Wielomiany

Co to jest wielomian?

Wielomianem zwykło nazywać się funkcję jednej zmiennej w potędze 3 lub wyższej. Napisałem, że zwykło się bo na niższe potęgi mamy inne nazwy jak funkcja liniowa czy funkcja kwadratowa. Trzeba jednak dodać, że funkcja liniowa i funkcja kwadratowa również są wielomianami.

Definicja: Wielomian

Wielomianem jednej zmiennej $x \in \mathbb{R}$ nazywamy funkcję określoną wzorem

$W(x) =a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$

gdzie

$n \in \mathbb{N}$ - stopień wielomianu

$a_0, a_1, ..., a_n \in \mathbb{R}$ - współczynniki wielomianu

$a_n \neq 0$ - wyraz przy najwyższej potędze

$a_0$ - wyraz wolny wielomianu

Przykład 1

$W(x) = 3x^4 + 3x^2 + 2$

Jest to wielomian stopnia $4$ .

Przykład 2

$W(x) = \cfrac{\sqrt{2}}{2}x^3 + 3x^2 + 4x + 2$

Jest to wielomian stopnia $3$ .

Przykład 3

$W(x) = - 2x^2 + 6x + 2$

Jest to wielomian stopnia $2$ . Częściej jednak powiemy, że jest to funkcja kwadratowa.

Co nie jest wielomianem?

Zgodnie z definicją wielomianu, zmienna musi znajdować się w "podstawie" potęgi. Gdy znajduje się w dowolnym innym miejscu np w wykładniku potęgi to takiej funkcji nie możemy nazwać wielomianową. Kilka przykładów: