x,y)[/tex]

Zawsze pierwsza współrzędna to odcięta, a druga rzędna!

 

 

Przykład 1

 

 


Początek układu współrzędnych:

Początkiem układu współrzędnych jest punk przecięcia się osi. Współrzędne tego punktu to [tex](0,0)[/tex]. Oznaczamy go najczęściej przez [tex]O[/tex].

Na poniższym układzie współrzędnych zostały zaznaczone trzy punkty [tex]A,\ B,\ C[/tex]. Dopasuj do nich ich współrzędne.


 

Do góry
Dopasuj do punktów ich współrzędne.
$A$
$B$
$C$
$(-2,5)$
$(3,2)$
$(-1,-2)$

Odległość punktów na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Do góry

Wzór: Odległość punktów na płaszczyźnie kartezjańskiej.

W układzie współrzędnych możemy obliczać odległość punktów od siebie. Jeżeli mamy dwa punkty [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex] o współrzędnych:

[tex]A=(x_a,y_a)[/tex]

[tex]B=(x_b,y_b)[/tex]

to odległość między nimi wynosi:

[tex]|AB|=\sqrt{(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2}[/tex]

 

Przykład 2

Oblicz odległość między punktami [tex]P=(3,4)[/tex]  i [tex]Q=(-1,6)[/tex].

 

[tex]|PQ|=\sqrt{(3-(-1))^2+(4-6)^2}=\sqrt{4^2+(-2)^2}=[/tex]

[tex]=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}[/tex]

Zatem odległość miedzy punktami [tex]P[/tex] i [tex]Q[/tex] wynosi [tex]2\sqrt{5}[/tex].

Do góry
Dopasuj do punktów odległości między nimi.
$A=(2,4), B=(-1,-2)$
$P=(1,8), Q=(-3,9)$
$M=(1,1), N=(-1,-1)$
$3\sqrt{5} $
$\sqrt{17} $
$2\sqrt{2} $

Wyznaczanie współrzędnych środka odcinka.

Do góry

Wzór: Środek odcinka

Niech [tex]A,\ B[/tex] będą punktami w układzie współrzędnych takimi, że:

[tex]A=(x_a,y_a)[/tex]

[tex]B=(x_b,y_b)[/tex]

wówczas środek odcinka [tex]{AB}[/tex] obliczamy za pomocą wzoru:

[tex]S=\left(\cfrac{x_a+x_b}{2} ,\cfrac{y_a+y_b}{2}\right)[/tex]

Przykład 3

Wyznacz środek odcinka [tex]AB[/tex] zaznaczonego na poniższym rysunku:

 

 

Najpierw odczytujemy współrzędne punktów:

[tex]A=(-2,-1)[/tex]

[tex]B=(4,3)[/tex]

Obliczamy środek odcinka:

[tex]S=\left(\cfrac{-2+4}{2} ,\cfrac{-1+3}{2})=(1,1\right)[/tex]

Do góry
Dane są punkty $A$ i $B$. Dopasuj do nich punkt będący środkiem odcinka $AB$.
$A=(3,7), B=(1,3)$
$A=(4,3), B=(2,3)$
$A=(5,2), B=(1,6)$
$(2,5)$
$(3,3)$
$(3,4)$


Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Komentarze (
0
):