Równania z wartością bezwzględną.

Spis treści

1. Równania z wartością bezwzględną.
2. Przykłady równań z wartością bezwzględną c.d.

---

Równania z wartością bezwzględną.

Przed tą nauką powinieneś powtórzyć podstawowe wiadomości dotyczące wartości bezwzględnej.

A teraz krótkie przypomnienie...

 

Wartość bezwzględną interpretujemy jako odległość liczby rzeczywistej [tex]a[/tex] od zera.

W tej nauce zajmiemy się rozwiązywaniem równań z wartością bezwzględną o większym stopniu trudności.

 

[tex]||x+3|+6|=7[/tex]

Wyrażenie [tex]|x+3|+6[/tex] pod zewnętrzną wartością bezwzględną jest równe [tex]7[/tex] lub [tex]-7[/tex], dlatego rozważamy dwa przypadki:

 

• [tex]|x+3|+6=7[/tex]

[tex]|x+3|=7-6=1[/tex]

Wyrażenie pod wartością bezwzględną jest równe [tex]1[/tex] lub [tex]-1[/tex]. Rozwiązujemy dwa równania:

[tex]\begin{matrix} x +3=1 & \text{lub}\ \ x+3=-1 \\ x=-2 & x=-4 \end{matrix}[/tex]

 Otrzymaliśmy rozwiązania:

[tex]\begin{matrix}
x=-2 &\text{lub}\ \ x=-4
\end{matrix}[/tex]

• [tex]|x+3|+6=-7[/tex]

Rozwiązujemy drugi przypadek, gdy  wyrażenie [tex]|x+3|+6[/tex] pod zewnętrzną wartością bezwzględną jest równe [tex]-7[/tex].

 [tex]|x+3|=-7-6=-13[/tex]

Wartość bezwzględna jest nieujemna, dlatego to równanie jest sprzeczne.

 

Podsumowując:

Rozwiązaniem  równania jest [tex]x=-2[/tex] lub [tex]x=-4[/tex].

 

[tex]||3x-3|-3x|=3[/tex]

Wyrażenie [tex]|3x-3|-3x[/tex] pod zewnętrzną wartością bezwzględną jest równe [tex]3[/tex] lub [tex]-3[/tex], dlatego rozważamy dwa przypadki.

 

• [tex]|3x-3|-3x=3[/tex]

[tex]|3x-3|-3x=3[/tex]

[tex]|3x-3|=3+3x[/tex]

To równanie ma rozwiązanie tylko wtedy, gdy prawa strona tego równania jest nieujemna, tzn.

[tex]3+3x \geq 0[/tex] 

[tex]3x \geq -3[/tex]

[tex]x \geq -1[/tex]

Rozwiązań tego równania będziemy szukać w zbiorze [tex][-1,+\infty)[/tex].

Wyrażenie [tex]3x-3[/tex] pod wartością bezwzględną jest równe [tex]3+3x[/tex] lub [tex]-(3+3x)[/tex]:

[tex]\begin{matrix}
3x-3=3+3x &\text{lub}\ \ 3x-3=-3-3x \\
 -3=3& 6x=0\\
\text{r. sprzeczne}& x=0
\end{matrix}[/tex]

 [tex]x=0[/tex]  należy do zbioru [tex][-1,+\infty)[/tex], w którym szukamy rozwiązań, dlatego  jest rozwiązaniem.

 

• [tex]|3x-3|-3x=-3[/tex]

Rozwiązujemy drugi przypadek, gdy  wyrażenie [tex]|3x-3|-3x[/tex] pod zewnętrzną wartością bezwzględną jest równe [tex]-3[/tex].

[tex]|3x-3|-3x=-3[/tex]

[tex]|3x-3|=3x-3[/tex]

To równanie ma rozwiązanie tylko wtedy, gdy prawa strona tego równania jest nieujemna, tzn.

[tex]3x-3 \geq 0[/tex]

[tex]3x \geq 3[/tex]

[tex] x \geq 1[/tex]

Będziemy szukać rozwiązań w zbiorze [tex][1, +\infty)[/tex].

Wyrażenie [tex]3x-3[/tex] pod wartością bezwzględną jest równe [tex]3x-3[/tex] lub [tex]-3x+3[/tex]:

[tex]\begin{matrix}
3x-3=3x-3 &\text{lub}\ \ 3x-3=-3x+3 \\
 0=0& 6x=6\\
r.tozsamosciowe& x=1
\end{matrix}[/tex]

Równanie po lewej stronie  ma nieskończoną liczbę rozwiązań w zbiorze [tex][1, +\infty)[/tex]. Wszystkie liczby z tego zbioru są rozwiązaniem tego równania.

Podsumowując:

Z pierwszego i drugiego rozważanego przypadku, otrzymujemy, że rozwiązaniem równania jest każda liczba :

[tex]x \in [1, +\infty)\cup \{0\}[/tex]

Przykłady równań z wartością bezwzględną c.d.

[tex]|x-5|-|x+2|=2[/tex]

Rozwiązywanie tego typu równań, gdzie mamy sumę wartości bezwzględnych pewnych wyrażeń, zaczynamy od wyznaczenia przedziałów, w jakich będziemy rozwiązywać to równanie. Przyrównujemy wyrażenia pod każdą z wartości bezwzględnych do zera, aby wyznaczyć punkty podziału osi.

[tex]\begin{matrix}
x-5=0 & \qquad x+2=0 \\
 x=5&\qquad  x=-2
\end{matrix}[/tex]

 Dzielimy oś liczbową na przedziały:

• [tex](-\infty, -2][/tex]
• [tex](-2,5][/tex]
• [tex](5,+\infty)[/tex]

W każdym z tych przedziałów będziemy rozwiązywać równanie.

•  [tex]x \in (-\infty, -2][/tex]

Jeżeli rozważamy [tex]x[/tex]  tylko z przedziału [tex](-\infty, -2][/tex], to wyrażenie [tex]x-5[/tex] dla takich argumentów zawsze będzie przyjmować wartości ujemne. Opuszczając wartość bezwzględną tego wyrażenia w tym przypadku, napiszemy [tex]-x+5[/tex], zamiast [tex]x-5[/tex].

Podobnie jeżeli rozważamy [tex]x[/tex]  tylko z przedziału [tex](-\infty, -2][/tex], to wyrażenie [tex]x+2[/tex] dla takich argumentów zawsze będzie przyjmować wartości ujemne. Opuszczając wartość bezwzględną tego wyrażenia w tym przypadku, napiszemy [tex]-x-2[/tex], zamiast [tex]x+2[/tex].

Po opuszczeniu wartości bezwzględnych obu wyrażeń otrzymamy równanie:

[tex]-x+5-(-x-2)=2[/tex]

[tex]-x+5+x+2=2[/tex]

[tex]7=2[/tex]

Równanie sprzeczne.

• [tex]x \in (-2,5][/tex]

Przeprowadzając podobne rozumowanie, jak w pierwszym przypadku otrzymujemy, że:

Dla [tex]x \in (-2,5][/tex]

[tex]\begin{matrix}
x-5 \leq 0 &\qquad x+2>0
\end{matrix}[/tex]

Opuszczając wartość bezwzględną wyrażenie [tex]x-5[/tex] zastępujemy jego wyrażeniem przeciwnym [tex]-x+5[/tex], natomiast wyrażenie pod drugą wartością bezwzględną pozostawiamy bez zmian. Otrzymujemy równanie:

[tex]-x+5-(x+2)=2[/tex]

[tex]-x+5-x-2=2[/tex]

[tex]-2x=-1[/tex]

[tex]x=\cfrac{1}{2}[/tex]

Sprawdzamy, czy tak wyznaczony [tex]x[/tex] znajduje się w przedziale, który rozważamy w tym przypadku.

 [tex]\cfrac{1}{2} \in (-2, 5][/tex]

Ponieważ [tex]x=\cfrac{1}{2}[/tex]  należy do rozważanego przedziału, to  jest rozwiązaniem równania.

.

• [tex]x \in (5,+\infty)[/tex]

Pozostaje do sprawdzenia ostatni przypadek.

Dla [tex]x \in (5,+\infty)[/tex]

[tex]\begin{matrix}
x-5 > 0 &\qquad x+2>0
\end{matrix}[/tex]

 Dla takich argumentów oba wyrażenia są dodatnie, dlatego opuszczając wartość bezwzględną nie zmieniamy ich znaku. Otrzymujemy równanie:

[tex]x-5-(x+2)=2[/tex]

[tex]x-5-x-2=2[/tex]

[tex]-7=2[/tex]

Równanie sprzeczne.

Podsumowując:

Sumując rozwiązania z wszystkich przypadków otrzymujemy, że

[tex]x=\cfrac{1}{2}[/tex]

jest jedynym rozwiązaniem równania.

 

[tex]||2x+6|-|x||=9[/tex]

Opuszczając zewnętrzną wartość bezwzględną, dzielimy rozwiązywanie powyższego równania na dwa przypadki. Gdy wyrażenie pod tą wartością bezwzględną jest równe [tex]9[/tex] lub [tex]-9[/tex].

• [tex]|2x+6|-|x|=9[/tex]

Teraz postępujemy analogicznie jak w poprzednim przykładzie. Wyznaczamy punkty podziału osi liczbowej, przez przyrównanie wyrażeń pod wartością bezwzględną do zera.

[tex]\begin{matrix}
2x+6 = 0 &\qquad x=0\\
x=-3&
\end{matrix}[/tex]

Otrzymaliśmy podział osi na trzy przedziały. W każdym z tych przedziałów rozwiązujemy równanie.

[tex]\bullet  \quad x \in (-\infty, -3][/tex]

Dla [tex]x[/tex] z tego  przedziału zachodzą nierówności:

[tex]\begin{matrix}
2x+6 < 0 &\qquad x<0
\end{matrix}[/tex]

 Dla takich argumentów oba wyrażenia są ujemne, dlatego opuszczając wartość bezwzględną zmieniamy ich znak na przeciwny. Otrzymujemy równanie:

[tex]-2x-6+x=9[/tex]

[tex]x=-15[/tex]

Sprawdzamy czy tak wyznaczony [tex]x[/tex] należy do odpowiedniego przedziału.

