Spis treści
Nierówności z wartością bezwzględną.
W tej nauce na podstawie przykładów pokażemy w jaki sposób rozwiązujemy nierówności z wartością bezwzględną.
Rozwiąż nierówność:
Tak jak przy rozwiązywaniu równań z wartością bezwzględną, zaczynamy od wyznaczenia przedziałów w jakich będziemy rozwiązywać naszą nierówność. Wyrażenia, które znajdują się pod wartością bezwzględną przyrównujemy do zera, aby wyznaczyć punkty podziału.
Dzielimy oś liczbową na przedziały. W każdym z tych przedziałów rozwiązujemy nierówność.
Jeżeli 
Oba wyrażenia przyjmują wartości ujemne, dlatego opuszczając wartość bezwzględną, zmieniamy znak tych wyrażeń na przeciwny. Otrzymujemy nierówność:
Otrzymaliśmy przedział: })
=[-3,-2]})
Jeżeli
Wyrażenie 
Wybieramy część wspólną przedziałów.
})
Jeżeli
Oba wyrażenia pod wartością bezwzględną przyjmują wartości dodatnie, dlatego opuszczając wartość bezwzględną nie zmieniamy ich znaku.
Wybieramy część wspólną przedziałów.
 \cap (-\infty,1]=\O})
Podsumowanie:
Sumujemy rozwiązania z wszystkich trzech rozważanych przedziałów:
Otrzymujemy, że rozwiązaniem nierówności jest:
})
})
Przykłady zadań z nierównościami z wartością bezwzględną.
Rozwiąż nierówność:
Opuszczając zewnętrzną wartość bezwzględną, dzielimy rozwiązywanie nierówności na dwa przypadki.
Opuszczamy wartość bezwzględną. Otrzymujemy dwie nierówności:
Otrzymujemy zatem w tym przypadku, że:
})
Aby ta nierówność miała sens, to wyrażenie po prawej stronie musi być dodatnie. Ponieważ wartość bezwzględna jest nieujemna.
Opuszczamy wartość bezwzględną. Otrzymujemy dwie nierówności:
Sprawdzamy zgodność z założeniem:
Otrzymujemy zatem w tym przypadku, że:
})
Podsumowanie:
Sumując oba rozważane przypadki, otrzymujemy, że
 \cup (\cfrac{1}{3}, +\infty) })
Rozwiąż nierówność:
Opuszczamy zewnętrzną wartość bezwzględną i dzielimy rozwiązywanie nierówności na dwa przypadki. Ponieważ nierówność jest 
Aby ta nierówność miała sens, to prawa strona tej nierówności musi być dodatnia:
Opuszczamy wartość bezwzględną i rozwiązujemy dwie nierówności:
Wybieramy część wspólną i otrzymujemy, że:
})
Założenie 
Opuszczamy wartość bezwzględną i rozwiązujemy dwie nierówności:
Sumujemy rozwiązania z obu nierówności i otrzymujemy, że:
})
Podsumowanie:
Wybieramy część wspólną rozwiązań jakie otrzymaliśmy w obu przypadkach:
 \cap (\cfrac{5}{3}, +\infty) = (\cfrac{5}{3},5)})
Rozwiązaniem nierówności jest
})
})
\cup})
 \cup})
})
})
Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski.
Dzięki :)
jest złożony z liczb rzeczywistych będących rozwiązaniem nierówności 
, natomiast przedział 
składa się z tych liczb rzeczywistych, które są rozwiązaniem nierówności 
. Wyznacz wszystkie liczby całkowite, które należą jednocześnie do obu tych przedziałów.
Komentarze (5
):
w przykładzie 3 jest błąd:
Wybieramy część wspólną i otrzymujemy, że:
x∈(5/7,+∞) nie ma takiej liczby jak 5/7, jest tylko 5/3 i -15/7 czesc wspolna z zalozeniem x>-1 to x>-15/7
w drugiej czesci zadania nie ma zalozenia (chyba ze nie musi)
-5+5x>0
x>1
Poprawione.
Hmm w przykładzie 2 jest błąd skoro dla drugiego przypadku ustaliliśmy założenie o wartości bezwzględnej nieujemnej to dlaczego dla pierwszego to nie jest ustalone?
@Karmonek
Po prostu wartość bezwzględna nie może być mniejsza od liczby ujemnej, ale może(musi) być większa od liczby ujemnej.
W pierwszym przypadku był znak > więc nie było potrzebne założenie (i tak moduł będzie większy od liczby ujemnej).
W drugim przypadku był znak < więc było potrzebne założenie (moduł nie może być mniejszy od liczby ujemnej).
W pierwszych dopasowaniach jak jest
|3x + 9| + |2x + 4| <= 6 to tutaj odpowiedź podana jest x należy do [-19/5; -2]
a nie powinno być czasem x należy do [-19/5; -7/5] ??
Logowanie Aby dodać komentarz musisz się zalogować.
Nie masz
jeszcze konta?
Załóż darmowe konto w 30 sekund.
Rejestracja
Nie pamiętasz hasła?