Trudniejsze równania z wartością bezwzględną
Przed tą nauką powinieneś powtórzyć podstawowe wiadomości dotyczące wartości bezwzględnej oraz rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną.
A teraz krótkie przypomnienie...
Wartość bezwzględną interpretujemy jako odległość liczby rzeczywistej od zera.
W tej nauce zajmiemy się rozwiązywaniem równań z wartością bezwzględną o większym stopniu trudności.
Rozwiąż równanie:
Wyrażenie pod zewnętrzną wartością bezwzględną jest równe lub , dlatego rozważamy dwa przypadki:
Wyrażenie pod wartością bezwzględną jest równe lub . Rozwiązujemy dwa równania:
Otrzymaliśmy rozwiązania:
Rozwiązujemy drugi przypadek, gdy wyrażenie pod zewnętrzną wartością bezwzględną jest równe .
Wartość bezwzględna jest nieujemna, dlatego to równanie jest sprzeczne.
Podsumowując:
Rozwiązaniem równania jest lub .
Rozwiąż równanie:
Wyrażenie pod zewnętrzną wartością bezwzględną jest równe lub , dlatego rozważamy dwa przypadki.
To równanie ma rozwiązanie tylko wtedy, gdy prawa strona tego równania jest nieujemna, tzn.
Rozwiązań tego równania będziemy szukać w zbiorze .
Wyrażenie pod wartością bezwzględną jest równe lub :
należy do zbioru , w którym szukamy rozwiązań, dlatego jest rozwiązaniem.
Rozwiązujemy drugi przypadek, gdy wyrażenie pod zewnętrzną wartością bezwzględną jest równe .
To równanie ma rozwiązanie tylko wtedy, gdy prawa strona tego równania jest nieujemna, tzn.
Będziemy szukać rozwiązań w zbiorze .
Wyrażenie pod wartością bezwzględną jest równe lub :
Równanie po lewej stronie ma nieskończoną liczbę rozwiązań w zbiorze . Wszystkie liczby z tego zbioru są rozwiązaniem tego równania.
Podsumowując:
Z pierwszego i drugiego rozważanego przypadku, otrzymujemy, że rozwiązaniem równania jest każda liczba :
Przykłady równań z wartością bezwzględną
Rozwiąż równanie:
Rozwiązywanie tego typu równań, gdzie mamy sumę wartości bezwzględnych pewnych wyrażeń, zaczynamy od wyznaczenia przedziałów, w jakich będziemy rozwiązywać to równanie. Przyrównujemy wyrażenia pod każdą z wartości bezwzględnych do zera, aby wyznaczyć punkty podziału osi.
Dzielimy oś liczbową na przedziały:
W każdym z tych przedziałów będziemy rozwiązywać równanie.
Jeżeli rozważamy tylko z przedziału , to wyrażenie dla takich argumentów zawsze będzie przyjmować wartości ujemne. Opuszczając wartość bezwzględną tego wyrażenia w tym przypadku, napiszemy , zamiast .
Podobnie jeżeli rozważamy tylko z przedziału , to wyrażenie dla takich argumentów zawsze będzie przyjmować wartości ujemne. Opuszczając wartość bezwzględną tego wyrażenia w tym przypadku, napiszemy , zamiast .
Po opuszczeniu wartości bezwzględnych obu wyrażeń otrzymamy równanie:
Równanie sprzeczne.
Przeprowadzając podobne rozumowanie, jak w pierwszym przypadku otrzymujemy, że:
Dla
Opuszczając wartość bezwzględną wyrażenie zastępujemy jego wyrażeniem przeciwnym , natomiast wyrażenie pod drugą wartością bezwzględną pozostawiamy bez zmian. Otrzymujemy równanie:
Sprawdzamy, czy tak wyznaczony znajduje się w przedziale, który rozważamy w tym przypadku.
Ponieważ należy do rozważanego przedziału, to jest rozwiązaniem równania.
.
Pozostaje do sprawdzenia ostatni przypadek.
Dla
Dla takich argumentów oba wyrażenia są dodatnie, dlatego opuszczając wartość bezwzględną nie zmieniamy ich znaku. Otrzymujemy równanie:
Równanie sprzeczne.
Podsumowując:
Sumując rozwiązania z wszystkich przypadków otrzymujemy, że
jest jedynym rozwiązaniem równania.
Rozwiąż równanie:
Opuszczając zewnętrzną wartość bezwzględną, dzielimy rozwiązywanie powyższego równania na dwa przypadki. Gdy wyrażenie pod tą wartością bezwzględną jest równe lub .
Teraz postępujemy analogicznie jak w poprzednim przykładzie. Wyznaczamy punkty podziału osi liczbowej, przez przyrównanie wyrażeń pod wartością bezwzględną do zera.
Otrzymaliśmy podział osi na trzy przedziały. W każdym z tych przedziałów rozwiązujemy równanie.
Dla z tego przedziału zachodzą nierówności:
Dla takich argumentów oba wyrażenia są ujemne, dlatego opuszczając wartość bezwzględną zmieniamy ich znak na przeciwny. Otrzymujemy równanie:
Sprawdzamy czy tak wyznaczony należy do odpowiedniego przedziału.
jest rozwiązaniem równania.
Dla z tego przedziału zachodzą nierówności:
Dla takich argumentów oba wyrażenie jest dodatnie, dlatego opuszczając wartość bezwzględną nie zmieniamy jego znaku na przeciwny.
Sprawdzamy czy tak wyznaczony należy do odpowiedniego przedziału.
nie jest rozwiązaniem równania w tym przypadku.
Dla z tego przedziału zachodzą nierówności:
Dla takich argumentów oba wyrażenia są dodatnie, dlatego opuszczając wartość bezwzględną nie zmieniamy ich znaku na przeciwny. Otrzymujemy równanie:
Sprawdzamy czy tak wyznaczony należy do odpowiedniego przedziału.
jest rozwiązaniem równania.
Przechodzimy do drugiego przypadku, gdy wyrażenie jest równe .
Tak jak poprzednio, przyrównujemy wyrażenia pod każdą z wartości bezwzględnych do zera, aby wyznaczyć punkty podziału osi.
Otrzymaliśmy podział osi na trzy przedziały. W każdym z tych przedziałów rozwiązujemy równanie.
Dla z tego przedziału zachodzą nierówności:
Dla obu wyrażeń zmieniamy znak i otrzymujemy równanie:
Sprawdzamy czy tak wyznaczony należy do rozważanego przedziału.
Zatem nie jest to rozwiązanie w tym przypadku.
Dla z tego przedziału zachodzą nierówności:
Otrzymujemy równanie:
Nie jest to zatem rozwiązanie.
Oba wyrażenia pod wartością bezwzględną w tym przedziale są dodatnie. Opuszczając wartość bezwzględną nie zmieniamy znaku wyrażenia.
Podsumowanie:
Sumując wszystkie rozwiązania w pierwszym i drugim przypadku, otrzymujemy, że rozwiązaniami równania są
Zobacz rozwiązanieRozwiąż równanie:
.
Zobacz rozwiązanieOblicz wartość wyrażenia , dla .
Zobacz rozwiązanieRozwiąż równanie:
.
Zobacz rozwiązanieWyznacz dla jakich wartości parametru równanie
ma dokładnie dwa rozwiązania.
Zobacz rozwiązanieUdowodnij, że dla każdego , wyrażenie przyjmuje stałą wartość.
Zobacz rozwiązanieZbiór jest zbiorem wszystkich punktów na osi liczbowej, których suma odległości od punktów i jest nie większa niż . Wyznacz jakie punkty należą do zbioru i zaznacz go na osi liczbowej.
Przeczytaj także:
- Równania z wartością bezwzględną
- Nierówności z wartością bezwzględną
- Nierówności z kilkoma wartościami bezwzględnymi
Witam,
w przykładzie 4 zauważyłem błąd w odpowiedzi ponieważ powinno być x= -15 lub x=3
Pozdrawiam
Poprawione, dzięki za uwagę.
|3,4-x|=0,6
|x+2,4|+1,2
_________=1
3 --
3