Jedynka trygonometryczna

Wzór: Jedynka trygonometryczna

Dla każdego kąta \alpha prawdziwy jest wzór:

\sin^2\alpha +\cos^2\alpha=1

Dzięki temu związkowi możemy w łatwy sposób wyliczyć wartość funkcji \sin\alpha, gdy mamy daną wartość \cos\alpha lub odwrotnie.

Przykład 1

Dane jest \sin\alpha = \cfrac{1}{2}, znajdź wartość funkcji \cos\alpha wiedząc, że \alpha jest kątem ostrym.

Korzystając z wzoru na jedynkę trygonometryczną mamy

(\cfrac{1}{2})^2+\cos^2\alpha =  1

\cfrac{1}{4}+\cos^2\alpha = 1

\cos^2\alpha = 1 - \cfrac{1}{4}

\cos^2\alpha = \cfrac{3}{4}

zatem

\cos\alpha=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\qquad\text{lub}\qquad \cos\alpha=-\cfrac{\sqrt{3}}{2}

ponieważ \alpha jest kątem ostrym a wartości  cosinusa dla kąta ostrego są dodatnie, otrzymujemy

\cos\alpha =  \cfrac{\sqrt{3}}{2}

Przykład 2

Oblicz wartość wyrażenia \cfrac{1}{\sin^2 \alpha + \cos^2  \alpha}

Liczymy wartość podstawiając za mianownik zależność na jedynkę trygonometryczną

\cfrac{1}{\sin^2 \alpha + \cos^2  \alpha} = \cfrac{1}{1} = 1


Zadanie 1

 Dany jest kąt ostry \alpha. Jeżeli \sin\alpha=\cfrac{3}{4} to \cos\alpha wynosi:

 

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

  Dany jest kąt ostry \alpha. Jeżeli \cos\alpha=\cfrac{1}{5} to \sin\alpha wynosi:

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

 Dany jest kąt ostry \alpha. Jeżeli \sin\alpha=\cfrac{4}{5}  to:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Dany jest kąt ostry \alpha. Wiadomo, że \sin\alpha=\cfrac{3}{7}. Wtedy \cos\alpha wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Oblicz \tan\alpha, \cos\alpha, \cot\alpha, wiedząc, że \sin\alpha=\cfrac{4}{7} oraz \alpha jest kątem ostrym.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Rozwiąż równanie \cfrac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\cfrac{4}{3}, gdziel \alpha jest kątem ostrym.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź czy prawdziwa jest równość  (\sin\alpha+\cos\alpha)^2=1+\sin2\alpha.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Udowodnij, że prawdziwa jest równość \cfrac{1}{\sin^2\alpha}-\cot^2\alpha=1 dla wszystkich  \alpha\in (0,90^{\circ}].

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Udowodnij, że prawdziwa jest równość \tan^2\alpha+1=\cfrac{1}{\cos^2\alpha} dla wszystkich \alpha\in[0,90^{\circ}).

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz