Wzory redukcyjne
Aby łatwo wyznaczać wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnego kąta, przez sprowadzanie do przypadku kąta ostrego, możemy korzystać ze wzorów redukcyjnych. Są one bardzo pomocne przy rozwiązywaniu tego typu zadań.
Zanim jednak przejdziemy do omówienia wzorów redukcyjnych, musisz zapoznać się z poniższą tabelą znaków funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach.
Przypomnienie:
Tabela znaków funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach:
W pierwszej wszystkie są dodatnie,
w drugiej tylko sinus,
w trzeciej tangens i cotangens,
a w czwartej cosinus.Sprowadzanie obliczania wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta do przypadku kąta ostrego za pomocą wzorów redukcyjnych, możemy podzielić na dwa etapy.
Pierwszy etap to ustalenie znaku ( + lub - ).
Do ustalania znaku posłuży nam powyższa tabela. Mam nadzieję, że z zapamiętaniem znaków funkcji trygonometrycznych nie masz już problemów. W jaki sposób ustalamy znak pokażemy na przykładzie:
Niech . Ustal znak wyrażeń:
Ponieważ jest kątem ostrym, to leży w pierwszej ćwiartce. Sinus w pierwszej ćwiartce jest dodatni, zatem znak tego wyrażenia to: +.
Ponieważ jest kątem ostrym, to leży w drugiej ćwiartce. Cosinus w drugiej ćwiartce jest ujemny, zatem znak tego wyrażenia to: - .
Ponieważ jest kątem ostrym, to leży w trzeciej ćwiartce. Tangens w trzeciej ćwiartce jest dodatni, zatem znak tego wyrażenia to: +
Ponieważ jest kątem ostrym, to leży w czwartej ćwiartce. Kotangens w czwartej ćwiartce jest ujemny, zatem znak tego wyrażenia to: -
Drugi etap to zdecydowanie czy funkcja zmienia się na przeciwną czy też nie. Tzn. czy sinus zmienia się na cosinus (bądź odwrotnie) oraz czy tangens zmienia się na kotangens (lub odwrotnie).
Zasada jest następująca:
Jeżeli obliczamy wartość funkcji trygonometrycznej dla kątów lub , to zmieniamy funkcję na przeciwną (kofunkcję).
Jeżeli obliczamy wartość funkcji trygonometrycznej dla kątów lub , to nie zmieniamy funkcji.
Jeżeli już ustalimy znak oraz funkcję to możemy zredukować kąt jaki mamy obliczyć.
Przykład 1
jest kątem ostrnym.
Kąt leży w drugiej ćwiartce. Sinus w drugiej ćwiartce jest dodatni, zatem znak wyrażenia jest dodatni.
Obliczamy wartość dla , dlatego zgodnie z wyżej opisaną zasadą, zmieniamy funkcję sinus na kofunkcję czyli cosinus..
Po zredukowaniu obliczamy wartość tylko dla kąta . Otrzymujemy, że .
Przykład 2
jest kątem ostrym.
Kąt leży w pierwszej ćwiartce. cosinus w pierwszej ćwiartce jest dodatni, zatem znak wyrażenia jest dodatni.
Obliczamy wartość dla , dlatego zgodnie z wyżej opisaną zasadą, zmieniamy funkcję cosinus na kofunkcję czyli sinus.
Po zredukowaniu obliczamy wartość tylko dla kąta . Otrzymujemy, że .
Przykład 3
jest kątem ostrym.
Kąt leży w drugiej ćwiartce. Tangens w drugiej ćwiartce jest ujemny, zatem znak wyrażenia jest ujemny.
Obliczamy wartość dla , dlatego zgodnie z wyżej opisaną zasadą, nie zmieniamy funkcji.
Po zredukowaniu obliczamy wartość tylko dla kąta . Otrzymujemy, że .
Przykład 4
jest kątem ostrym.
Kąt leży w trzeciej ćwiartce. Kotangens w trzeciej ćwiartce jest dodatni, zatem znak wyrażenia też jest dodatni.
Obliczamy wartość dla , dlatego zgodnie z wyżej opisaną zasadą, nie zmieniamy funkcji.
Po zredukowaniu obliczamy wartość tylko dla kąta . Otrzymujemy, że .
Dany jest romb o boku długości i kącie rozwartym . Pole tego rombu jest równeZobacz rozwiązanie
Zobacz rozwiązanieLiczba jest równa
Przeczytaj także:
COMMENT_CONTENT