Logarytmy. Podstawowe własności logarytmów.

7

Spis treści

  1. Definicja logarytmu.
  2. Logarytm naturalny.
  3. Logarytm dziesiętny.
  4. Logarytm iloczynu.
  5. Logarytm ilorazu.
  6. Logarytm potęgi.
  7. Przykładowe równanie z logarytmami.

Definicja logarytmu.

Załóżmy, że  [tex]a \in \mathbb{R}^+\setminus \{1\}[/tex] i [tex]b \in \mathbb{R}^+[/tex]. (Czyli, $a$ jest liczbą rzeczywistą, dodatnią i nie jest jedynką, natomiast o $b$  zakładamy, że jest liczbą rzeczywistą dodatnią.)

Definicja: Logarytm

Logarytmem o podstawie [tex]a[/tex] z liczby [tex]b[/tex] nazywamy taką liczbę [tex]c[/tex], że [tex]a[/tex] podniesione do potęgi [tex]c[/tex] jest równe [tex]b[/tex], tzn:

[tex]\log_{a}b=c[/tex] wtedy i tylko wtedy, gdy [tex] a^c=b[/tex]

 

Logarytmowanie jest operacją odwrotną do potęgowania.

 

Wnioski 
  • [tex]\log_{a}1=0[/tex],  ponieważ [tex]a^0=1[/tex]
  • [tex]\log_{a}a=1[/tex] ,  ponieważ [tex]a^1=a[/tex]
  • [tex]a^{\log_{a}b}=b[/tex]

 

Przykład 1:

Oblicz [tex]\log_{2}8[/tex]

[tex]\log_{2}8 = 3[/tex], ponieważ [tex]2^3 = 8[/tex]

 

Do góry
Dopasuj elementy po prawej do elementów po lewej
$\log_2 64 $
$\log_3 27 $
$\log_{\cfrac{1}{2}} 2 $
$2^{\log_2 8}$
$6$
$3$
$-1$
$ 8 $

Logarytm naturalny.

Do góry

 

Definicja: Logarytm naturalny

Logarytmem naturalnym nazywamy logarytm, którego podstawą jest liczba [tex]e[/tex]. Zapisujemy to następująco:

[tex]\log_{e}a=\ln{a}[/tex]

Przykład 2:

Oblicz [tex]\ln{e^2}[/tex]

[tex]\ln {(e^2)} = 2[/tex]

 

 

Do góry

Logarytm dziesiętny.

Definicja: Logarytm dziesiętny.

Logarytmem dziesiętnym nazywamy logarytm, którego postawą jest liczba [tex]10[/tex]. Co zapisujemy:

[tex]\log_{10}a=\log a [/tex]

Przykład 3:

Oblicz [tex]\log 100[/tex]

[tex]\log 100 = 2[/tex], ponieważ [tex]10^2 = 100[/tex]

 

 

Do góry

Logarytm iloczynu.

 

Wzór: Logarytm iloczynu.

[tex]\log_{a}(x\cdot y)=\log_{a}(x)+\log_{a}(y)[/tex]

gdzie:

[tex]a \in R^+ \setminus
\begin{Bmatrix}
1
\end{Bmatrix}[/tex] ( Czyli, $a$ jest liczbą rzeczywistą dodatnią, różną od $1$).

[tex]x,\ y \in R^+[/tex] ( $x$ i $y$ to liczby rzeczywiste dodatnie)

 

UWAGA!

Wniosek z powyższego: Logarytm można zawsze przedstawić jako sumę logarytmów.

 

Przykład 4:

 [tex]\log_{2}(8\cdot 4)=\log_{2}(8)+\log_{2}(4)=3+2=5[/tex]

 

 

Do góry
  • Zaznacz co jest prawdą a co fałszem
    Approved-icon Alert-icon
  • $\log 10 + \log 10 = \log 100$
  • Jeżeli $\log_{2}( {x+2}) = 1$ to $x=3$
  • Jeżeli $\log_{3} {(9x)} = 3$ to $x=3$

Logarytm ilorazu.

Do góry

Wzór: Logarytm ilorazu.

[tex]\log_{a}{\left(\cfrac{x}{y}\right)}=\log_{a}(x)-\log_{a}(y)[/tex]

gdzie:

[tex]a \in R^+ \setminus
\begin{Bmatrix}
1
\end{Bmatrix}
[/tex]

[tex]x,y \in R^+[/tex]

 

 

Przykład 5:

[tex]\log{\cfrac{16}{9}}=\log(16)-\log(9)[/tex]

 

Do góry
Dopasuj elementy po prawej do elementów po lewej
$\log_{3} \cfrac{27}{3} $
Jeżeli $\log_{2} \cfrac{x}{4} = 1$ to $x$ jest równe:
$\log_{4} \cfrac{1}{4} $
$2$
$ 8 $
$ -1 $

Logarytm potęgi.

Do góry

Wzór: Logarytm potęgi

[tex]\log_{a}{\left(b^c\right)}=c \log_{a}{b}[/tex]

gdzie:

[tex]a \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}[/tex]

[tex]b \in \mathbb{R}^+[/tex]

[tex]c \in \mathbb{R}[/tex]

 

Przykład 6:

[tex]\log_{2}{(8^3)}=3 \log_{2}{8}=3\cdot 3=9[/tex]

 

 

Do góry
  • Zaznacz co jest prawdą a co fałszem
    Approved-icon Alert-icon
  • $\log_{4} 2 = \cfrac{1}{2}$
  • $\log_{2} 6 = 3$
  • $\log_{2} 4^2 = 4$

Przykładowe równanie z logarytmami.

Do góry

Rozwiążmy kilka zadań stosując wprowadzone wcześniej wzory na logarytmach.

Przykłady:

a) [tex]\log_{4}{48}-\log_{4}{3}=\log_{4}{\cfrac{48}{3}}=\log_{4}{16}=2[/tex]  bo [tex]4^2=16[/tex]

 

b) [tex]\log_{\cfrac{1}{2}}{8}-\log_{4}{32}=-3-\log_{4}{(16 \cdot 2)}=-3-(\log_{4}{16}+\log_{4}{2})=-3-(2+\cfrac{1}{2})= -3-2\cfrac{1}{2}=-5\cfrac{1}{2}[/tex]

 

c) [tex]2^{\log_{2}{5}}+2\log_{5}{25}=5+2\cdot 2=5+4=9[/tex]

Do góry


Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Zadania do przećwiczenia (5):

Liceum » Logarytmy » #591
9

Rozwiąż równanie:

[tex]\cfrac{2}{\log^2_{x}2}+5\log_{2}x-3=0[/tex].

R
K
Zobacz rozwiązanie
Podobne (1)
Liceum » Logarytmy » #649
0

Wynikiem działania [tex]\log{42}-2\log{6}[/tex] jest:

P
T
Zobacz rozwiązanie
Podobne (3)
Liceum » Logarytmy » #9
0

Oblicz:

[tex]3(\log_{2}{16}+\log_{3}{27})[/tex]

P
K
Zobacz rozwiązanie
Podobne (4)
Liceum » Logarytmy » #534
8

Oblicz:

[tex]a)\ \log_{4}27 \cdot \log_{\sqrt{3}}{64}[/tex]

[tex]b)\   \log(\log_{6}32+5\log_{6}3)+\cfrac{\log_{5}{2}}{\log_{5}{2}+1}  [/tex]

 

 

R
K
Zobacz rozwiązanie
Podobne (4)
Liceum » Logarytmy » #11
3

Wiedząc, że  

[tex]\left\{\begin{matrix}
\log_{2}{ab}=9\\

\log_{2}{\cfrac{b}{a}}=3

\end{matrix}\right.[/tex]

oblicz [tex]\sqrt[3]{a+b+53}[/tex].

P
K
Zobacz rozwiązanie
Podobne (3)

Komentarze (
7
):

Do góry