Nierówności wielomianowe.


Spis treści

  1. Krotność pierwiastka wielomianu.
  2. Wykresy wielomianów.
  3. Roziązanie nierówności wielomianowej.

Krotność pierwiastka wielomianu.

Przypomnienie:

 

Definicja: Wielomian

Wielomianem jednej zmiennej nazywamy funkcję określoną wzorem

gdzie

- stopień wielomianu

- współczynniki wielomianu

- wyraz przy najwyższej potędze

- wyraz wolny wielomianu

 

 

Przed przystąpieniem do tej nauki musisz mieć opanowany materiał z działu wielomiany.

A teraz przejdźmy do części właściwej tej nauki.

 

Krotność pierwiastka wielomianu:

Jeżeli zapiszemy już wielomian w postaci iloczynu, niektóre czynniki mogą się w tym iloczynie powtarzać, więc zapisujemy je w postaci potęgi. Np.

Z takiej postaci wielomianu możemy odczytać krotność pierwiastków tego wielomianu. Dla powyższego wielomianu są to:

  • jest pierwiastkiem jednokrotnym wielomianu , ponieważ czynnik występuje w potędze pierwszej, w rozkładzie tego wielomianu na czynniki. Jest to pierwiastek nieparzystokrotny, ponieważ jest liczbą nieparzystą.
  • jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu , ponieważ czynnik występuje w potędze drugiej, w rozkładzie tego wielomianu na czynniki. Jest  to pierwiastek parzystokrotny, ponieważ jest liczbą parzystą.
  • jest pierwiastkiem trzykrotnym wielomianu , ponieważ czynnik występuje w potędze trzeciej, w rozkładzie tego wielomianu na czynniki. Jest to pierwiastek nieparzystokrotny, ponieważ jest liczbą nieparzystą.

 Formalnie rzecz biorąc krotność pierwiastka wielomianu definiujemy następująco:

Definicja: Krotność pierwiastka wielomianu

Jeżeli liczba jest pierwiastkiem wielomianu stopnia , to jego krotnością nazywamy największą liczbę naturalną , taką, że wielomian   jest podzielny wielomian .

 

  • Dany jest wielomian . Oceń poprawność zdań:
    Approved-icon Alert-icon

  • jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu
  • jest pierwiastkiem nieparzystokrotnym.
  • Wszystkie pierwiastki wielomianu są parzystokrotne.

Wykresy wielomianów.

W tej części nauki omówimy w jaki sposób rysujemy przybliżone wykresy wielomianów.

Przykład 1

Dany jest wielomian:

Narysujemy jego przybliżony wykres:

  • Odczytujemy pierwiastki wielomianu oraz ich krotności.

- pierwiastek dwukrotny

- pierwiastek jednokrotny

- pierwiastek trzykrotny

- pierwiastek czterokrotny

 

  •  Zaznaczamy na osi liczbowej pierwiastki wielomianu.

 

  • Ustalamy znak współczynnika kierunkowego wielomianu.

W naszym przykładzie, współczynnikiem kierunkowym wielomianu jest liczba . I jest to liczba dodatnia.

  • Ustalamy, gdzie zaczynamy rysować wykres.

Rysowanie wykresu wielomianu zawsze zaczynamy od prawej strony!

Zaczynamy od:

 - dołu, jeżeli współczynnik kierunkowy   wielomianu jest ujemny,

 

 - góry, jeżeli współczynnik kierunkowy   wielomianu  jest dodatni.

W naszym przykładzie, ponieważ to rysowanie wykresu zaczynamy od góry.

Rysując wykres musimy zwrócić uwagę na krotność pierwiastków.

