Własności logarytmów

Logarytmy posiadają kilka interesujących własności, dzięki którym ich obliczanie staje się dużo łatwiejsze.

Poniżej prezentuję wszystkie te własności wraz z przykładami.

Logarytm iloczynu

Logarytm iloczynu

$\log_{a}(x* y)=\log_{a}(x)+\log_{a}(y)$

gdzie:

$a \in R^+ \setminus \begin{Bmatrix} 1 \end{Bmatrix}$ ( Czyli, $a$ jest liczbą rzeczywistą dodatnią, różną od $1$ ).

$x,\ y \in R^+$ ( $x$ i $y$ to liczby rzeczywiste dodatnie)

UWAGA!

Wniosek z powyższego: Logarytm można zawsze przedstawić jako sumę logarytmów.

Przykład

$\log_{2}(8* 4)=\log_{2}(8)+\log_{2}(4)=3+2=5$

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Ćwiczenia są dostępne dla zalogowanych uzytkowników posiadających konto premium

Logarytm ilorazu

Logarytm ilorazu

$\log_{a}{\left(\cfrac{x}{y}\right)}=\log_{a}(x)-\log_{a}(y)$

gdzie:

$a \in R^+ \setminus \begin{Bmatrix} 1 \end{Bmatrix} $

$x,y \in R^+$

Przykład

$\log{\cfrac{16}{9}}=\log(16)-\log(9)$

Logarytm potęgi

Logarytm potęgi

$\log_{a}{\left(b^c\right)}=c \log_{a}{b}$

gdzie:

$a \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$

$b \in \mathbb{R}^+$

$c \in \mathbb{R}$

Jeżeli logarytmujemy potęgę, gdzie podstawa potęgi jest liczbą dodatnią, to wykładnik potęgi możemy przenieść przed logarytm.

Przykład

$\log_{2}{(8^3)}=3 \log_{2}{8}=3* 3=9$

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Ćwiczenia są dostępne dla zalogowanych uzytkowników posiadających konto premium

Logarytm w wykładniku potęgi

Logarytm w wykładniku potęgi

$a^{\log_a{b}}=b$

Przykład

$2^{\log_2{8}}=8$

Przykład

Rozwiążmy kilka zadań stosując wprowadzone wcześniej wzory na logarytmach.

Przykłady:

$a)\ \log_{4}{48}-\log_{4}{3}=\log_{4}{\cfrac{48}{3}}=\log_{4}{16}=2$ bo $4^2=16$

$b)\ \log_{\cfrac{1}{2}}{8}-\log_{4}{32}=-3-\log_{4}{(16 * 2)}=-3-(\log_{4}{16}+\log_{4}{2})=$

$= -3-(2+\cfrac{1}{2})= -3-2\cfrac{1}{2}=-5\cfrac{1}{2}$

$c)\ 2^{\log_{2}{5}}+2\log_{5}{25}=5+2* 2=5+4=9$

Zadanie 1

Wynikiem działania $\log{42}-2\log{6}$ jest:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
2 komentarze

Zadanie 2

Oblicz:

$3(\log_{2}{16}+\log_{3}{27})$

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
1 komentarz

Zadanie 3

Oblicz:

$\log_{4}27 * \log_{\sqrt{3}}{64}$

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
3 komentarze

Zadanie 4

Liczba $2 * log_36 - log_34$ jest równa

Rozwiązanie video

Matura podstawowa
0 komentarzy
CKE

Zadanie 5

Wynikiem działania $\log_{4}{3}+\log_{4}{\cfrac{1}{3}}$ jest:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
1 komentarz

Zadanie 6

Liczba $\log{18}$ jest równa:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 7

Liczba $\log{16}$ jest równa:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 8

Liczba $\log{64}$ jest równa:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
2 komentarze

Zadanie 9

Wartość wyrażenia $\log_{2}{4}-\log_{\frac{1}{2}}{8}+3\log_{2}{8}$ wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 10

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 11

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 12
Premium

Wiedząc, że

$\log_{3}{a}=\log_{6}{b}=\log_{9}{c}=2$

oblicz $a+b+c$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
1 komentarz

Zadanie 13
Premium

Oblicz:
$\log(\log_{6}32+5\log_{6}3)+\cfrac{\log_{5}{2}}{\log_{5}{2}+1}$

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
3 komentarze

Zadanie 14
Premium

Wiadomo, że $\log_{14}2 \approx 0,27$ i $\log_{14}3 \approx 0,42$ . Oblicz $\log_{21}7$ .

Wynik podaj z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku.

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
6 komentarzy

Zadanie 15
Premium

Wiadomo, że $\log_{12}2\approx 0,28$ i $\log_{12}3 \approx 0,44$ . Oblicz $\log_{18}108$ .
Wynik podaj z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku.

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
0 komentarzy

Zadanie 16
Premium

Wiedząc, że:

$\left\{\begin{matrix} \log_{2}{a}+\log_{2}{b}=6\\ \log_{2}{\cfrac{b}{a}}=2 \end{matrix}\right.$

Oblicz $a$ i $b$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
2 komentarze

Zadanie 17
Premium

Wiedząc, że:

$\left\{\begin{matrix} \log_{2}{a}+\log_{2}{b}=4\\ \log_{3}{a}-\log_{3}{b}=2 \end{matrix}\right.$

Oblicz $a$ i $b$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 18
Premium

Wiedząc, że

$\left\{\begin{matrix} \log_{2}{ab}=9\\ \log_{2}{\cfrac{b}{a}}=3 \end{matrix}\right.$

oblicz $\sqrt[3]{a+b+53}$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
7 komentarzy

Zadanie 19
Premium

Wiedząc, że

$1+\log_{2}{a}=\log_{2}{3}+\log_{2}{6}$

$\log_{3}{3b}=\log_{3}{24}-\log_{3}{2}$

$\log\cfrac{c}{5}=1-\log{2}$

oblicz średnią arytmetyczną liczb $a,\ b$ i $c$ , oraz ich średnią ważoną, jeżeli wagi wynoszą kolejno $2,3$ i $5$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
4 komentarze

Przeczytaj także:

11 komentarzy

als16 22.11.2011 14:39

Bardzo pomocna strona.!
tutejszy 24.01.2012 22:39

extra ! wszystko ogarnąłem bez problemu od A do Z
konto-usuniete 25.01.2012 21:35

Bardzo się cieszę:)
Alicee 25.03.2012 13:45

Wszystko załapałam bez problemu, gdyby nie ta strona zginęłabym na lekcjach ;)
lukasz 26.03.2012 22:06

Cieszę się, że wszystko jest tak dobrze wyjaśnione, że zrozumienie nie sprawia wam problemu :) Powodzenia na maturze.
d_mek 07.05.2012 12:53

@Łukasz
Skoro daliście już logarytm dziesiętny i naturalny, to mogliście dać również logarytm binarny :)
korneelciaa 07.05.2012 17:39

powoli ogarniam
pawwasek 30.08.2012 17:23

bardzo pomocna stronka,ale chciałbym czegoś więcej się nauczyć:)
Ale bardzo wam dziękuję
Kasia12656 08.12.2013 13:36

Pomocna strona? działania bez rozpisywania w niczym mi nie pomoga, skoro nie wiem skad sie wziely.;/
aga1315 16.11.2014 14:16

przydałoby się rozpisywanie :/
cziki1997 04.01.2017 16:42

zajefajna stronka szybko można sie nauczyć

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.

Rozumiem

Własności logarytmów

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki