1. Własności logarytmów
  2. Logarytmy - najważniejsze wzory
  3. Dodawanie i odejmowanie logarytmów
  4. Zmiana podstawy logarytmu
  5. Równania logarytmiczne
  6. Funkcja logarytmiczna
  7. Logarytm naturalny
  8. Logarytm dziesiętny

Definicja logarytmu

Załóżmy, że a \in \mathbb{R}^+\setminus \{1\} i b \in \mathbb{R}^+. (Czyli, a jest liczbą rzeczywistą, dodatnią i nie jest jedynką, natomiast o b zakładamy, że jest liczbą rzeczywistą dodatnią.)

Definicja: Logarytm

Logarytmem o podstawie a z liczby b nazywamy taką liczbę c, że a podniesione do potęgi c jest równe b, tzn:

\log_{a}b=c wtedy i tylko wtedy, gdy  a^c=b


logarytmy

Powyższy zapis przeczytamy: 
"Logarytm przy podstawie z a z liczby b"
Czasami zdarza się, że ktoś to przeczyta w odwrotnej kolejności, co również jest poprawne:
"Logarytm liczby b przy podstawie z a"

UWAGA!

Logarytmowanie jest operacją odwrotną do potęgowania i jest to tak naprawdę zgadywanie, do której potęgi trzeba podnieść podstawę logarytmu (czyli a), aby otrzymać liczbę b.

Przykład 1:

Oblicz \log_{2}8.

Aby obliczyć logarytm, zgadujemy do której potęgi musimy podnieść liczbę 2, aby otrzymać 8. Ponieważ 2* 2 * 2=2^3=8, to oznacza, że liczbę 2 (czyli podstawę logarytmu) musimy podnieść do trzeciej potęgi, aby otrzymać liczbę 8.

\log_{2}8 = 3, ponieważ 2^3 = 8

Wnioski - Zapamiętaj
  • \log_{a}1=0, ponieważ a^0=1
  • \log_{a}a=1 , ponieważ a^1=a
  • a^{\log_{a}b}=b

Zwróć uwagę na ostatni wniosek. Jeżeli logarytm znajduje się w potędze pewnej liczby a, i logarytm ten ma tą samą podstawę a, to bardzo szybko otrzymujemy jako wynik liczbę logarytmowaną b. Np.

  • 4^{\log_{4}\sqrt{50}}=\sqrt{50}
  • 5^{\log_{5}6}=6
  • 13^{\log_{13}18}=18

Dziedzina logarytmu

Aby móc obliczyć wartość logarytmu muszą być spełnione następujące warunki:

Podstawa logarytmu czyli "a" musi być większa od zera i różna od 1. Liczba logarytmowana "b" musi być większa od zera. 

Możemy to zapisać krócej: 

a > 0

 a \ne 1

b > 0


Zadanie 1

Liczba \log_{\sqrt{2}}2 jest równa:
Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Oblicz:

3(\log_{2}{16}+\log_{3}{27})

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Oblicz:

3(\log_{2}{32}+\log_{3}{81})

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Wiedząc, że  

\log_{3}{a}=\log_{6}{b}=\log_{9}{c}=2

oblicz a+b+c.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Wartość wyrażenia \log_{3}{27}+\log_{\frac{1}{2}}{2}-\log_{\frac{1}{2}}{4} wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Wiedząc, że  

\left\{\begin{matrix}
\log_{2}{ab}=9\\ 

\log_{2}{\cfrac{b}{a}}=3

\end{matrix}\right.

oblicz \sqrt[3]{a+b+53}.

Zobacz rozwiązanie

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz