Jesteś w: Matematyka
»
Tablice matematyczne
»
Liceum
»
Wielomiany
»
Nierówności wielomianow...

Nierówności wielomianowe.

Spis treści

Krotność pierwiastka wielomianu.
Wykresy wielomianów.
Roziązanie nierówności wielomianowej.

Krotność pierwiastka wielomianu.

Przypomnienie:

Definicja: Wielomian

Wielomianem jednej zmiennej [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] nazywamy funkcję określoną wzorem

[tex]W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0[/tex]

gdzie

[tex]n \in \mathbb{N}[/tex] - stopień wielomianu

[tex]a_0, a_1, ..., a_n \in \mathbb{R}[/tex] - współczynniki wielomianu

[tex]a_n \neq 0[/tex] - wyraz przy najwyższej potędze

[tex]a_0[/tex] - wyraz wolny wielomianu

Przed przystąpieniem do tej nauki musisz mieć opanowany materiał z działu wielomiany.

A teraz przejdźmy do części właściwej tej nauki.

Krotność pierwiastka wielomianu:

Jeżeli zapiszemy już wielomian w postaci iloczynu, niektóre czynniki mogą się w tym iloczynie powtarzać, więc zapisujemy je w postaci potęgi. Np.

[tex]W(x)=(x-7)^2(x+1)^3(x+5)[/tex]

Z takiej postaci wielomianu możemy odczytać krotność pierwiastków tego wielomianu. Dla powyższego wielomianu [tex]W(x)[/tex] są to:

[tex]-5[/tex] jest pierwiastkiem jednokrotnym wielomianu [tex]W(x)[/tex], ponieważ czynnik [tex](x+5)[/tex] występuje w potędze pierwszej, w rozkładzie tego wielomianu na czynniki. Jest to pierwiastek nieparzystokrotny, ponieważ [tex]1[/tex] jest liczbą nieparzystą.
[tex]7[/tex] jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu [tex]W(x)[/tex], ponieważ czynnik [tex](x-7)[/tex] występuje w potędze drugiej, w rozkładzie tego wielomianu na czynniki. Jest to pierwiastek parzystokrotny, ponieważ [tex]2[/tex] jest liczbą parzystą.
[tex]-1[/tex] jest pierwiastkiem trzykrotnym wielomianu [tex]W(x)[/tex], ponieważ czynnik [tex](x+1)[/tex] występuje w potędze trzeciej, w rozkładzie tego wielomianu na czynniki. Jest to pierwiastek nieparzystokrotny, ponieważ [tex]3[/tex] jest liczbą nieparzystą.

Formalnie rzecz biorąc krotność pierwiastka wielomianu definiujemy następująco:

Definicja: Krotność pierwiastka wielomianu

Jeżeli liczba [tex]a[/tex] jest pierwiastkiem wielomianu [tex]W(x) = a_n x^n + ... + a_1 x + a_0[/tex] stopnia [tex]n[/tex], to jego krotnością nazywamy największą liczbę naturalną [tex]k[/tex], taką, że wielomian [tex]W(x)[/tex] jest podzielny wielomian [tex](x-a)^k[/tex].

Do góry

Dany jest wielomian $P(x)=(x+3)^2(x+3)(x-4)^2(x+9)^4$. Oceń poprawność zdań:

$-3$ jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu $P(x)$
$-9$ jest pierwiastkiem nieparzystokrotnym.
Wszystkie pierwiastki wielomianu są parzystokrotne.

Wykresy wielomianów.

Do góry

W tej części nauki omówimy w jaki sposób rysujemy przybliżone wykresy wielomianów.

Przykład 1

Dany jest wielomian:

[tex]Q(x)=3(x+4)^2(x+3)(x-2)^3(x-5)^4[/tex]

Narysujemy jego przybliżony wykres:

Odczytujemy pierwiastki wielomianu oraz ich krotności.

[tex]-4 [/tex] - pierwiastek dwukrotny

[tex]-3[/tex] - pierwiastek jednokrotny

[tex]2[/tex] - pierwiastek trzykrotny

[tex]5[/tex] - pierwiastek czterokrotny

Zaznaczamy na osi liczbowej pierwiastki wielomianu.

Ustalamy znak współczynnika kierunkowego wielomianu.

[tex]Q(x)=\boxed{3}(x+4)^2(x+3)(x-2)^3(x-5)^4[/tex]

W naszym przykładzie, współczynnikiem kierunkowym wielomianu [tex]Q(x)[/tex] jest liczba [tex]3[/tex]. I jest to liczba dodatnia.

Ustalamy, gdzie zaczynamy rysować wykres.

Rysowanie wykresu wielomianu zawsze zaczynamy od prawej strony!

Zaczynamy od:

- dołu, jeżeli współczynnik kierunkowy [tex]a_n[/tex] wielomianu jest ujemny,

- góry, jeżeli współczynnik kierunkowy [tex]a_n[/tex] wielomianu jest dodatni.

W naszym przykładzie, ponieważ [tex]a_n=3>0[/tex] to rysowanie wykresu zaczynamy od góry.

Rysując wykres musimy zwrócić uwagę na krotność pierwiastków.

Dla pierwiastków parzystokrotnych wykres nie przecina osi, tylko "odbija się" od niej, styka się z nią w miejscu, gdzie znajduje się taki pierwiastek. Jeżeli dla pewnego wielomianu [tex]R(x)[/tex], [tex]x=2[/tex] byłby pierwiastekiem parzystokrotnym, to wykres w pobliżu tego pierwiastka wyglądałby następująco:

Dla pierwiastków nieparzystokrotnych wykres przecina oś w miejscu, gdzie znajduje się pierwiastek. Jeżeli dla pewnego wielomianu [tex]R(x)[/tex], [tex]x=2[/tex] byłby pierwiastekiem nieparzystokrotnym, to wykres w pobliżu tego pierwiastka wyglądałby następująco:

Rysujemy wykres:

Zaczynamy od góry i prowadzimy linię przez kolejne pierwiastki wielomianu. Jeżeli pierwiastek jest parzystokrotny (dwu-, cztero-, sześciokrotny, itd.) to linia będąca wykresem wielomianu styka się z osią. Jeżeli pierwiastek jest nieparzystokrotny ( jedno-, trzy-, pięciokrotny, tid.) to linia będąca wykresem wielomianu przecina oś. Przybliżony wykres wielomianu [tex]Q(x)[/tex], to:

Do góry

Dany jest wielomian $W(x)=-5(x+2)^2(x-4)^3(x+1)$. Oceń poprawność zdań dotyczących wielomianu $W(x)$.

Rysowanie wykresu wielomianu zaczynamy z lewej strony od dołu .
Wykres wielomianu przecina oś w punkcie $x=-1$.
Wykres wielomianu styka się z osią w punkcie $x=-2$.

Roziązanie nierówności wielomianowej.

Do góry

Rozwiązując nierówności wielomianowe, postępujemy tak samo jak z równaniami wielomianowymi, tzn. sprowadzamy wielomian do postaci iloczynowej i wyznaczamy pierwiastki. Następnie rysujemy przybliżony wykres wielomianu, a na końcu odczytujemy wartości, które spełniają zadaną nierówność. Wszystkie te operacje na wielomianach były opisane we wcześniejszych naukach, więc tutaj przećwiczmy to w całości na przykładzie.

Przykład 2

Rozwiąż nierówność:

[tex]x^3+5x^2+8x+4>0[/tex]

Oznaczmy: [tex]W(x)=x^3+5x^2+8x+4[/tex]

Najpierw musimy zapisać lewą stronę nierówności w postaci iloczynowej. Wiemy, że jeżeli wielomian ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego. Dzielnikami wyrazu wolnego w naszej nierówności są [tex]-1,1,-2,2,-4,4[/tex]. Za pomocą schematu Hornera, sprawdzimy, czy są one pierwiastkami wielomianu po lewej stronie nierówności:

Sprawdzamy pierwszy dzielnik:

[tex]x=-1[/tex]