Równanie sin(x) = a

Wzór: Równanie sinx=a

\sin(x)=a

Rozwiązaniami takiego równania są:

\begin{matrix}x=x_0+2k\pi &\text{lub}& x=\pi-x_0+2k\pi \end{matrix}

gdzie k \in \mathbb{C}.

 

 

Spójrz na poniższy rysunek:

Zaznaczamy te argumenty dla których wykresy funkcji y=a oraz y=\sin x się przecinają. Wystarczy, że odczytamy jeden z takich argumentów, czyli x_0. Wówczas wszystkie rozwiązania tego równania, zapisujemy zgodnie ze wzorem rozwiązań podanym powyżej.

 

Przykład 1

Znajdź wszystkie rozwiązania równania:

 

\sin(x) =\cfrac{1}{2}.

 

 

 

Z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy, że jednym z rozwiązań równania \sin x=\cfrac{1}{2} jest x_0=\cfrac{\pi}{6}. Zapisujemy zatem wszystkie rozwiązania tego równania zgodnie z wzorami:

\begin{matrix}x=\cfrac{\pi}{6}+2k\pi &\text{lub}& x=\pi-\cfrac{\pi}{6}+2k\pi \\ &\text{ }& x=\cfrac{5\pi}{6}+2k\pi \end{matrix},

gdzie k \in \mathbb{C}.

Równanie cos(x) = a

 

Wzór: Równanie cosx=a

\cos(x)=a

Rozwiązaniami takiego równania są:

\begin{matrix}x=x_0+2k\pi &\text{lub}& x=-x_0+2k\pi \end{matrix}

gdzie k \in \mathbb{C}.

 

 

Spójrz na poniższy rysunek:

Zaznaczamy te argumenty dla których wykresy funkcji y=a oraz y=\cos x się przecinają. Wystarczy, że odczytamy jeden z takich argumentów, czyli x_0. Wówczas wszystkie rozwiązania tego równania, zapisujemy zgodnie ze wzorem rozwiązań podanym powyżej.

 

Przykład 2

Znajdź wszystkie rozwiązania równania:

 

\cos x =-\cfrac{\sqrt{3}}{2}.

Rysujemy wykresy funkcji y=-\cfrac{\sqrt{3}}{2}y=\cos x.

Aby zapisać wszystkie rozwiązania tego równania, musimy znać przynajmniej jeden taki argument, dla którego wykresy obu funkcji się przecinają. W tabeli wartości funkcji trygonometrycznych możemy odczytać takie wartości tylko dla x \in [0,\cfrac{\pi}{2}], gdzie wartości funkcji cosinus są dodatnie. Tutaj natomiast mamy odczytać argument, gdy wartości funkcji cosinus są ujemne. Co w takiej sytuacji? Jednym ze sposobów odczytania takiej wartości jest:

Z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy, że jednym z rozwiązań równania \cos  x=\cfrac{\sqrt{3}}{2} jest x_0=\cfrac{\pi}{6}.

Oznacza, to że zawsze wykres y=\cos x przecina się z prostą o równaniu y=\cfrac{\sqrt{3}}{2}, w punkcie, który jest oddalony od wierzchołka cosinusoidy, gdzie wartość funkcji cosinus jest równa 1, o \cfrac{\pi}{6}. Na powyższym rysunku ten odcinek został zaznaczony na zielono. Teraz jak to się ma do rozwiązań równania \cos x=-\cfrac{\sqrt{3}}{2}? Otórz, rozwiązania tego równania będziemy wyznaczać podobnie. Tyle, że będziemy teraz wyznaczać punkty, których odległość od wierzchołków cosinusoidy gdzie wartość funkcji cosinus jest równa -1, wynosi również \cfrac{\pi}{6}. Spójrz na rysunek:

 

Odcinki o tej samej długości \cfrac{\pi}{6} zostały zaznaczone zielonym kolorem. Argument x_0 znajduje się w odległości \cfrac{\pi}{6} od \pi. Ponieważ znajduje się po lewej stronie \pi, to:

x_0=\pi-\cfrac{\pi}{6}=\cfrac{5\pi}{6}.

 Zapisujemy wszystkie rozwiązania równania:

\begin{matrix}x=\cfrac{5\pi}{6}+2k\pi &\text{lub}& x=-\cfrac{5\pi}{6}+2k\pi \end{matrix}

gdzie k \in \mathbb{C}.

Równanie tan(x) = a

 

Wzór: Równanie tanx=a

\tan x=a

Rozwiązaniami takiego równania są:

\begin{matrix}x=x_0+k\pi \end{matrix}

gdzie k \in \mathbb{C}.

 

 

 

Spójrz na poniższy rysunek:

 

Przykład 3

Rozwiąż równanie:

\tan x=- \cfrac{\sqrt{3}}{3}.

Spójrz na rysunek:

Z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy, że

\tan \cfrac{\pi}{6}=\cfrac{\sqrt{3}}{3}.

Musimy odczytać wartość argumentu x_0. Ale odległość puntu x_0 od 0 jest równa \cfrac{\pi}{6}, czyli:

x_0=-\cfrac{\pi}{6}.

Zatem zbiór wszystkich rozwiązań to:

\begin{matrix}x=-\cfrac{\pi}{6}+k\pi \end{matrix}

gdzie k \in \mathbb{C}.


Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz