Rozkład liczby na czynniki pierwsze. NWW i NWD.

Spis treści

1. Podstawowe pojęcia.
2. Rozkład liczby na czynniki pierwsze.
3. NWD - Największy wspólny dzielnik.
4. NWW - Najmniejsza wspólna wielokrotność.

---

Podstawowe pojęcia.

Najpierw wyjaśnimy kilka pojęć związanych z liczbami. Jest to konieczne, aby później dobrze zrozumieć omawiane zagadnienia. Zaczniemy od definicji dzielnika liczby.

 

[tex]2,\ 3,\ 5,\ 7, ...[/tex].

 

[tex]4,\ 6,\ 8,\ 9, ...[/tex].

Rozkład liczby na czynniki pierwsze.

 

Liczba [tex]12[/tex] ma tylko dwa czynniki pierwsze. Są to: [tex]2[/tex] i [tex]3[/tex]. Pozostałe jej dzielniki  [tex]1,4,6,12[/tex] nie są liczbami pierwszymi.

 

 

 

 

Wyjaśniliśmy już wszystkie potrzebne nam pojęcia związane z tą nauką. Teraz przedstawimy Podstawowe Twierdzenie Arytmetyki.

 

 

Obie liczby [tex]3[/tex] i [tex]5[/tex] są liczbami pierwszymi. Nie mają innych dzielników poza [tex]1[/tex] i samą sobą. Spójrz również na poniższe przykłady:

[tex]27=3 \cdot 3 \cdot 3[/tex]

[tex]36=3\cdot 3\cdot 2\cdot 2[/tex]

[tex]114=3 \cdot 2 \cdot 19[/tex]

 

 

 

Teraz przedstawimy w jaki sposób rozkładamy liczby na czynniki pierwsze.

Algorytm rozkładu liczby na czynniki pierwsze

Aby rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze, wykonujemy kolejne dzielenia, tzn. szukamy najmniejszej liczby pierwszej, która dzieli daną liczbę i ją dzielimy. Otrzymany iloraz znów dzielimy przez najmniejszą liczbę pierwszą. Ten algorytm powtarzamy, aż otrzymamy jako iloraz liczbę [tex]1[/tex]. W ten sposób, otrzymamy wszystkie  czynniki pierwsze. 

Krok 1:

Krok 2:

 

Krok 3:

Krok 4:

 

Krok 5:

Rozkład liczby [tex]45[/tex] na czynniki pierwsze to:

[tex]45=3 \cdot 3 \cdot 5[/tex]

NWD - Największy wspólny dzielnik.

 

 

 

Algorytm znajdywania NWD:

Metoda 1:

Jeżeli mamy znaleźć NWD liczb [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex], to najpierw rozkładamy te liczby na czynniki pierwsze. Wypisujemy te czynniki, które powtórzyły się w obu rozkładach (każdy czynnik tylko raz). Następnie mnożymy  je przez siebie i w ten sposób otrzymujemy największy wspólny dzielnik. Zobacz przykład poniżej.

 

Rozkładamy liczby [tex]36[/tex] i [tex]45[/tex] na czynniki pierwsze:

Szukamy czynników, które występują w obu rozkładach jednocześnie:

Mnożymy te czynniki prze siebie, otrzymując największy wspólny dzielnik:

[tex]NWD(36,45)=3 \cdot 3=9[/tex]

Metoda II:

Jeżeli szukamy [tex]NWD(a,b)[/tex], gdzie [tex]a>b[/tex] oraz [tex]b\neq 0[/tex] to postępujemy następująco:

Dzielimy liczbę [tex]a[/tex] przez [tex]b[/tex]. Otrzymujemy liczbę [tex]c_1[/tex] oraz resztę z dzielenia [tex]r_1[/tex].

Dzielimy liczbę [tex]b[/tex] przez [tex]r_1[/tex]. Otrzymujemy liczbę [tex]c_2[/tex] oraz resztę z dzielenia [tex]r_2[/tex].

Ten algorytm powtarzamy, aż do momentu, gdy reszta z dzielenie będzie zerem. Wtedy największym wspólnym dzielnikiem jest ostatnia niezerowa reszta.

 

 

 

Zgodnie z opisem powyżej, dzielimy [tex]59[/tex] przez [tex]34[/tex]:

[tex]59:34=1 \ \text{reszty}\ 25[/tex]

[tex]34:25=1 \ \text{reszty}\ 9[/tex]

[tex]25:9=2 \ \text{reszty}\ 7[/tex]

[tex]9:7=1 \ \text{reszty}\ 2[/tex]

[tex]7:2=3 \ \text{reszty}\ \boxed{1}[/tex]

[tex]2:1=2\ \ \text{reszty}\ 0[/tex]

[tex]NWD(59,34)=1[/tex]

Zatem są to liczby względnie pierwsze.

NWW - Najmniejsza wspólna wielokrotność.

[tex]5,\ 10,\ 15,\ 20,...[/tex]

 

 

Kolejne wielokrotności liczby [tex]24[/tex] to:

[tex]24,48,96,120,144,168,192,...[/tex]

Kolejne wielokrotności liczby [tex]56[/tex] to:

[tex]56,112,168,224,...[/tex]

 

Najmniejsza liczba, która występuje jako wielokrotność obu liczb ([tex]24[/tex] i [tex]56[/tex]) to: [tex]168[/tex].

[tex]NWW(24,56)=168[/tex]

 

Algorytm znajdywania NWW

Metoda I:

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb, to najpierw rozkładamy je na czynniki pierwsze. Następnie sprawdzamy czy istnieją czynniki, które się pojawiają w obu rozkładach. Jeżeli tak, to te czynniki powtarzające się z jedno z nich wykreślamy. Mnożymy wszystkie pozostałe czynniki przez siebie i w ten sposób otrzymujemy najmniejszą wspólną wielokrotność.

Najpierw obie liczby rozkładamy na czynniki pierwsze:

Widzimy, że w obu rozkładach pojawiają się liczby [tex]3[/tex], zatem z jednego z nich je wykreślamy.

Pozostałe czynniki mnożymy przez siebie:

[tex]3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 2= 180[/tex]

Zatem:

[tex]NWW(45,36)=180[/tex]

 

Metoda II:

Najmniejszą wspólną wielokrotność możemy obliczyć także, korzystając ze związku $NWW$ i $NWD$:

[tex]NWW(a,b)=\cfrac{a\cdot b}{NWD(a,b)}[/tex]

 

Prawdziwe są także następujące wzory:

$NWD(a,b)=NWD(p^k\cdot q^l,p^m\cdot q^n)=p^{min(k,m)}q^{min(l,n)}$

$NWW(a,b)=NWW(p^k\cdot q^l,p^m\cdot q^n)=p^{max(k,m)}q^{max(l,n)}$

gdzie

$min(x,y)$ oznacza mniejszą z liczb x lub y.

$max(x,y)$ oznacza większą z liczb x lub y.

 

---

Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Liceum » Liczby rzeczywiste » #563

Wykaż, że

[tex]a\cdot b=NWD(a,b)\cdot NWW(a,b)[/tex],

dla pewnych liczb naturalnych [tex]a,\ b[/tex].

---

Liceum » Liczby rzeczywiste » #560

Największy wspólny dzielnik pewnych liczb [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex] wynosi [tex]2[/tex], natomiast ich najmniejsza wspólna wielokrotność wynosi [tex]84[/tex]. Znajdź liczby [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex], jeżeli wiadomo, że obie te liczby są mniejsze od [tex]20[/tex].

---