Trudniejsze nierówności z wartością bezwzględną.

Spis treści

1. Nierówności z wartością bezwzględną.
2. Przykłady zadań z nierównościami z wartością bezwzględną.

---

Nierówności z wartością bezwzględną.

W tej nauce na podstawie przykładów pokażemy w jaki sposób rozwiązujemy nierówności z wartością bezwzględną.

[tex]|3x+6|+|x-2|\leq 8[/tex]

Tak jak przy rozwiązywaniu równań z wartością bezwzględną, zaczynamy od wyznaczenia przedziałów  w jakich będziemy rozwiązywać naszą nierówność. Wyrażenia, które znajdują się pod wartością bezwzględną przyrównujemy do zera, aby wyznaczyć punkty podziału.

[tex]\begin{matrix}
3x+6 = 0 &\qquad x-2=0\\
x=-2& x=2
\end{matrix}[/tex]

Dzielimy oś liczbową  na przedziały. W każdym z tych przedziałów rozwiązujemy nierówność.

• [tex]x \in (-\infty,-2][/tex]

 Jeżeli [tex]x[/tex] należy do tego przedziału, to

[tex]\begin{matrix}
3x+6 \leq 0 &\qquad x-2 <0\\
\end{matrix}[/tex].

Oba wyrażenia przyjmują wartości ujemne, dlatego opuszczając wartość bezwzględną, zmieniamy znak tych wyrażeń na przeciwny. Otrzymujemy nierówność:

[tex]-3x-6-x+2 \leq 8[/tex]

[tex]-4x-4 \leq 8[/tex]

[tex]-4x \leq 12[/tex]

[tex]x \geq -3[/tex]

Otrzymaliśmy przedział: [tex]x \in [-3,+\infty)[/tex]. Ponieważ rozwiązujemy tą nierówność tylko dla [tex]x \in (-\infty,-2][/tex], to wybieramy część wspólną obu przedziałów.

[tex]x \in (-\infty,-2] \cap [-3,+\infty)=[-3,-2][/tex]

[tex]x \in [-3,-2][/tex]

 

• [tex]x \in (-2,2][/tex]

 Jeżeli [tex]x[/tex] należy do tego przedziału, to

[tex]\begin{matrix}
3x+6 > 0 &\qquad x-2 \leq 0\\
\end{matrix}[/tex].

 Wyrażenie [tex]3x+6[/tex] w tym przedziale przyjmuje wartości dodatnie, dlatego opuszczając wartość bezwzględną nie zmieniamy znaku tego wyrażenia, zmieniamy natomiast znak drugiego wyrażenia, które w tym przedziale przyjmuje wartości niedodatnie. Otrzymujemy nierówność:

[tex]3x+6-x+2 \leq 8[/tex]

[tex]2x+8 \leq 8[/tex]

[tex]2x \leq 0[/tex]

[tex]x \leq 0[/tex]

Wybieramy część wspólną przedziałów.

[tex]x \in (-2,2] \cap (-\infty,0]=(-2,0][/tex]

[tex]x \in (-2,0][/tex]

 

• [tex]x \in (2,+\infty)[/tex]

 Jeżeli [tex]x[/tex] należy do tego przedziału, to

[tex]\begin{matrix}
3x+6 > 0 &\qquad x-2 > 0\\
\end{matrix}[/tex].

Oba wyrażenia pod wartością bezwzględną przyjmują wartości dodatnie, dlatego opuszczając wartość bezwzględną nie zmieniamy ich znaku.

 [tex]3x+6+x-2 \leq 8[/tex]

 [tex]4x+4 \leq 8[/tex]

 [tex]4x \leq 4[/tex]

 [tex]x \leq 1[/tex]

Wybieramy część wspólną przedziałów.

[tex]x \in (2,+\infty) \cap (-\infty,1]=\O[/tex]

Podsumowanie:

Sumujemy rozwiązania z wszystkich trzech rozważanych przedziałów:

[tex]x \in [-3,-2] \cup (-2,0]=[-3,0][/tex]

Otrzymujemy, że rozwiązaniem nierówności jest:

[tex]x \in [-3,0][/tex]

Przykłady zadań z nierównościami z wartością bezwzględną.

 

 

[tex] | |4x-8| +7x | >9[/tex]

Opuszczając zewnętrzną wartość bezwzględną, dzielimy rozwiązywanie nierówności na dwa przypadki.

