Równania z wartością bezwzględną.

Przed tą nauką powinieneś powtórzyć podstawowe wiadomości dotyczące wartości bezwzględnej.

A teraz krótkie przypomnienie...

Definicja: Wartość bezwzględna
Niech a \in \mathbb{R}.

Wartością bezwzględną liczby a nazywamy:

|a|=\left\{\begin{matrix} a\ \ \ gdy\ \ a\geq 0\\  -a\ \ gdy\ \ a< 0\\   \end{matrix}\right.

 

Wartość bezwzględną interpretujemy jako odległość liczby rzeczywistej a od zera.

W tej nauce zajmiemy się rozwiązywaniem równań z wartością bezwzględną o większym stopniu trudności.

 

 

Przykład 1

Rozwiąż równanie:

 

||x+3|+6|=7

Wyrażenie |x+3|+6 pod zewnętrzną wartością bezwzględną jest równe 7 lub -7, dlatego rozważamy dwa przypadki:

 

  • |x+3|+6=7

|x+3|=7-6=1

Wyrażenie pod wartością bezwzględną jest równe 1 lub -1. Rozwiązujemy dwa równania:

\begin{matrix} x +3=1 & \text{lub}\ \ x+3=-1 \\ x=-2 & x=-4 \end{matrix}

 Otrzymaliśmy rozwiązania:

\begin{matrix} x=-2 &\text{lub}\ \ x=-4  \end{matrix}

  • |x+3|+6=-7

Rozwiązujemy drugi przypadek, gdy  wyrażenie |x+3|+6 pod zewnętrzną wartością bezwzględną jest równe -7.

 |x+3|=-7-6=-13

Wartość bezwzględna jest nieujemna, dlatego to równanie jest sprzeczne.

 

Podsumowując:

Rozwiązaniem  równania jest x=-2 lub x=-4.

 

Przykład 2

Rozwiąż równanie:

||3x-3|-3x|=3

Wyrażenie |3x-3|-3x pod zewnętrzną wartością bezwzględną jest równe 3 lub -3, dlatego rozważamy dwa przypadki.

 

  • |3x-3|-3x=3

|3x-3|-3x=3

|3x-3|=3+3x

To równanie ma rozwiązanie tylko wtedy, gdy prawa strona tego równania jest nieujemna, tzn.

3+3x \geq 0 

3x \geq -3

x \geq -1

Rozwiązań tego równania będziemy szukać w zbiorze [-1,+\infty).

Wyrażenie 3x-3 pod wartością bezwzględną jest równe 3+3x lub -(3+3x):

\begin{matrix}3x-3=3+3x &\text{lub}\ \ 3x-3=-3-3x \\-3=3& 6x=0\\ \text{r. sprzeczne}& x=0 \end{matrix}

 x=0  należy do zbioru [-1,+\infty), w którym szukamy rozwiązań, dlatego  jest rozwiązaniem.

 

  • |3x-3|-3x=-3

Rozwiązujemy drugi przypadek, gdy  wyrażenie |3x-3|-3x pod zewnętrzną wartością bezwzględną jest równe -3.

|3x-3|-3x=-3

|3x-3|=3x-3

To równanie ma rozwiązanie tylko wtedy, gdy prawa strona tego równania jest nieujemna, tzn.

3x-3 \geq 0

3x \geq 3

 x \geq 1

Będziemy szukać rozwiązań w zbiorze [1, +\infty).

Wyrażenie 3x-3 pod wartością bezwzględną jest równe 3x-3 lub -3x+3:

\begin{matrix} 3x-3=3x-3 &\text{lub}\ \ 3x-3=-3x+3 \\ 0=0& 6x=6\\ r.tozsamosciowe& x=1  \end{matrix}

Równanie po lewej stronie  ma nieskończoną liczbę rozwiązań w zbiorze [1, +\infty). Wszystkie liczby z tego zbioru są rozwiązaniem tego równania.

Podsumowując:

Z pierwszego i drugiego rozważanego przypadku, otrzymujemy, że rozwiązaniem równania jest każda liczba :

x \in [1, +\infty)\cup \{0\}

Przykłady równań z wartością bezwzględną c.d.

Przykład 3

Rozwiąż równanie:

|x-5|-|x+2|=2

Rozwiązywanie tego typu równań, gdzie mamy sumę wartości bezwzględnych pewnych wyrażeń, zaczynamy od wyznaczenia przedziałów, w jakich będziemy rozwiązywać to równanie. Przyrównujemy wyrażenia pod każdą z wartości bezwzględnych do zera, aby wyznaczyć punkty podziału osi.

\begin{matrix}x-5=0 & \qquad x+2=0 \\ x=5&\qquad x=-2\end{matrix}

 Dzielimy oś liczbową na przedziały:

  • (-\infty, -2]
  • (-2,5]
  • (5,+\infty)

W każdym z tych przedziałów będziemy rozwiązywać równanie.

  •  x \in (-\infty, -2]

Jeżeli rozważamy x  tylko z przedziału (-\infty, -2], to wyrażenie x-5 dla takich argumentów zawsze będzie przyjmować wartości ujemne. Opuszczając wartość bezwzględną tego wyrażenia w tym przypadku, napiszemy -x+5, zamiast x-5.

Podobnie jeżeli rozważamy x  tylko z przedziału (-\infty,  -2], to wyrażenie x+2 dla takich argumentów zawsze będzie przyjmować wartości ujemne. Opuszczając wartość bezwzględną tego wyrażenia w tym przypadku, napiszemy -x-2, zamiast x+2.

Po opuszczeniu wartości bezwzględnych obu wyrażeń otrzymamy równanie:

-x+5-(-x-2)=2

-x+5+x+2=2

7=2

Równanie sprzeczne.

  • x \in (-2,5]

Przeprowadzając podobne rozumowanie, jak w pierwszym przypadku otrzymujemy, że:

Dla x \in (-2,5]

\begin{matrix} x-5 \leq 0 &\qquad x+2>0 \end{matrix}

Opuszczając wartość bezwzględną wyrażenie x-5 zastępujemy jego wyrażeniem przeciwnym -x+5, natomiast wyrażenie pod drugą wartością bezwzględną pozostawiamy bez zmian. Otrzymujemy równanie:

-x+5-(x+2)=2

-x+5-x-2=2

-2x=-1

x=\cfrac{1}{2}

Sprawdzamy, czy tak wyznaczony x znajduje się w przedziale, który rozważamy w tym przypadku.

 \cfrac{1}{2} \in (-2, 5]

Ponieważ x=\cfrac{1}{2}  należy do rozważanego przedziału, to  jest rozwiązaniem równania.

.

  • x \in (5,+\infty)

Pozostaje do sprawdzenia ostatni przypadek.

Dla x \in (5,+\infty)

\begin{matrix} x-5 > 0 &\qquad x+2>0 \end{matrix}

 Dla takich argumentów oba wyrażenia są dodatnie, dlatego opuszczając wartość bezwzględną nie zmieniamy ich znaku. Otrzymujemy równanie:

x-5-(x+2)=2

x-5-x-2=2

-7=2

Równanie sprzeczne.

Podsumowując:

Sumując rozwiązania z wszystkich przypadków otrzymujemy, że

x=\cfrac{1}{2}

jest jedynym rozwiązaniem równania.

 

Przykład 4

Rozwiąż równanie:

||2x+6|-|x||=9

Opuszczając zewnętrzną wartość bezwzględną, dzielimy rozwiązywanie powyższego równania na dwa przypadki. Gdy wyrażenie pod tą wartością bezwzględną jest równe 9 lub -9.

  • |2x+6|-|x|=9

Teraz postępujemy analogicznie jak w poprzednim przykładzie. Wyznaczamy punkty podziału osi liczbowej, przez przyrównanie wyrażeń pod wartością bezwzględną do zera.

\begin{matrix} 2x+6 = 0 &\qquad x=0\\ x=-3&  \end{matrix}

Otrzymaliśmy podział osi na trzy przedziały. W każdym z tych przedziałów rozwiązujemy równanie.

\bullet \quad x \in (-\infty, -3]

Dla x z tego  przedziału zachodzą nierówności:

\begin{matrix} 2x+6 < 0 &\qquad x<0 \end{matrix}

 Dla takich argumentów oba wyrażenia są ujemne, dlatego opuszczając wartość bezwzględną zmieniamy ich znak na przeciwny. Otrzymujemy równanie:

-2x-6+x=9

x=-15

Sprawdzamy czy tak wyznaczony x należy do odpowiedniego przedziału.

-15 \in (-\infty, -3]

x=-15 jest rozwiązaniem równania.