[tex]-15 \in (-\infty, -3][/tex]

[tex]x=-15[/tex] jest rozwiązaniem równania.

 

[tex]\bullet \quad x \in  (-3,0][/tex]

Dla [tex]x[/tex] z tego  przedziału zachodzą nierówności:

[tex]\begin{matrix}
2x+6 > 0 &\qquad x<0
\end{matrix}[/tex]

 Dla takich argumentów oba wyrażenie [tex]2x+6[/tex] jest dodatnie, dlatego opuszczając wartość bezwzględną nie zmieniamy jego znaku na przeciwny.

[tex]2x+6+x=9[/tex]

[tex]3x=3[/tex]

[tex]x=1[/tex]

Sprawdzamy czy tak wyznaczony [tex]x[/tex] należy do odpowiedniego przedziału.

[tex]1 \notin ( -3,0][/tex]

[tex]x=1[/tex]nie  jest rozwiązaniem równania w tym przypadku.

 

[tex] \bullet \quad x \in  (0,+\infty)[/tex]

Dla [tex]x[/tex] z tego  przedziału zachodzą nierówności:

[tex]\begin{matrix}
2x+6 > 0 &\qquad x>0
\end{matrix}[/tex]

Dla takich argumentów oba wyrażenia są dodatnie, dlatego opuszczając wartość bezwzględną nie zmieniamy ich znaku na przeciwny. Otrzymujemy równanie:

[tex]2x+6-x=9[/tex]

[tex]x=3[/tex]

Sprawdzamy czy tak wyznaczony [tex]x[/tex] należy do odpowiedniego przedziału.

[tex]3 \in (0,+\infty)[/tex]

[tex]x=3[/tex] jest rozwiązaniem równania.

 

• [tex]|2x+6|-|x|=-9[/tex]

Przechodzimy do drugiego przypadku, gdy wyrażenie [tex]|2x+6|-|x|[/tex] jest równe [tex]-9[/tex].

Tak jak poprzednio, przyrównujemy wyrażenia pod każdą z wartości bezwzględnych do zera, aby wyznaczyć punkty podziału osi.

[tex]\begin{matrix}
2x+6 = 0 &\qquad x=0\\
x=-3&
\end{matrix}[/tex]

Otrzymaliśmy podział osi na trzy przedziały. W każdym z tych przedziałów rozwiązujemy równanie.

[tex]\quad x \in (-\infty, -3][/tex]

Dla [tex]x[/tex] z tego  przedziału zachodzą nierówności:

[tex]\begin{matrix}
2x+6 < 0 &\qquad x<0
\end{matrix}[/tex]

Dla obu wyrażeń zmieniamy znak i otrzymujemy równanie:

[tex]-2x-6+x=-9[/tex]

[tex]-x=-3[/tex]

[tex]x=3[/tex]

Sprawdzamy czy tak wyznaczony [tex]x[/tex] należy do rozważanego przedziału.

[tex]x \notin (-\infty, -3][/tex]

Zatem nie jest to rozwiązanie w tym przypadku.

[tex]\quad x \in ( -3,0][/tex]

Dla [tex]x[/tex] z tego  przedziału zachodzą nierówności:

[tex]\begin{matrix}
2x+6 > 0 &\qquad x<0
\end{matrix}[/tex]

 Otrzymujemy równanie:

[tex]2x+6+x=-9[/tex]

[tex]3x=-15[/tex]

[tex] x=-5[/tex]

[tex]-5 \notin ( -3,0][/tex]

Nie jest to zatem rozwiązanie.

[tex]\quad x \in ( 0,+\infty)[/tex]

Oba wyrażenia pod wartością bezwzględną w tym przedziale są dodatnie. Opuszczając wartość bezwzględną nie zmieniamy znaku wyrażenia.

[tex]2x+6-x=-9[/tex]

[tex]x=-15[/tex]

[tex]-15 \notin ( 0,+\infty)[/tex]

Podsumowanie:

Sumując wszystkie rozwiązania w pierwszym i drugim przypadku, otrzymujemy, że rozwiązaniami równania są

[tex]x=-15, \ \text{lub}\ x=3[/tex]

---

Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Liceum » Wartość bezwzględna » #386

Rozwiąż równanie: [tex]|x-15|=15[/tex]

---

Liceum » Wartość bezwzględna » #431

Rozwiąż równanie: [tex]|x+4|=32[/tex]

---

Liceum » Wartość bezwzględna » #553

Rozwiąż równanie:

[tex] | |2x-1|+3|x| +|3x-3| |=6[/tex].

---

Liceum » Wielomiany » #568

Rozwiąż równanie:

[tex]|8x^3-1|=4x^2+2x+1[/tex].

---

Liceum » Wartość bezwzględna » #552

Rozwiąż równanie:

[tex]|x-4|+|x-2|=4[/tex].

---