• [tex]  |4x-8| +7x  >9[/tex]

[tex]  |4x-8| >9 -7x [/tex]

Opuszczamy wartość bezwzględną. Otrzymujemy dwie nierówności:

[tex]\begin{matrix}
4x-8 >9 -7x \qquad  &\text{lub}\qquad  4x-8 < -9 +7x\\
11x > 17 &   -3x < -1 \\
x> \cfrac{17}{11} &  x > \cfrac{1}{3}
\end{matrix}[/tex]

 Otrzymujemy zatem w tym przypadku, że:

[tex]x \in (\cfrac{1}{3}, +\infty)[/tex]

• [tex]  |4x-8| +7x  < -9[/tex]

[tex]  |4x-8| <-9 -7x [/tex]

Aby ta nierówność miała sens, to wyrażenie po prawej stronie musi być dodatnie. Ponieważ wartość bezwzględna jest nieujemna.

[tex]-9-7x>0[/tex]

[tex]7x<-9[/tex]

[tex]x<-\cfrac{9}{7}[/tex]

Opuszczamy wartość bezwzględną. Otrzymujemy dwie nierówności:

[tex]\begin{matrix}
4x-8 < -9 -7x \qquad  &\text{i}\qquad  4x-8 > 9 +7x\\
11x < -1 &   -3x > 17 \\
x< -\cfrac{1}{11} &  x < -\cfrac{17}{3}
\end{matrix}[/tex]

Sprawdzamy zgodność z założeniem:

[tex]-\cfrac{17}{3} < -\cfrac{9}{7}[/tex].

Otrzymujemy zatem w tym przypadku, że:

[tex]x \in (-\infty, -\cfrac{17}{3})[/tex]

Podsumowanie:

Sumując oba rozważane przypadki, otrzymujemy, że

[tex]x \in (-\infty, -\cfrac{17}{3}) \cup (\cfrac{1}{3}, +\infty) [/tex]

 

[tex] | | 2x+10 | -5x | < 5 [/tex]

Opuszczamy zewnętrzną wartość bezwzględną i dzielimy rozwiązywanie nierówności na dwa przypadki. Ponieważ nierówność jest [tex] <[/tex], to rozwiązaniem tej nierówności będzie część wspólna z obu przypadków.

• [tex]  | 2x+10 | -5x  < 5 [/tex]

[tex]  | 2x+10 |  <5x+  5 [/tex]

Aby ta nierówność miała sens, to prawa strona tej nierówności musi być dodatnia:

[tex]5x+5>0[/tex]

[tex]x>-1[/tex]

Opuszczamy wartość bezwzględną i rozwiązujemy dwie nierówności:

[tex]\begin{matrix}
2x+10 < 5x+5 \qquad  &\text{i}\qquad  2x+10 > -5x-5 \\
  5< 3x &   7x > -15 \\
x > \cfrac{5}{3} &  x >  -\cfrac{15}{7}
\end{matrix}[/tex]

Wybieramy część wspólną i otrzymujemy, że:

[tex]x \in (\cfrac{5}{3}, +\infty)[/tex]

Założenie [tex]x>-1[/tex] jest spełnione.

• [tex]  | 2x+10 | -5x  >- 5 [/tex]

[tex]  | 2x+10 |  > 5x-  5 [/tex]

Opuszczamy wartość bezwzględną i rozwiązujemy dwie nierówności:

[tex]\begin{matrix}
2x+10 > 5x-5 \qquad  & \text{lub} \qquad  2x+10 < -5x+5 \\
  15> 3x &   7x < -5 \\
x < 5 &  x <  -\cfrac{5}{7}
\end{matrix}[/tex]

Sumujemy rozwiązania  z obu nierówności i otrzymujemy, że:

[tex]x \in (-\infty,5)[/tex]

Podsumowanie:

Wybieramy część wspólną rozwiązań jakie otrzymaliśmy w obu przypadkach:

[tex]x \in (-\infty,5) \cap (\cfrac{5}{3}, +\infty) = (\cfrac{5}{3},5)[/tex]

Rozwiązaniem nierówności jest

[tex]x \in (\cfrac{5}{3},5)[/tex]

---

Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Liceum » Wartość bezwzględna » #437

Rozwiąż nierówność: [tex]| x-3| \geq 11 [/tex]

---

Liceum » Wartość bezwzględna » #632

 

Zbiór  zaznaczony na osi, opisuje nierówność:

---

Liceum » Wartość bezwzględna » #390

Przedział [tex]A[/tex] jest złożony z liczb rzeczywistych będących rozwiązaniem nierówności [tex]|x+9|<5,3[/tex], natomiast przedział [tex]B[/tex] składa się z tych liczb rzeczywistych, które są rozwiązaniem nierówności [tex]|x-3|>1,2[/tex]. Wyznacz wszystkie liczby całkowite, które należą jednocześnie do obu tych przedziałów.

---