Tożsamości trygonometryczne

Tożsamość trygonometryczna, to pewna zależność między funkcjami trygonometrycznymi. Podstawowymi tożsamościami są

\sin^2x+\cos^2x=1 - Jedynka trygonometryczna

 \tan x * \cot x=1

\tan x=\cfrac{\sin x}{\cos x}, gdy \cos x \neq 0.

Teraz zajmiemy się udowadnianiem innych tożsamości trygonometrycznych.

 

Przykład 1

Udowodnij tożsamość:

\quad \cfrac{2 \tan x}{1- \tan^2 x}=\cfrac{2\sin x \cos x}{1-2 \sin^2 x}

Rozwiązując tego typu zadania, przekształcamy wyrażenie po jednej stronie równania i dochodzimy do drugiej strony równania.

\quad \cfrac{2 \tan x}{1- \tan^2 x}=\cfrac{2 \cfrac{\sin x}{\cos x}}{1- \cfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}=\cfrac{2 \cfrac{\sin x}{\cos x}}{ \cfrac{\cos^2x-\sin^2 x}{\cos^2 x}}=\cfrac{2 \cfrac{\sin x}{\cos x}* \cos^2 x}{ \cos^2x-\sin^2 x}=\cfrac{2 \sin x \cos x}{ 1-\sin^2x-\sin^2 x}=

=\cfrac{2\sin x \cos x}{1-2 \sin^2 x}

Przykład 2

Udowodnij tożsamość:

\cfrac{1-\tan^2 x}{1+ \tan^2 x}= 1-2 \sin^2 x

Chcemy pokazać, że lewa strona równa się prawej

 \cfrac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}=\cfrac{1-\cfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}{1+\cfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}=\cfrac{\cfrac{\cos^2x-\sin^2 x}{\cos^2 x}}{\cfrac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}}=\cfrac{\cos^2x-\sin^2 x}{\cos^2 x+\sin^2 x}=\cos^2x-\sin^2 x=

=1-\sin^2 x-\sin^2 x=1-2 \sin^2 x

Przykład 3

Udowodnij tożsamość: 

 \quad \sin(x+y)\sin(x-y)=\sin^2x-\sin^2y

Przejdźmy do dowodu: 

\quad \sin(x+y)\sin(x-y)=

=(\sin x \cos y + \sin y \cos x ) (\sin x \cos y - \sin y \cos x )=

=(\sin^2 x \cos^2 y - \sin^2 y \cos^2 x - \sin x \cos y \sin y \cos x+

+\sin y \cos x \sin x \cos y)=\sin^2 x \cos^2 y - \sin^2 y \cos^2 x=

=\sin^2 x (1-\sin^2 y) - \sin^2 y(1- \sin^2 x)=

=\sin^2 x - \sin^2 x \sin^2 y - \sin^2 y+\sin^2 x \sin^2 y=

= \sin^2x- \sin^2y


Zadanie 1

Sprawdź czy prawdziwa jest równość  (\sin\alpha+\cos\alpha)^2=1+\sin2\alpha.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Wykaż, że prawdziwa jest tożsamość

 \sin(x-y)* \sin(x+y)=(\sin x -\sin y)* (\sin x +\sin y)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Wskaż prawdziwą równość.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz