Własności logarytmów

Logarytmy posiadają kilka interesujących własności, dzięki którym ich obliczanie staje się dużo łatwiejsze. 

Poniżej prezentuję wszystkie te własności wraz z przykładami. 

Logarytm iloczynu

Logarytm iloczynu

\log_{a}(x* y)=\log_{a}(x)+\log_{a}(y)

gdzie:

a \in R^+ \setminus <br> \begin{Bmatrix}<br> 1<br> \end{Bmatrix} ( Czyli, a jest liczbą rzeczywistą dodatnią, różną od 1).

x,\ y \in R^+ ( x i y to liczby rzeczywiste dodatnie)

UWAGA!

Wniosek z powyższego: Logarytm można zawsze przedstawić jako sumę logarytmów.

Przykład

 \log_{2}(8* 4)=\log_{2}(8)+\log_{2}(4)=3+2=5

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Jeżeli \log_{2}( {x+2}) = 1 to x=3
Jeżeli \log_{3} {(9x)} = 3 to x=3

Logarytm ilorazu

Logarytm ilorazu

\log_{a}{\left(\cfrac{x}{y}\right)}=\log_{a}(x)-\log_{a}(y)

gdzie:

a \in R^+ \setminus <br> \begin{Bmatrix}<br> 1<br> \end{Bmatrix}<br>

x,y \in R^+

Przykład

\log{\cfrac{16}{9}}=\log(16)-\log(9)

Logarytm potęgi

Logarytm potęgi

\log_{a}{\left(b^c\right)}=c \log_{a}{b}

gdzie:

a \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}

b \in \mathbb{R}^+

c \in \mathbb{R}

Jeżeli logarytmujemy potęgę, gdzie podstawa potęgi jest liczbą dodatnią, to wykładnik potęgi możemy przenieść przed logarytm.

Przykład

\log_{2}{(8^3)}=3 \log_{2}{8}=3* 3=9

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Logarytm w wykładniku potęgi

Logarytm w wykładniku potęgi

a^{\log_a{b}}=b

Przykład

2^{\log_2{8}}=8

Przykład

Rozwiążmy kilka zadań stosując wprowadzone wcześniej wzory na logarytmach.

Przykłady:

a)\ \log_{4}{48}-\log_{4}{3}=\log_{4}{\cfrac{48}{3}}=\log_{4}{16}=2  bo 4^2=16

b)\ \log_{\cfrac{1}{2}}{8}-\log_{4}{32}=-3-\log_{4}{(16 * 2)}=-3-(\log_{4}{16}+\log_{4}{2})=

= -3-(2+\cfrac{1}{2})= -3-2\cfrac{1}{2}=-5\cfrac{1}{2}

c)\ 2^{\log_{2}{5}}+2\log_{5}{25}=5+2* 2=5+4=9


Zadanie 1

Wynikiem działania \log{42}-2\log{6} jest:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Oblicz:

3(\log_{2}{16}+\log_{3}{27})

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Oblicz:

\log_{4}27 * \log_{\sqrt{3}}{64}

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Liczba 2 * log_36 - log_34 jest równa

Rozwiązanie video

Zadanie 5

Wynikiem działania \log_{4}{3}+\log_{4}{\cfrac{1}{3}} jest:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Liczba \log{18} jest równa:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Liczba \log{16} jest równa:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Liczba \log{64} jest równa:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Wartość wyrażenia \log_{2}{4}-\log_{\frac{1}{2}}{8}+3\log_{2}{8} wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

Wiedząc, że  

\log_{3}{a}=\log_{6}{b}=\log_{9}{c}=2

oblicz a+b+c.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

Oblicz:

\log(\log_{6}32+5\log_{6}3)+\cfrac{\log_{5}{2}}{\log_{5}{2}+1}

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

Wiadomo, że \log_{14}2 \approx 0,27 i \log_{14}3 \approx 0,42. Oblicz  \log_{21}7.

Wynik podaj z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15

Wiadomo, że \log_{12}2\approx 0,28 i \log_{12}3 \approx 0,44. Oblicz \log_{18}108.

Wynik podaj z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 16

Wiedząc, że:

\left\{\begin{matrix}
\log_{2}{a}+\log_{2}{b}=6\\ 
\log_{2}{\cfrac{b}{a}}=2
\end{matrix}\right.

Oblicz a i b.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 17

Wiedząc, że:

\left\{\begin{matrix} \log_{2}{a}+\log_{2}{b}=4\\  \log_{3}{a}-\log_{3}{b}=2 \end{matrix}\right.

Oblicz a i b.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 18

Wiedząc, że  

\left\{\begin{matrix}
\log_{2}{ab}=9\\ 

\log_{2}{\cfrac{b}{a}}=3

\end{matrix}\right.

oblicz \sqrt[3]{a+b+53}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 19

Wiedząc, że  

1+\log_{2}{a}=\log_{2}{3}+\log_{2}{6}

\log_{3}{3b}=\log_{3}{24}-\log_{3}{2}

\log\cfrac{c}{5}=1-\log{2}

oblicz średnią arytmetyczną liczb a,\ b i c, oraz ich średnią ważoną, jeżeli wagi wynoszą kolejno 2,3 i 5.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

11 komentarzy

  1. Als16 20111121161627 thumb
    als16 22.11.2011 14:39

    Bardzo pomocna strona.!

  2. Tutejszy 20120124221122 thumb
    tutejszy 24.01.2012 22:39

    extra ! wszystko ogarnąłem bez problemu od A do Z

  3. Default avatar
    konto-usuniete 25.01.2012 21:35

    Bardzo się cieszę:)

  4. Alicee 20111118152415 thumb
    Alicee 25.03.2012 13:45

    Wszystko załapałam bez problemu, gdyby nie ta strona zginęłabym na lekcjach ;)

  5. Lukasz 20120124104827 thumb
    lukasz 26.03.2012 22:06

    Cieszę się, że wszystko jest tak dobrze wyjaśnione, że zrozumienie nie sprawia wam problemu :) Powodzenia na maturze.

  6. D mek 20120307223004 thumb
    d_mek 07.05.2012 12:53

    @Łukasz
    Skoro daliście już logarytm dziesiętny i naturalny, to mogliście dać również logarytm binarny :)

  7. Default avatar
    korneelciaa 07.05.2012 17:39

    powoli ogarniam

  8. Pawwasek 20120206081318 thumb
    pawwasek 30.08.2012 17:23

    bardzo pomocna stronka,ale chciałbym czegoś więcej się nauczyć:)
    Ale bardzo wam dziękuję

  9. Default avatar
    Kasia12656 08.12.2013 13:36

    Pomocna strona? działania bez rozpisywania w niczym mi nie pomoga, skoro nie wiem skad sie wziely.;/

  10. Aga1315 20141116134412 thumb
    aga1315 16.11.2014 14:16

    przydałoby się rozpisywanie :/

  11. Cziki1997 20170104155327 thumb
    cziki1997 04.01.2017 16:42

    zajefajna stronka szybko można sie nauczyć

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz