Nierówności z kilkoma wartościami bezwzględnymi

Nierówności z wartością bezwzględną.

W tej nauce na podstawie przykładów pokażemy w jaki sposób rozwiązujemy nierówności z wartością bezwzględną.

Przykład 1

Rozwiąż nierówność:

$|3x+6|+|x-2|\leq 8$

Tak jak przy rozwiązywaniu równań z wartością bezwzględną, zaczynamy od wyznaczenia przedziałów w jakich będziemy rozwiązywać naszą nierówność. Wyrażenia, które znajdują się pod wartością bezwzględną przyrównujemy do zera, aby wyznaczyć punkty podziału.

$\begin{matrix} 3x+6 = 0 &\qquad x-2=0\\ x=-2& x=2 \end{matrix}$

Dzielimy oś liczbową na przedziały. W każdym z tych przedziałów rozwiązujemy nierówność.

$x \in (-\infty,-2]$

Jeżeli $x$ należy do tego przedziału, to

$\begin{matrix} 3x+6 \leq 0 &\qquad x-2 <0\\ \end{matrix}$ .

Oba wyrażenia przyjmują wartości ujemne, dlatego opuszczając wartość bezwzględną, zmieniamy znak tych wyrażeń na przeciwny. Otrzymujemy nierówność:

$-3x-6-x+2 \leq 8$

$-4x-4 \leq 8$

$-4x \leq 12$

$x \geq -3$

Otrzymaliśmy przedział: $x \in [-3,+\infty)$ . Ponieważ rozwiązujemy tą nierówność tylko dla $x \in (-\infty,-2]$ , to wybieramy część wspólną obu przedziałów.

$x \in (-\infty,-2] \cap [-3,+\infty)=[-3,-2]$

$x \in [-3,-2]$

$x \in (-2,2]$

Jeżeli $x$ należy do tego przedziału, to

$\begin{matrix} 3x+6 > 0 &\qquad x-2 \leq 0\\ \end{matrix}$ .

Wyrażenie $3x+6$ w tym przedziale przyjmuje wartości dodatnie, dlatego opuszczając wartość bezwzględną nie zmieniamy znaku tego wyrażenia, zmieniamy natomiast znak drugiego wyrażenia, które w tym przedziale przyjmuje wartości niedodatnie. Otrzymujemy nierówność:

$3x+6-x+2 \leq 8$

$2x+8 \leq 8$

$2x \leq 0$

$x \leq 0$

Wybieramy część wspólną przedziałów.

$x \in (-2,2] \cap (-\infty,0]=(-2,0]$

$x \in (-2,0]$

$x \in (2,+\infty)$

Jeżeli $x$ należy do tego przedziału, to

$\begin{matrix} 3x+6 > 0 &\qquad x-2 > 0\\ \end{matrix}$ .

Oba wyrażenia pod wartością bezwzględną przyjmują wartości dodatnie, dlatego opuszczając wartość bezwzględną nie zmieniamy ich znaku.

$3x+6+x-2 \leq 8$

$4x+4 \leq 8$

$4x \leq 4$

$x \leq 1$

Wybieramy część wspólną przedziałów.

$x \in (2,+\infty) \cap (-\infty,1]=\O$

Podsumowanie:

Sumujemy rozwiązania z wszystkich trzech rozważanych przedziałów:

$x \in [-3,-2] \cup (-2,0]=[-3,0]$

Otrzymujemy, że rozwiązaniem nierówności jest:

$x \in [-3,0]$

Przykłady zadań z nierównościami z wartością bezwzględną.

Przykład 2

Rozwiąż nierówność:

$| |4x-8| +7x | >9$

Opuszczając zewnętrzną wartość bezwzględną, dzielimy rozwiązywanie nierówności na dwa przypadki.

$|4x-8| + 7x > 9$

$|4x-8| >9 -7x$

Opuszczamy wartość bezwzględną. Otrzymujemy dwie nierówności:

$\begin{matrix}4x-8>9-7x&\qquad&\text{lub}\qquad4x-8<-9+7x\\11x>17 & & -3x<-1 \\ x>\cfrac{17}{11} & &x>\cfrac{1}{3}\end{matrix}$

Otrzymujemy zatem w tym przypadku, że:

$x \in (\cfrac{1}{3}, +\infty)$

$|4x-8|+7x<-9$

$|4x-8|<-9-7x$

Aby ta nierówność miała sens, to wyrażenie po prawej stronie musi być dodatnie. Ponieważ wartość bezwzględna jest nieujemna.

$-9-7x>0$

$7x<-9$

$x<-\cfrac{9}{7}$

Opuszczamy wartość bezwzględną. Otrzymujemy dwie nierówności:

$\begin{matrix}4x-8<-9-7x\qquad&\text{i}\qquad & 4x-8>9+7x \\11x<-1 & & -3x>17 \\ x<-\cfrac{1}{11} & & x-\cfrac{17}{3}\end{matrix}$

Sprawdzamy zgodność z założeniem:

$-\cfrac{17}{3} < -\cfrac{9}{7}$ .

Otrzymujemy zatem w tym przypadku, że:

$x \in (-\infty, -\cfrac{17}{3})$

Podsumowanie:

Sumując oba rozważane przypadki, otrzymujemy, że

$x \in (-\infty, -\cfrac{17}{3}) \cup (\cfrac{1}{3}, +\infty)$

Przykład 3

Rozwiąż nierówność:

$| | 2x+10 | -5x | < 5$

Opuszczamy zewnętrzną wartość bezwzględną i dzielimy rozwiązywanie nierówności na dwa przypadki. Ponieważ nierówność jest $<$ , to rozwiązaniem tej nierówności będzie część wspólna z obu przypadków.

$|2x+10|-5x<5$

$|2x+10|<5x+5$

Aby ta nierówność miała sens, to prawa strona tej nierówności musi być dodatnia:

$5x+5>0$

$x>-1$

Opuszczamy wartość bezwzględną i rozwiązujemy dwie nierówności:

$\begin{matrix}2x+10<5x+5\qquad&\text{i}\qquad2x+10>-5x-5 \\ 5<3x & 7x>-15 \\ x>\cfrac{5}{3} & x>-\cfrac{15}{7}\end{matrix}$

Wybieramy część wspólną i otrzymujemy, że:

$x \in (\cfrac{5}{3}, +\infty)$

Założenie $x>-1$ jest spełnione.

$|2x+10|-5x>- 5$

$|2x+10|>5x-5$

Opuszczamy wartość bezwzględną i rozwiązujemy dwie nierówności:

$\begin{matrix}2x+10>5x-5\qquad & \text{lub}\qquad 2x+10<-5x+5 \\ 15>3x & 7x<-5 \\ x<5 & x < -\cfrac{5}{7}\end{matrix}$

Sumujemy rozwiązania z obu nierówności i otrzymujemy, że:

$x \in (-\infty,5)$

Podsumowanie:

Wybieramy część wspólną rozwiązań jakie otrzymaliśmy w obu przypadkach:

$x \in (-\infty,5) \cap (\cfrac{5}{3}, +\infty) = (\cfrac{5}{3},5)$

Rozwiązaniem nierówności jest

$x \in (\cfrac{5}{3},5)$

Zadanie 1

Wskaż liczbę, która spełnia nierówność $|3x-4|x||>5$ .

Zobacz rozwiązanie

Studia
0 komentarzy

Przeczytaj także:

8 komentarzy

danioterix 01.02.2012 19:58

w przykładzie 3 jest błąd:
Wybieramy część wspólną i otrzymujemy, że:

x∈(5/7,+∞) nie ma takiej liczby jak 5/7, jest tylko 5/3 i -15/7 czesc wspolna z zalozeniem x>-1 to x>-15/7
w drugiej czesci zadania nie ma zalozenia (chyba ze nie musi)
-5+5x>0
x>1
konto-usuniete 12.04.2012 19:04

Poprawione.
Karmonek 23.04.2012 10:08

Hmm w przykładzie 2 jest błąd skoro dla drugiego przypadku ustaliliśmy założenie o wartości bezwzględnej nieujemnej to dlaczego dla pierwszego to nie jest ustalone?
d_mek 07.05.2012 12:46

@Karmonek
Po prostu wartość bezwzględna nie może być mniejsza od liczby ujemnej, ale może(musi) być większa od liczby ujemnej.
W pierwszym przypadku był znak > więc nie było potrzebne założenie (i tak moduł będzie większy od liczby ujemnej).
W drugim przypadku był znak < więc było potrzebne założenie (moduł nie może być mniejszy od liczby ujemnej).
Patikryminal 02.08.2019 14:26

Na jakiej zasadzie w przykładzie pierwszym przedziały były otwarte lub zamknięte. Chodzi mi o: (-2,2>, <-2,nieskończoność).
Wiem tylko, że nieskończoności są zawsze otwarte.
lukasz 15.08.2019 18:36

Gdy dzielisz cały zbiór liczb R na przedziały to z jednej strony przedział musi być domknięty, a z drugiej otwarty. Dlatego było (-nieskończoność, -2] a kolejno od (-2, 2] itd. suma wszystkich przedziałów musi dać R.
Cygan123 16.10.2019 14:14

Dlaczegona koniec w przykładzie 2 sumujemy, a w przykładzie 3 bierzemy część wspólną?
lukasz 16.10.2019 14:29

Wynika to ze znaku nierówności. Zwróć uwagę że w przykładzie 2 znak to ">" a w przykładzie 3 "<". Jeżeli znak nierówności to ">" znaczy to że będziemy mieć dwa przedziały bo jak zaznaczysz to na osi i masz np |x| > 2 to znaczy że liczby które to spełniają to 2,3,4... itd ale też -2, -3 itd bo moduł z liczby ujemnej to liczba dodatnia.
Odwrotnie jest w przypadku jak znak nierówności jest "<" wtedy zawężamy przedział. Gdy mamy |x| < 2 to taka nierówność jest spełniona w przedziale (-2, 2). Oczywiście to jest uproszczony przykład bo gdy nierówność jest bardziej rozbudowana to to przedziały są bardziej pokomplikowane ale zawsze w takim przypadku szukamy części wspólnej.