Działania na ułamkach

Spis treści

1. Co to jest ułamek? Mnożenie, dzielenie, dodawanie i odejmowanie ułamków.
2. Ułamki dziesiętne i ułamki okresowe.
3. Zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły.

---

Co to jest ułamek? Mnożenie, dzielenie, dodawanie i odejmowanie ułamków.

W ułamku zwykłym możemy wyróżnić trzy elementy: licznik, mianownik i kreska ułamkowa.

Kreska ułamkowa zastępuje nam znak dzielenia. Oznacza to, że:

[tex]\cfrac{a}{b}=a:b[/tex]

Mianownik musi być różny od zera, bo dzielenie przez zero jest niewykonalne.

[tex]b\neq0[/tex]

Jak stare polskie przysłowie głosi: "Nigdy cholero nie dziel przez zero".

Podstawowe działania na ułamkach.

Zaczniemy na początek od mnożenia ułamków, bo jest to najłatwiejsze działanie na ułamkach zwykłych.

• Mnożenie ułamków

Gdy mnożymy przez siebie dwa ułamki, to mnożymy licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka. Z mianownikiem postępujemy podobnie.

[tex]\cfrac{a}{b}\cdot \cfrac{c}{d}=\cfrac{a\cdot c}{b\cdot d}[/tex]

[tex]b\neq 0,d\neq 0[/tex] - pamiętamy, że mianowniki ułamków muszą być różne od zera.

 

 

• Dzielenie  ułamków

Dzielenie ułamków sprowadza się do zamiany tego działania na mnożenie. Tzn. mnożymy przez ułamek odwrotny. Pierwszy ułamek pozostaje bez zmian, a w drugim zamieniamy miejscami licznik z mianownikiem.

[tex]\cfrac{a}{b} : \cfrac{c}{d}=\cfrac{a}{b} \cdot \cfrac{d}{c}=\cfrac{a\cdot d}{b\cdot c}[/tex]

[tex]b\neq 0,c\neq 0,d\neq 0[/tex] - w tym wypadku również licznik drugiego ułamka musi byż różny od zera, gdyż nie możemy dzielić przez zero.

 

• Dodawanie  ułamków

Jeżeli oba ułamki, które chcemy dodać mają taki sam mianownik to sprawa jest prosta. Dodajemy do siebie liczniki, a mianownik przepisujemy nie zmieniony:

[tex]\cfrac{a}{b}+\cfrac{c}{b}=\cfrac{a+c}{b}[/tex]

[tex]b \neq 0[/tex].

[tex]\cfrac{1}{2}+\cfrac{5}{2}=\cfrac{1+5}{2}=\cfrac{6}{2}=3[/tex]

Problem pojawia się dopiero wtedy, gdy te mianowniki w obu ułamkach, które chcemy dodać są inne. Trzeba wtedy wykonać operację sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika.

Sposób 1:

Mnożmy licznik i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka i odwrotnie ( licznik i mianownik drugiego ułamka mnożymy przez mianownik pierwszego ułamka).

[tex]\cfrac{a}{b}+\cfrac{c}{d}=\cfrac{ad}{bd}+\cfrac{cb}{bd}=\cfrac{ad+cb}{bd}[/tex]

[tex]b\neq 0,d\neq 0[/tex]

 

• Odejmowanie  ułamków

Aby odjąć ułamki od siebie, podobnie jak przy dodawaniu najpierw musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika.

[tex]\cfrac{a}{b}-\cfrac{c}{d}=\cfrac{ad}{bd}-\cfrac{cb}{bd}=\cfrac{ad-cb}{bd}[/tex]

[tex]b\neq 0,d\neq 0[/tex]

Ułamki dziesiętne i ułamki okresowe.

Ułamki możemy przedstawiać w postaci zwykłej jak powyżej oraz w postaci dziesiętnej.

 

Ułamek okresowy to taki ułamek dziesiętny nieskończony, w którym od pewnego miejsca powtarza się grupa cyfr.

Zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły.

Każdy ułamek okresowy można przedstawić w postaci ułamka zwykłego. Zobacz na poniższym przykładzie jak to zrobić:

 

---

Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Liceum » Liczby rzeczywiste » #613

Ułamek [tex]\cfrac{6}{7}[/tex] zapisany w postaci dziesiętnej (z przybliżeniem do czwartego miejsca po przecinku) to:

---

Liceum » Liczby rzeczywiste » #616

Liczba [tex]0,(1)[/tex]  zapisana w postaci ułamka zwykłego to:

---

Liceum » Liczby rzeczywiste » #1

Podaj przykład liczb całkowitych dodatnich [tex]a[/tex] oraz [tex]b[/tex], spełniających nierówność:

[tex]\cfrac{3}{5}<\cfrac{a}{b} <\cfrac{4}{5}[/tex]

---