Postać iloczynowa wielomianu

Postać iloczynowa wielomianu

Postać iloczynowa wielomianu to zapis wielomianu w postaci iloczynu nawiasów.

Zobacz też bardziej formalną definicję tego zapisu:

Definicja: Postać iloczynowa wielomianu

Jeżeli liczby $x_1, x_2, ..., x_n \in \mathbb{R}$ są pierwiastkami wielomianu $W(x) = a_n x^n + ... + a_1 x + a_0$ stopnia $n$ to postacią iloczynową wielomianu jest

$W(x) = a_n(x-x_n) * ... * (x-x_2)(x-x_1)$

gdzie,

$a_n \in \mathbb{R}\backslash \{0\}$ - współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej wielomianu

$a_0,...a_{n-1} \in \mathbb{R}$ - pozostałe współczynniki wielomianu.

Przykład

Wielomian $W(x) = 3x^2 +3x - 18$ ma pierwiastki $2$ i $-3$ . Znajdź postać iloczynową wielomianu.

Z danych zadania mamy pierwiastki wielomianu $x_1 = 2$ , $x_2 = -3$ . Wyraz przy największej potędze to $a_2 = 3$ Korzystając z definicji postaci iloczynowej wielomianu otrzymujemy:

$W(x) = 3(x - 2)(x - (-3)) = 3(x-2)(x+3)$

Przykład

$Q(x) = x^3 + 6x^2+11x + 6$

Wielomian jest $3$ -ego stopnia i ma pierwiastki $-1, -2, -3$ , ponieważ $Q(-1) = 0, Q(-2) = 0, Q(-3) = 0$ . Zgodnie z definicją mamy

$Q(x) = (x+1)(x+2)(x+3)$

Zadanie 1

Wskaż postać iloczynową wielomianu $Q(x)=8x^3+125$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
0 komentarzy

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.