 

\bullet \quad x \in(-3,0]

Dla x z tego  przedziału zachodzą nierówności:

\begin{matrix} 2x+6 > 0 &\qquad x<0 \end{matrix}

 Dla takich argumentów oba wyrażenie 2x+6 jest dodatnie, dlatego opuszczając wartość bezwzględną nie zmieniamy jego znaku na przeciwny.

2x+6+x=9

3x=3

x=1

Sprawdzamy czy tak wyznaczony x należy do odpowiedniego przedziału.

1 \notin ( -3,0]

x=1nie  jest rozwiązaniem równania w tym przypadku.

 

 \bullet \quad x \in(0,+\infty)

Dla x z tego  przedziału zachodzą nierówności:

\begin{matrix} 2x+6 > 0 &\qquad x>0 \end{matrix}

Dla takich argumentów oba wyrażenia są dodatnie, dlatego opuszczając wartość bezwzględną nie zmieniamy ich znaku na przeciwny. Otrzymujemy równanie:

2x+6-x=9

x=3

Sprawdzamy czy tak wyznaczony x należy do odpowiedniego przedziału.

3 \in (0,+\infty)

x=3 jest rozwiązaniem równania.

 

  • |2x+6|-|x|=-9

Przechodzimy do drugiego przypadku, gdy wyrażenie |2x+6|-|x| jest równe -9.

Tak jak poprzednio, przyrównujemy wyrażenia pod każdą z wartości bezwzględnych do zera, aby wyznaczyć punkty podziału osi.

\begin{matrix} 2x+6 = 0 &\qquad x=0\\ x=-3&  \end{matrix}

Otrzymaliśmy podział osi na trzy przedziały. W każdym z tych przedziałów rozwiązujemy równanie.

\quad x \in (-\infty, -3]

Dla x z tego  przedziału zachodzą nierówności:

\begin{matrix} 2x+6 < 0 &\qquad x<0 \end{matrix}

Dla obu wyrażeń zmieniamy znak i otrzymujemy równanie:

-2x-6+x=-9

-x=-3

x=3

Sprawdzamy czy tak wyznaczony x należy do rozważanego przedziału.

x \notin (-\infty, -3]

Zatem nie jest to rozwiązanie w tym przypadku.

\quad x \in ( -3,0]

Dla x z tego  przedziału zachodzą nierówności:

\begin{matrix} 2x+6 > 0 &\qquad x<0 \end{matrix}

 Otrzymujemy równanie:

2x+6+x=-9

3x=-15

 x=-5

-5 \notin ( -3,0]

Nie jest to zatem rozwiązanie.

\quad x \in ( 0,+\infty)

Oba wyrażenia pod wartością bezwzględną w tym przedziale są dodatnie. Opuszczając wartość bezwzględną nie zmieniamy znaku wyrażenia.

2x+6-x=-9

x=-15

-15 \notin ( 0,+\infty)

Podsumowanie:

Sumując wszystkie rozwiązania w pierwszym i drugim przypadku, otrzymujemy, że rozwiązaniami równania są

x=-15, \ \text{lub}\ x=3


Zadanie 1

Rozwiąż równanie: |x-15|=15

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Rozwiąż równanie: |x+4|=32

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Rozwiąż równanie:

 | |2x-1|+3|x| +|3x-3| |=6.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Rozwiąż równanie:

|8x^3-1|=4x^2+2x+1.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Rozwiąż równanie:

|x-4|+|x-2|=4.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Rozwiąż równanie: |x+5|=34

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Rozwiąż równanie: |x+13|=4

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Rozwiązaniem równania  |x-\cfrac{1}{3}|=\cfrac{7}{5} są liczby:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Rozwiązaniem równania  \left|x+\cfrac{2}{3}\right|=6 są liczby:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

Rozwiąż równanie |3x-4|=5.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

Rozwiąż równanie |4x+5|=4.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

Wskaż liczbę, która spełnia równanie |x-8|=9

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

Wskaż liczby będące rozwiazaniem równania |5a-9|=19.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

3 komentarze

  1. Pawel3dr 20120322203335 thumb
    pawel3dr 25.03.2012 17:40

    Witam,
    w przykładzie 4 zauważyłem błąd w odpowiedzi ponieważ powinno być x= -15 lub x=3
    Pozdrawiam

  2. Default avatar
    konto-usuniete 26.03.2012 18:17

    Poprawione, dzięki za uwagę.

  3. Default avatar
    Lola98 01.12.2015 19:49

    |3,4-x|=0,6


    |x+2,4|+1,2
    _________=1
    3 --
    3

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz