Wzory redukcyjne

Aby łatwo wyznaczać wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnego kąta, przez sprowadzanie do przypadku kąta ostrego, możemy korzystać ze wzorów redukcyjnych. Są one bardzo pomocne przy rozwiązywaniu tego typu zadań.

Zanim jednak przejdziemy do omówienia wzorów redukcyjnych, musisz zapoznać się z poniższą tabelą znaków funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach.

Przypomnienie:

Tabela znaków funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach:

  

ZAPAMIĘTAJ!

W pierwszej wszystkie są dodatnie,

w drugiej tylko sinus,

w trzeciej tangens i cotangens,

a w czwartej cosinus.

Sprowadzanie obliczania wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta do przypadku kąta ostrego za pomocą wzorów redukcyjnych, możemy podzielić na dwa etapy.

Pierwszy etap to ustalenie znaku ( + lub - ).

Do ustalania znaku posłuży nam powyższa tabela. Mam nadzieję, że z zapamiętaniem znaków funkcji trygonometrycznych nie masz już problemów. W jaki sposób ustalamy znak pokażemy na przykładzie:

Przykład

Niech \alpha \in (0,\cfrac{\pi}{2}). Ustal znak wyrażeń:

\quad \sin(\cfrac{\pi}{2}-\alpha)

Ponieważ \alpha jest kątem ostrym, to \cfrac{\pi}{2}-\alpha leży w pierwszej ćwiartce. Sinus w pierwszej ćwiartce jest dodatni, zatem znak tego wyrażenia to: +.

\quad \cos(\cfrac{\pi}{2}+\alpha)

Ponieważ \alpha jest kątem ostrym, to \cfrac{\pi}{2}+\alpha leży w drugiej ćwiartce. Cosinus w drugiej ćwiartce jest ujemny, zatem znak tego wyrażenia to:  - .

\quad \tan(\cfrac{3}{2}\pi-\alpha)

Ponieważ \alpha jest kątem ostrym, to \cfrac{3}{2}\pi-\alpha leży w trzeciej ćwiartce. Tangens w trzeciej ćwiartce jest dodatni, zatem znak tego wyrażenia to: +

\quad \cot(\cfrac{3}{2}\pi+\alpha)

Ponieważ \alpha jest kątem ostrym, to \cfrac{3}{2}\pi+\alpha leży w czwartej ćwiartce. Kotangens w czwartej ćwiartce jest ujemny, zatem znak tego wyrażenia to: -

Drugi etap to zdecydowanie czy funkcja zmienia się na przeciwną czy też nie. Tzn. czy sinus zmienia się na cosinus (bądź odwrotnie) oraz czy tangens zmienia się na kotangens (lub odwrotnie).

Zasada jest następująca:

Jeżeli obliczamy wartość funkcji trygonometrycznej dla kątów \cfrac{\pi}{2} \pm \alpha lub \cfrac{3}{2}\pi \pm  \alpha, to zmieniamy funkcję na przeciwną (kofunkcję).

Jeżeli obliczamy wartość funkcji trygonometrycznej dla kątów \pi \pm \alpha lub 2\pi -  \alpha, to nie zmieniamy funkcji.

Jeżeli już ustalimy znak oraz funkcję to możemy zredukować kąt jaki mamy obliczyć.

Przykład 1

\alpha jest kątem ostrnym.

\quad \sin (\cfrac{\pi}{2}+\alpha)=...

Kąt \cfrac{\pi}{2}+\alpha leży w drugiej ćwiartce. Sinus w drugiej ćwiartce jest dodatni, zatem znak wyrażenia jest dodatni.

Obliczamy wartość dla \cfrac{\pi}{2}+\alpha, dlatego zgodnie z wyżej opisaną zasadą,  zmieniamy funkcję sinus na kofunkcję czyli cosinus..

Po zredukowaniu obliczamy wartość tylko dla kąta \alpha. Otrzymujemy, że \sin (\cfrac{\pi}{2}+\alpha)= \cos (\alpha).

Przykład 2

\alpha jest kątem ostrym.

\quad \cos (\cfrac{\pi}{2}-\alpha)=...

Kąt \cfrac{\pi}{2}-\alpha leży w pierwszej ćwiartce. cosinus w pierwszej ćwiartce jest dodatni, zatem znak wyrażenia jest dodatni.

Obliczamy wartość dla \cfrac{\pi}{2}-\alpha, dlatego zgodnie z wyżej opisaną zasadą,  zmieniamy funkcję cosinus na kofunkcję czyli sinus.

Po zredukowaniu obliczamy wartość tylko dla kąta \alpha. Otrzymujemy, że \cos (\cfrac{\pi}{2}-\alpha)= \sin (\alpha).

Przykład 3

\alpha jest kątem ostrym.

\quad \tan (\pi-\alpha)=...

Kąt \pi-\alpha leży w drugiej ćwiartce. Tangens w drugiej ćwiartce jest ujemny, zatem znak wyrażenia jest ujemny.

Obliczamy wartość dla \pi-\alpha, dlatego zgodnie z wyżej opisaną zasadą, nie zmieniamy funkcji.

Po zredukowaniu obliczamy wartość tylko dla kąta \alpha. Otrzymujemy, że \tan (\pi-\alpha)= -\tan (\alpha).

Przykład 4

\alpha jest kątem ostrym.

\quad \cot (\pi+\alpha)=...

Kąt \pi+\alpha leży w trzeciej ćwiartce. Kotangens w trzeciej ćwiartce jest dodatni, zatem znak wyrażenia też jest dodatni.

Obliczamy wartość dla \pi+\alpha, dlatego zgodnie z wyżej opisaną zasadą, nie zmieniamy funkcji.

Po zredukowaniu obliczamy wartość tylko dla kąta \alpha. Otrzymujemy, że \cot (\pi+\alpha)= \cot (\alpha).


Zadanie 1

Dany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym 150\textdegree. Pole tego rombu jest równe
Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz