Trudniejsze nierówności z wartością bezwzględną.


Spis treści

  1. Nierówności z wartością bezwzględną.
  2. Przykłady zadań z nierównościami z wartością bezwzględną.

Nierówności z wartością bezwzględną.

W tej nauce na podstawie przykładów pokażemy w jaki sposób rozwiązujemy nierówności z wartością bezwzględną.

Przykład 1

Rozwiąż nierówność:

Tak jak przy rozwiązywaniu równań z wartością bezwzględną, zaczynamy od wyznaczenia przedziałów  w jakich będziemy rozwiązywać naszą nierówność. Wyrażenia, które znajdują się pod wartością bezwzględną przyrównujemy do zera, aby wyznaczyć punkty podziału.

Dzielimy oś liczbową  na przedziały. W każdym z tych przedziałów rozwiązujemy nierówność.

 Jeżeli należy do tego przedziału, to

.

Oba wyrażenia przyjmują wartości ujemne, dlatego opuszczając wartość bezwzględną, zmieniamy znak tych wyrażeń na przeciwny. Otrzymujemy nierówność:

Otrzymaliśmy przedział: . Ponieważ rozwiązujemy tą nierówność tylko dla , to wybieramy część wspólną obu przedziałów.

 

 Jeżeli należy do tego przedziału, to

.

 Wyrażenie w tym przedziale przyjmuje wartości dodatnie, dlatego opuszczając wartość bezwzględną nie zmieniamy znaku tego wyrażenia, zmieniamy natomiast znak drugiego wyrażenia, które w tym przedziale przyjmuje wartości niedodatnie. Otrzymujemy nierówność:

Wybieramy część wspólną przedziałów.

 

 Jeżeli należy do tego przedziału, to

.

Oba wyrażenia pod wartością bezwzględną przyjmują wartości dodatnie, dlatego opuszczając wartość bezwzględną nie zmieniamy ich znaku.

 

 

 

 

Wybieramy część wspólną przedziałów.

Podsumowanie:

Sumujemy rozwiązania z wszystkich trzech rozważanych przedziałów:

Otrzymujemy, że rozwiązaniem nierówności jest:

Do nierówności po lewej stronie, dopasuj ich rozwiązania.

Przykłady zadań z nierównościami z wartością bezwzględną.

 

Przykład 2

Rozwiąż nierówność:

 

Opuszczając zewnętrzną wartość bezwzględną, dzielimy rozwiązywanie nierówności na dwa przypadki.

Opuszczamy wartość bezwzględną. Otrzymujemy dwie nierówności:

 Otrzymujemy zatem w tym przypadku, że:

Aby ta nierówność miała sens, to wyrażenie po prawej stronie musi być dodatnie. Ponieważ wartość bezwzględna jest nieujemna.

Opuszczamy wartość bezwzględną. Otrzymujemy dwie nierówności:

Sprawdzamy zgodność z założeniem:

.

Otrzymujemy zatem w tym przypadku, że:

Podsumowanie:

Sumując oba rozważane przypadki, otrzymujemy, że

 

Przykład 3

Rozwiąż nierówność:

Opuszczamy zewnętrzną wartość bezwzględną i dzielimy rozwiązywanie nierówności na dwa przypadki. Ponieważ nierówność jest , to rozwiązaniem tej nierówności będzie część wspólna z obu przypadków.

Aby ta nierówność miała sens, to prawa strona tej nierówności musi być dodatnia:

Opuszczamy wartość bezwzględną i rozwiązujemy dwie nierówności:

Wybieramy część wspólną i otrzymujemy, że:

Założenie jest spełnione.

Opuszczamy wartość bezwzględną i rozwiązujemy dwie nierówności:

Sumujemy rozwiązania  z obu nierówności i otrzymujemy, że:

Podsumowanie:

Wybieramy część wspólną rozwiązań jakie otrzymaliśmy w obu przypadkach:

Rozwiązaniem nierówności jest

Do nierówności po lewej stronie, dopasuj rozwiązania.




Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Przydatne

Inne osoby czytały także

  1. Definicja wartości bezwzględnej i rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną.
  2. Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną.
  3. Równania z wartością bezwzględną.

Zadania do przećwiczenia (3):

Liceum » Wartość bezwzględna » #437
0

Rozwiąż nierówność:


P
K
Liceum » Wartość bezwzględna » #632
1

 

Zbiór  zaznaczony na osi, opisuje nierówność:


P
T
Liceum » Wartość bezwzględna » #390
7

Przedział jest złożony z liczb rzeczywistych będących rozwiązaniem nierówności , natomiast przedział składa się z tych liczb rzeczywistych, które są rozwiązaniem nierówności . Wyznacz wszystkie liczby całkowite, które należą jednocześnie do obu tych przedziałów.


P
D

Zobacz zadania z działu wartość bezwzględna(28)


Komentarze (
5
):

  • Avatar_thumb danioterix pisze:

    w przykładzie 3 jest błąd:
    Wybieramy część wspólną i otrzymujemy, że:

    x∈(5/7,+∞) nie ma takiej liczby jak 5/7, jest tylko 5/3 i -15/7 czesc wspolna z zalozeniem x>-1 to x>-15/7
    w drugiej czesci zadania nie ma zalozenia (chyba ze nie musi)
    -5+5x>0
    x>1

  • Użytkownik malgorzata jest redaktorem.
  • Karmonek_20120423082012_thumb Karmonek pisze:

    Hmm w przykładzie 2 jest błąd skoro dla drugiego przypadku ustaliliśmy założenie o wartości bezwzględnej nieujemnej to dlaczego dla pierwszego to nie jest ustalone?

  • Użytkownik d_mek jest redaktorem.
    D_mek_20120307223004_thumb d_mek pisze:

    @Karmonek
    Po prostu wartość bezwzględna nie może być mniejsza od liczby ujemnej, ale może(musi) być większa od liczby ujemnej.
    W pierwszym przypadku był znak > więc nie było potrzebne założenie (i tak moduł będzie większy od liczby ujemnej).
    W drugim przypadku był znak < więc było potrzebne założenie (moduł nie może być mniejszy od liczby ujemnej).

  • Avatar_thumb dgbdg92 pisze:

    W pierwszych dopasowaniach jak jest
    |3x + 9| + |2x + 4| <= 6 to tutaj odpowiedź podana jest x należy do [-19/5; -2]
    a nie powinno być czasem x należy do [-19/5; -7/5] ??