Rozwiązania równań trygonometrycznych typu sinx=a, cosx=a, tanx=a

Spis treści

1. Równanie sin(x) = a
2. Równanie cos(x) = a
3. Równanie tan(x) = a

---

Równanie sin(x) = a

 

Spójrz na poniższy rysunek:

Zaznaczamy te argumenty dla których wykresy funkcji [tex]y=a [/tex] oraz [tex]y=\sin x[/tex] się przecinają. Wystarczy, że odczytamy jeden z takich argumentów, czyli [tex]x_0[/tex]. Wówczas wszystkie rozwiązania tego równania, zapisujemy zgodnie ze wzorem rozwiązań podanym powyżej.

 

 

[tex]\sin(x) =\cfrac{1}{2}[/tex].

 

 

 

Z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy, że jednym z rozwiązań równania [tex]\sin x=\cfrac{1}{2}[/tex] jest [tex]x_0=\cfrac{\pi}{6}[/tex]. Zapisujemy zatem wszystkie rozwiązania tego równania zgodnie z wzorami:

[tex]\begin{matrix}x=\cfrac{\pi}{6}+2k\pi &\text{lub}& x=\pi-\cfrac{\pi}{6}+2k\pi \\ &\text{ }& x=\cfrac{5\pi}{6}+2k\pi \end{matrix}[/tex].

Równanie cos(x) = a

 

 

Spójrz na poniższy rysunek:

Zaznaczamy te argumenty dla których wykresy funkcji [tex]y=a [/tex] oraz [tex]y=\cos x[/tex] się przecinają. Wystarczy, że odczytamy jeden z takich argumentów, czyli [tex]x_0[/tex]. Wówczas wszystkie rozwiązania tego równania, zapisujemy zgodnie ze wzorem rozwiązań podanym powyżej.

 

 

[tex]\cos x =-\cfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex].

Rysujemy wykresy funkcji [tex]y=-\cfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex] i  [tex]y=\cos x[/tex].

Aby zapisać wszystkie rozwiązania tego równania, musimy znać przynajmniej jeden taki argument, dla którego wykresy obu funkcji się przecinają. W tabeli wartości funkcji trygonometrycznych możemy odczytać takie wartości tylko dla [tex]x \in [0,\cfrac{\pi}{2}][/tex], gdzie wartości funkcji cosinus są dodatnie. Tutaj natomiast mamy odczytać argument, gdy wartości funkcji cosinus są ujemne. Co w takiej sytuacji? Jednym ze sposobów odczytania takiej wartości jest:

Z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy, że jednym z rozwiązań równania [tex]\cos x=\cfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex] jest [tex]x_0=\cfrac{\pi}{6}[/tex].

Oznacza, to że zawsze wykres [tex]y=\cos x[/tex] przecina się z prostą o równaniu [tex]y=\cfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex], w punkcie, który jest oddalony od wierzchołka cosinusoidy, gdzie wartość funkcji cosinus jest równa 1, o [tex]\cfrac{\pi}{6}[/tex]. Na powyższym rysunku ten odcinek został zaznaczony na zielono. Teraz jak to się ma do rozwiązań równania [tex]\cos x=-\cfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex]? Otórz, rozwiązania tego równania będziemy wyznaczać podobnie. Tyle, że będziemy teraz wyznaczać punkty, których odległość od wierzchołków cosinusoidy gdzie wartość funkcji cosinus jest równa -1, wynosi również [tex]\cfrac{\pi}{6}[/tex]. Spójrz na rysunek:

 

Odcinki o tej samej długości [tex]\cfrac{\pi}{6}[/tex] zostały zaznaczone zielonym kolorem. Argument [tex]x_0[/tex] znajduje się w odległości [tex]\cfrac{\pi}{6}[/tex] od [tex]\pi[/tex]. Ponieważ znajduje się po lewej stronie [tex]\pi[/tex], to:

[tex]x_0=\pi-\cfrac{\pi}{6}=\cfrac{5\pi}{6}[/tex].

 Zapisujemy wszystkie rozwiązania równania:

[tex]\begin{matrix}x=\cfrac{5\pi}{6}+2k\pi &\text{lub}& x=-\cfrac{5\pi}{6}+2k\pi \end{matrix}[/tex]

 

Równanie tan(x) = a

 

 

 

Spójrz na poniższy rysunek:

 

[tex]\tan x=- \cfrac{\sqrt{3}}{3}[/tex].

Spójrz na rysunek:

Z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy, że

[tex]\tan \cfrac{\pi}{6}=\cfrac{\sqrt{3}}{3}[/tex].

Musimy odczytać wartość argumentu [tex]x_0[/tex]. Ale odległość puntu [tex]x_0[/tex] od [tex]0[/tex] jest równa [tex]\cfrac{\pi}{6}[/tex], czyli:

[tex]x_0=-\cfrac{\pi}{6}[/tex].

Zatem zbiór wszystkich rozwiązań to:

[tex]\begin{matrix}x=-\cfrac{\pi}{6}+k\pi \end{matrix}[/tex]

---

Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)