Podział liczb


Podział liczb na naturalne, całkowite, wymierne, rzeczywiste.

Wszystkie liczby możemy podzielić na pewne grupy. Są to liczby: naturalne, całkowite, wymierne oraz niewymierne i rzeczywiste. Najbardziej ogólnym pojęciem są liczby rzeczywiste, bo w tym zbiorze znajdują się wszystkie znane Tobie liczby ( przynajmniej  na poziomie szkoły średniej, dopiero na studiach burzą człowiekowi cały światopogląd ). Ale o liczbach rzeczywistych trochę później. Na samym początku ...

Definicja:  Liczby naturalne

Zbiór liczb naturalnych oznaczamy przez .

Są to te najbardziej naturane, używane przez ludzi liczby, które pozwalają określić ilość rzeczy. Nie mamy ilości ujemnych. Albo coś mamy, albo nie  ( czyli jest zero), dlatego w zbiorze liczb naturalnych nie ma żadnych liczb ujemnych. Jeszcze jedna ważna uwaga. Wśród matematyków wciąż istnieje spór czy do liczb naturalnych zaliczyć zero czy też nie. W zależności od kontekstu, zakłada się różnie. Tutaj przyjmujemy, że liczby naturalne zaczynają się od jeden.

Definicja:  Liczby całkowite

Zbiór liczb całkowitych oznaczamy przez .

Kolejny zbiór to liczby całkowite. Są one rozszerzeniem liczb naturalnych. Tzn. do zbioru liczb naturalnych dodajemy jeszcze ich wszystkie liczby przeciwne ( czyli te z minusami) oraz to nieszczęsne zero ( z którym nie wiadomo co zrobić).

Definicja: Liczby wymierne

Liczbą wymierną nazywamy każdą liczbę, która jest ilorazem dwóch liczb całkowitych. Liczby wymierne oznaczamy przez

Liczby wymierne - tutaj sprawa się komplikuje, bo do tego co opisaliśmy wcześniej, czyli do liczb całkowitych musimy dodać jeszcze wszystkie ułamki. Ogólnie możemy powiedzieć, że liczba wymierna to taka, która daje się przedstawić w postaci ułamka zwykłego. Każdą liczbę naturalną czy całkowitą także możemy zapisać w postaci ułamka, np. . Więc ta definicja uwzględnia wszystkie liczby wymierne.

Przykładami liczb wymiernych są:

 

UWAGA!

Ułamki okresowe również są liczbami wymiernymi! Na przykład:

Przykład, w jaki sposób zamienić ułamek okresowy na ułamek zwykły został przedstawiony w paragrafie Działania na ułamkach.

 

Definicja: Liczby niewymierne

Liczbą niewymierną nazywamy każdą liczbę, która nie jest liczbą wymierną. Zbiór liczb niewymiernych oznaczamy przez .

Liczby niewymierne są to wszystkie liczby, których nie możemy zapisać w postaci ułamka zwykłego. Inaczej mówiąc te liczby mają rozwinięcie dziesiętne nieskończone i nieokresowe.

Przykładami liczb niewymiernych są:

  

 

 

Definicja: Liczby rzeczywiste

Liczbami rzeczywistymi są wszystkie liczby wymierne i niewymierne. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy przez .

Gdy połączymy ze sobą wszystkie wyżej opisane zbiory liczb, to  otrzymamy zbiór liczb rzeczywistych.

Związki między zbiorami liczb opisanymi powyżej przedstawia rysunek:

 

  • Wskaż, które zdania są prawdziwe, a które fałszywe.
    Approved-icon Alert-icon

  • Każda liczba naturalna jest liczbą wymierną.
  • Istnieją liczby, które są jednocześnie wymierne i niewymierne.
  • jest liczbą wymierną.
  • Każda liczba wymierna jest liczbą całkowitą.
  • Każda liczba całkowita jest liczbą wymierną.
  • Liczba jest liczbą wymierną.
  • Ułamki okresowe są liczbami wymiernymi.



Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Przydatne

Inne osoby czytały także

  1. Działania na ułamkach
  2. Kolejność wykonywania działań
  3. Rozkład liczby na czynniki pierwsze. NWW i NWD.
  4. Zaokrąglanie liczb, przybliżanie liczb

Zadania do przećwiczenia (4):

Liceum » Liczby rzeczywiste » #63
26

Wskaż takie liczby oraz , że spełniają poniższą nierówność oraz jest liczbą wymierną, natomiast jest liczbą niewymierną.


P
K
Liceum » Liczby rzeczywiste » #709
4

Wskaż liczbę wymierną między , a  :


P
T
Liceum » Liczby rzeczywiste » #710
7

Dane są zbiory   oraz   . Wskaż zbiór zawierający wszystkie liczby całkowite należące do .


P
T
Liceum » Liczby rzeczywiste » #606
2

Wskaż, który zbiór zawiera tylko liczby naturalne.


P
T

Zobacz zadania z działu liczby rzeczywiste(31)


Komentarze (
0
):