Logarytmy. Podstawowe własności logarytmów.


Spis treści

  1. Definicja logarytmu.
  2. Logarytm naturalny.
  3. Logarytm dziesiętny.
  4. Logarytm iloczynu.
  5. Logarytm ilorazu.
  6. Logarytm potęgi.
  7. Przykład

Definicja logarytmu.

Załóżmy, że  i . (Czyli, jest liczbą rzeczywistą, dodatnią i nie jest jedynką, natomiast o   zakładamy, że jest liczbą rzeczywistą dodatnią.)

Definicja: Logarytm

Logarytmem o podstawie z liczby nazywamy taką liczbę , że podniesione do potęgi jest równe , tzn:

wtedy i tylko wtedy, gdy

 

UWAGA!

Logarytmowanie jest operacją odwrotną do potęgowania i jest to tak naprawdę zgadywanie, do której potęgi trzeba podnieść podstawę logarytmu (czyli ), aby otrzymać liczbę . Spójrz na przykład poniżej.

 

 

Przykład 1:

Oblicz .

Aby obliczyć logarytm, zgadujemy  do której potęgi musimy podnieść liczbę , aby otrzymać . Ponieważ , to oznacza, że liczbę (czyli podstawę logarytmu) musimy podnieść do trzeciej potęgi, aby otrzymać liczbę .

, ponieważ

Wnioski 
  • ,  ponieważ
  • ,  ponieważ
Zwróć uwagę na ostatni wniosek. Jeżeli logarytm znajduje się w potędze pewnej liczby , i logarytm ten ma tą samą podstawę , to bardzo szybko otrzymujemy jako wynik liczbę logarytmowaną . Np.
,  
,

.
Dopasuj elementy po prawej do elementów po lewej

Logarytm naturalny.

 

Definicja: Logarytm naturalny

Logarytmem naturalnym nazywamy logarytm, którego podstawą jest liczba . Zapisujemy to następująco:

Przykład 2:

Oblicz

Logarytm dziesiętny.

Definicja: Logarytm dziesiętny.

Logarytmem dziesiętnym nazywamy logarytm, którego postawą jest liczba . Co zapisujemy:

Przykład 3:

Oblicz

, ponieważ

Logarytm iloczynu.

 

Wzór: Logarytm iloczynu.

gdzie:

( Czyli, jest liczbą rzeczywistą dodatnią, różną od ).

( i to liczby rzeczywiste dodatnie)

 

UWAGA!

Wniosek z powyższego: Logarytm można zawsze przedstawić jako sumę logarytmów.

Przykład 4:

 

 

  • Zaznacz co jest prawdą a co fałszem
    Approved-icon Alert-icon

  • Jeżeli to
  • Jeżeli to

Logarytm ilorazu.

 

Wzór: Logarytm ilorazu.

gdzie:

 

Przykład 5:

 

 

Dopasuj elementy po prawej do elementów po lewej

Jeżeli to jest równe:

Logarytm potęgi.

 

Wzór: Logarytm potęgi

gdzie:

Jeżeli logarytmujemy potęgę, gdzie podstawa potęgi jest liczbą dodatnią, to wykładnik potęgi możemy przenieść przed logarytm.

 

 

Przykład 6:

 

 

  • Zaznacz co jest prawdą a co fałszem
    Approved-icon Alert-icon

Przykład

Rozwiążmy kilka zadań stosując wprowadzone wcześniej wzory na logarytmach.

Przykłady:

  bo

 

 




Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Przydatne

Inne osoby czytały także

  1. Funkcja logarytmiczna.
  2. Logarytm potęgi i zmiana podstawy logarytmu.

Zadania do przećwiczenia (5):

Liceum » Logarytmy » #591
16

Rozwiąż równanie:

.


R
K
Liceum » Logarytmy » #649
2

Wynikiem działania jest:


P
T
Liceum » Logarytmy » #9
0

Oblicz:


P
K
Liceum » Logarytmy » #534
16

Oblicz:

 


R
K
Liceum » Logarytmy » #11
7

Wiedząc, że  

oblicz .


P
K

Zobacz zadania z działu logarytmy(18)


Komentarze (
9
):