Dla pierwiastków parzystokrotnych wykres nie przecina osi, tylko "odbija się" od niej, styka się z nią w miejscu, gdzie znajduje się taki pierwiastek. Jeżeli dla pewnego wielomianu , byłby pierwiastekiem parzystokrotnym, to wykres w pobliżu tego pierwiastka wyglądałby następująco:


 

Dla pierwiastków nieparzystokrotnych wykres  przecina oś w miejscu, gdzie znajduje się pierwiastek. Jeżeli dla pewnego wielomianu , byłby pierwiastekiem nieparzystokrotnym, to wykres w pobliżu tego pierwiastka wyglądałby następująco:

 

  •  Rysujemy wykres:

Zaczynamy od góry i prowadzimy linię przez kolejne pierwiastki wielomianu. Jeżeli pierwiastek jest parzystokrotny (dwu-, cztero-, sześciokrotny, itd.) to linia będąca wykresem wielomianu styka się z osią. Jeżeli pierwiastek jest nieparzystokrotny ( jedno-, trzy-, pięciokrotny, tid.) to linia będąca wykresem wielomianu przecina oś. Przybliżony wykres wielomianu , to:

 

  • Dany jest wielomian . Oceń poprawność zdań dotyczących wielomianu .
    Approved-icon Alert-icon

  • Rysowanie wykresu wielomianu zaczynamy z lewej strony od dołu .
  • Wykres wielomianu przecina oś w punkcie .
  • Wykres wielomianu styka się z osią w punkcie .

Roziązanie nierówności wielomianowej.

Rozwiązując nierówności wielomianowe, postępujemy tak samo jak z równaniami wielomianowymi, tzn. sprowadzamy wielomian do postaci iloczynowej i wyznaczamy pierwiastki. Następnie rysujemy przybliżony wykres wielomianu, a na końcu odczytujemy wartości, które spełniają zadaną nierówność. Wszystkie te operacje na wielomianach były opisane we wcześniejszych naukach, więc tutaj przećwiczmy to w całości na przykładzie.

 

Przykład 2

Rozwiąż nierówność:

 

Oznaczmy:

Najpierw musimy zapisać lewą stronę nierówności w postaci iloczynowej. Wiemy, że  jeżeli wielomian ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego. Dzielnikami wyrazu wolnego w naszej nierówności są . Za pomocą schematu Hornera, sprawdzimy, czy są one pierwiastkami wielomianu po lewej stronie nierówności:

Sprawdzamy pierwszy dzielnik:

Zatem jest pierwiastkiem wielomianu po lewej stronie nierówności. Możemy zapisać, że:

Korzystając, ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy rozkładamy na czynniki wielomian . Otrzymujemy:

Wielomian udało nam się zapisać w postaci iloczynowej. Rysujemy przybliżony wykres tego wielomianu.

Wielomian ma dwa pierwiastki:

jest pierwiastkiem jednokrotnym,

jest pierwiastkiem dwukrotnym.

 Zaznaczamy pierwiastki na osi:

 Współczynnik kierunkowy wielomianu to , jest zatem dodatni. Rysowanie wykresu rozpoczynamy od góry z prawej strony:

jest pierwiastkiem jednokrotnym, dlatego wykres wielomianu przecina oś w tym punkcie,

jest pierwiastkiem dwukrotnym, dlatego wykres wielomianu "odbija się" od osi w tym punkcie.

 Teraz musimy wskazać wartości, które spełniają nierówność:

Wykres wielomianu znajduje się nad osią dla , zatem ten przedział jest rozwiązaniem.




Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Przydatne

Inne osoby czytały także

  1. Definicja wielomianu, działania na wielomianach.
  2. Dzielenie wielomianów.
  3. Pierwiastki wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych.
  4. Rozkład wielomianu na czynniki
  5. Rozwiązywanie równań wielomianowych
  6. Równanie wielomianowe

Zadania do przećwiczenia (3):

Liceum » Wielomiany » #569
3

Rozwiąż nierówność:

.


R
K
Liceum » Wielomiany » #570
2

Rozwiąż nierówność:

.


R
K
Liceum » Wielomiany » #571
1

Rozwiąż nierówność:

.


R
K

Zobacz zadania z działu wielomiany(52)


Komentarze (
0
):