Równanie sin(x) = a
Rozwiązaniami takiego równania są:
gdzie .
Spójrz na poniższy rysunek:
Zaznaczamy te argumenty dla których wykresy funkcji oraz
się przecinają. Wystarczy, że odczytamy jeden z takich argumentów, czyli
. Wówczas wszystkie rozwiązania tego równania, zapisujemy zgodnie ze wzorem rozwiązań podanym powyżej.
Znajdź wszystkie rozwiązania równania:
.
Z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy, że jednym z rozwiązań równania jest
. Zapisujemy zatem wszystkie rozwiązania tego równania zgodnie z wzorami:
,
gdzie .
Równanie cos(x) = a
Rozwiązaniami takiego równania są:
gdzie .
Spójrz na poniższy rysunek:
Zaznaczamy te argumenty dla których wykresy funkcji oraz
się przecinają. Wystarczy, że odczytamy jeden z takich argumentów, czyli
. Wówczas wszystkie rozwiązania tego równania, zapisujemy zgodnie ze wzorem rozwiązań podanym powyżej.
Znajdź wszystkie rozwiązania równania:
.
Rysujemy wykresy funkcji i
.
Aby zapisać wszystkie rozwiązania tego równania, musimy znać przynajmniej jeden taki argument, dla którego wykresy obu funkcji się przecinają. W tabeli wartości funkcji trygonometrycznych możemy odczytać takie wartości tylko dla , gdzie wartości funkcji cosinus są dodatnie. Tutaj natomiast mamy odczytać argument, gdy wartości funkcji cosinus są ujemne. Co w takiej sytuacji? Jednym ze sposobów odczytania takiej wartości jest:
Z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy, że jednym z rozwiązań równania jest
.
Oznacza, to że zawsze wykres przecina się z prostą o równaniu
, w punkcie, który jest oddalony od wierzchołka cosinusoidy, gdzie wartość funkcji cosinus jest równa 1, o
. Na powyższym rysunku ten odcinek został zaznaczony na zielono. Teraz jak to się ma do rozwiązań równania
? Otórz, rozwiązania tego równania będziemy wyznaczać podobnie. Tyle, że będziemy teraz wyznaczać punkty, których odległość od wierzchołków cosinusoidy gdzie wartość funkcji cosinus jest równa -1, wynosi również
. Spójrz na rysunek:
Odcinki o tej samej długości zostały zaznaczone zielonym kolorem. Argument
znajduje się w odległości
od
. Ponieważ znajduje się po lewej stronie
, to:
.
Zapisujemy wszystkie rozwiązania równania:
gdzie .
Równanie tan(x) = a
Rozwiązaniami takiego równania są:
gdzie .
Spójrz na poniższy rysunek:
Rozwiąż równanie:
.
Spójrz na rysunek:
Z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy, że
.
Musimy odczytać wartość argumentu . Ale odległość puntu
od
jest równa
, czyli:
.
Zatem zbiór wszystkich rozwiązań to:
gdzie .
Przeczytaj także:
- Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym
- Wykresy funkcji trygonometrycznych
- Wzory trygonometryczne
- Tożsamości trygonometryczne
- Miara stopniowa i miara łukowa kąta
- Równania trygonometryczne
- Nierówności trygonometryczne
- Tablice trygonometryczne
COMMENT_CONTENT