Równanie okręgu na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Równanie okręgu.

Pierwsza postać równania okręgu

Aby zrozumieć równanie okręgu zauważ, że okrąg jest to zbiór punktów oddalonych od środka okręgu [tex] S [/tex] o [tex] r [/tex], który jest promieniem okręgu.

Weźmy przykładowy punkt leżący na okręgu [tex] P= (x,y) [/tex]. Zauważ, że dla punktu [tex] P  [/tex], jak i dla każdego punktu leżącego na okręgu, możemy wyznaczyć trójkąt prostokątny którego przeciwprostokątna to promień okręgu a jedna z przyprostokątnych jest równoległa do osi [tex] X [/tex].

Punkt $A$ ma współrzędne:

$A=(x,b)$

Zauważ, że długości przyprostokątnych trójkąta to

[tex] |SA| = x - a [/tex]

[tex] |PA| = y - b [/tex]

Powyższe zależności możesz łatwo wyznaczyć rzutując współrzędne punktów [tex] S,\ P[/tex] na osie układu współrzędnych. Dla tak stworzonego trójkąta prostokątnego możemy zastosować Twierdzenie Pitagorasa, które mówi, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

Stosując to twierdzenie w naszym przypadku otrzymamy

[tex] |SA|^2 + |PA|^2 = r^2 [/tex]

Podstawiając wyznaczone przez nas odległości mamy

Powyższe równanie nazywamy równaniem okręgu.

Druga postać równania okręgu

Znamy już pierwszą postać równania okręgu teraz przyjrzyjmy się drugiej,

[tex] (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 [/tex]

Podnosimy wyrażenia do kwadratu i porządkujemy:

[tex] x^2-2ax+a^2 + y^2-2by+b^2 = r^2 [/tex]

Porządkujemy wyrażenia i przenosimy [tex] r^2 [/tex] na lewą stronę, pamiętamy przy tym że [tex] r>0 [/tex], ponieważ jest to promień okręgu

[tex] x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0 [/tex]

Skoro czynniki [tex] a^2,\ b^2,\ r^2 [/tex] to liczby (współrzędne środka okręgu i promień), to wyrażenie[tex]a^2+b^2-r^2[/tex] oznaczmy przez  [tex] c [/tex]:

[tex] a^2 + b^2 - r^2 = c [/tex]

Podstawiając stałą do równania otrzymujemy drugą postać równania okręgu.

Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Do okręgu należą punkty [tex]A=(7,2)[/tex] i [tex]B =(0,3)[/tex]. Znajdź równanie tego okręgu, jeżeli wiadomo, że środek tego okręgu znajduje się na prostej o równaniu [tex]x=3[/tex].

Dane jest równanie okręgu [tex](x+6)^2+(y-6)^2=81 [/tex]. Środek tego okręgu znajduje się w punkcie: