1. Jedynka trygonometryczna
  2. Wzory redukcyjne

Związki między funkcjami trygonometrycznymi

Między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta \alpha zachodzą związki:

\Large{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1}

\Large{\tan \alpha * \cot \alpha=1}

\Large{\tan\alpha=\cfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} }

\Large{\cot\alpha=\cfrac{1}{\tan\alpha}=\cfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}

dla \sin\alpha \neq 0 i  \cos\alpha \neq 0

Przykład

Oblicz \tan\alpha i \cot\alpha wiedząc, że \sin\alpha = \cfrac{1}{2} oraz \alpha jest kątem ostrym.

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej, aby obliczyć \cos\alpha

(\cfrac{1}{2})^2+\cos^2\alpha =  1

\cfrac{1}{4}+\cos^2\alpha = 1

\cos^2\alpha = 1 - \cfrac{1}{4}

\cos^2\alpha = \cfrac{3}{4}

\cos\alpha = \cfrac{\sqrt{3}}{2} \qquad \text{lub} \qquad \cos\alpha = -\cfrac{\sqrt{3}}{2}

ponieważ \alpha jest kątem ostrym

\cos\alpha =  \cfrac{\sqrt{3}}{2}

korzystając ze związku między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta liczymy

\tan\alpha=\cfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\cfrac{\cfrac{1}{2}}{\cfrac{\sqrt{3}}{2}}=\cfrac{1}{\sqrt{3}}=\cfrac{\sqrt{3}}{3}

\cot\alpha=\cfrac{1}{\tan\alpha}=\cfrac{1}{\cfrac{\sqrt{3}}{3}}=\cfrac{3}{\sqrt{3}}=\cfrac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}

Przykład

Oblicz \cot\alpha mając dane \tan\alpha =  1.

Korzystając ze związku między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta liczymy

\cot\alpha = \cfrac{1}{\tan\alpha} =  \cfrac{1}{1} = 1

Wzory trygonometryczne dla funkcji sinus

Sinus sumy kątów

\Large{\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha \cos\beta+\cos\alpha \sin\beta}

Przykład

Oblicz \sin105^{\circ}.

Korzystając z wzoru na sinus sumy kątów, to zadanie możemy bardzo łatwo rozwiązać.

\sin105^{\circ}=\sin(60^{\circ}+45^{\circ})=\sin60^{\circ}  \cos45^{\circ}+\cos60^{\circ} \sin45^{\circ}=

=\cfrac{\sqrt{3}}{2}* \cfrac{\sqrt{2}}{2}+\cfrac{1}{2} * \cfrac{\sqrt{2}}{2}=\cfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

Sinus różnicy kątów

\Large{\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha  \cos\beta-\cos\alpha \sin\beta}

Przykład

Oblicz \sin15^{\circ}.

Korzystając z wzoru na sinus sumy kątów, to zadanie możemy bardzo łatwo rozwiązać.

\sin15^{\circ}=\sin(60^{\circ}-45^{\circ})=\sin60^{\circ}   \cos45^{\circ}-\cos60^{\circ} \sin45^{\circ}=

=\cfrac{\sqrt{3}}{2}* \cfrac{\sqrt{2}}{2}-\cfrac{1}{2} *  \cfrac{\sqrt{2}}{2}=\cfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}

Dany jest kąt ostry \alpha. Jeżeli \tan\alpha=\frac{3}{2} to:

Trygonometria - wzory dla cosinus i tangens

Cosinus sumy kątów

\Large{\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha \cos\beta -\sin\alpha \sin\beta}

 

Cosinus różnicy kątów

\Large{\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha  \sin\beta}

Przykład

Oblicz \cos15^{\circ}.

\cos15^{\circ}=\cos(45^{\circ}-30^{\circ})=\cos45^{\circ} \cos30^{\circ} + \sin45^{\circ}  \sin30^{\circ}=

=\cfrac{\sqrt{2}}{2} * \cfrac{\sqrt{3}}{2}+\cfrac{\sqrt{2}}{2} * \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

 

Tangens sumy kątów

\Large{\tan(\alpha +\beta)=\cfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha* \tan\beta}}

gdzie  1-\tan\alpha*\tan\beta \neq 0.

 

Tangens różnicy kątów

\Large{\tan(\alpha -\beta)=\cfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha* \tan\beta}}

gdzie 1+\tan\alpha*\tan\beta \neq 0.

Wzory trygonometryczne podwójnego kąta

\Large{\sin 2 \alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha}

\Large{\cos 2 \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha}

\Large{\tan 2 \alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}}

Wzory trygonometryczne dla sumy i różnicy funkcji

\Large{\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2}}

\Large{\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}}

\Large{ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2}}

\Large{\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2}}

\Large{\tan \alpha + \tan \beta= \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}}

\Large{\tan \alpha - \tan \beta = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}}

Wzory na iloczyny funkcji trygonometrycznych

\Large{\sin \alpha \sin \beta = -\frac{1}{2}\left[\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta) \right]}

\Large{\cos\alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\left[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) \right]}

\Large{\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\left[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right]}

Zadanie 1

Wiedząc, że \alpha  jest kątem ostrym oraz że \cos\alpha=\cfrac{3}{5} oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

 Dany jest kąt ostry \alpha. Jeżeli \sin\alpha=\cfrac{4}{5}  to:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Jeżeli \cos x =\frac{\sqrt{3}}{2}, to \sin x * \tan x wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Wiedząc, że \alpha  jest kątem ostrym oraz że \tan\alpha=3 oblicz wartość wyrażenia \cfrac{3\sin\alpha+5\cos\alpha}{6\sin\alpha+\cos\alpha}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Wykaż, że prawdziwa jest równość \tan^2\alpha-\cfrac{1}{\tan^2\alpha}=\cfrac{1}{\cos^2\alpha}-\cfrac{1}{\sin^2\alpha}.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

1 komentarz

  1. Default avatar
    bald 29.01.2013 15:08

    Bardzo fajna i pomocna strona, w łatwy sposób wytłumaczone najwazniesze rzeczy, wielkie dzięki :)

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz