Rozwiązania równań trygonometrycznych typu sinx=a, cosx=a, tanx=a

Równanie sin(x) = a

Wzór: Równanie sinx=a

$\sin(x)=a$

Rozwiązaniami takiego równania są:

$\begin{matrix}x=x_0+2k\pi &\text{lub}& x=\pi-x_0+2k\pi \end{matrix}$

gdzie $k \in \mathbb{C}$ .

Spójrz na poniższy rysunek:

Zaznaczamy te argumenty dla których wykresy funkcji $y=a$ oraz $y=\sin x$ się przecinają. Wystarczy, że odczytamy jeden z takich argumentów, czyli $x_0$ . Wówczas wszystkie rozwiązania tego równania, zapisujemy zgodnie ze wzorem rozwiązań podanym powyżej.

Przykład 1

Znajdź wszystkie rozwiązania równania:

$\sin(x) =\cfrac{1}{2}$ .

Z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy, że jednym z rozwiązań równania $\sin x=\cfrac{1}{2}$ jest $x_0=\cfrac{\pi}{6}$ . Zapisujemy zatem wszystkie rozwiązania tego równania zgodnie z wzorami:

$\begin{matrix}x=\cfrac{\pi}{6}+2k\pi &\text{lub}& x=\pi-\cfrac{\pi}{6}+2k\pi \\ &\text{ }& x=\cfrac{5\pi}{6}+2k\pi \end{matrix}$ ,

gdzie $k \in \mathbb{C}$ .

Równanie cos(x) = a

Wzór: Równanie cosx=a

$\cos(x)=a$

Rozwiązaniami takiego równania są:

$\begin{matrix}x=x_0+2k\pi &\text{lub}& x=-x_0+2k\pi \end{matrix}$

gdzie $k \in \mathbb{C}$ .

Spójrz na poniższy rysunek:

Zaznaczamy te argumenty dla których wykresy funkcji $y=a$ oraz $y=\cos x$ się przecinają. Wystarczy, że odczytamy jeden z takich argumentów, czyli $x_0$ . Wówczas wszystkie rozwiązania tego równania, zapisujemy zgodnie ze wzorem rozwiązań podanym powyżej.

Przykład 2

Znajdź wszystkie rozwiązania równania:

$\cos x =-\cfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

Rysujemy wykresy funkcji $y=-\cfrac{\sqrt{3}}{2}$ i $y=\cos x$ .

Aby zapisać wszystkie rozwiązania tego równania, musimy znać przynajmniej jeden taki argument, dla którego wykresy obu funkcji się przecinają. W tabeli wartości funkcji trygonometrycznych możemy odczytać takie wartości tylko dla $x \in [0,\cfrac{\pi}{2}]$ , gdzie wartości funkcji cosinus są dodatnie. Tutaj natomiast mamy odczytać argument, gdy wartości funkcji cosinus są ujemne. Co w takiej sytuacji? Jednym ze sposobów odczytania takiej wartości jest:

Z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy, że jednym z rozwiązań równania $\cos x=\cfrac{\sqrt{3}}{2}$ jest $x_0=\cfrac{\pi}{6}$ .

Oznacza, to że zawsze wykres $y=\cos x$ przecina się z prostą o równaniu $y=\cfrac{\sqrt{3}}{2}$ , w punkcie, który jest oddalony od wierzchołka cosinusoidy, gdzie wartość funkcji cosinus jest równa 1, o $\cfrac{\pi}{6}$ . Na powyższym rysunku ten odcinek został zaznaczony na zielono. Teraz jak to się ma do rozwiązań równania $\cos x=-\cfrac{\sqrt{3}}{2}$ ? Otórz, rozwiązania tego równania będziemy wyznaczać podobnie. Tyle, że będziemy teraz wyznaczać punkty, których odległość od wierzchołków cosinusoidy gdzie wartość funkcji cosinus jest równa -1, wynosi również $\cfrac{\pi}{6}$ . Spójrz na rysunek:

Odcinki o tej samej długości $\cfrac{\pi}{6}$ zostały zaznaczone zielonym kolorem. Argument $x_0$ znajduje się w odległości $\cfrac{\pi}{6}$ od $\pi$ . Ponieważ znajduje się po lewej stronie $\pi$ , to: