Postać iloczynowa wielomianu

Postać iloczynowa wielomianu to zapis wielomianu w postaci iloczynu nawiasów.

Zobacz też bardziej formalną definicję tego zapisu:

Definicja: Postać iloczynowa wielomianu

Jeżeli liczby x_1, x_2, ..., x_n \in \mathbb{R}pierwiastkami wielomianu W(x) = a_n x^n + ... + a_1 x + a_0 stopnia n to postacią iloczynową wielomianu jest

W(x) = a_n(x-x_n) * ... * (x-x_2)(x-x_1)

gdzie,

a_n \in \mathbb{R}\backslash \{0\} - współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej wielomianu

a_0,...a_{n-1} \in \mathbb{R} - pozostałe współczynniki wielomianu.

Przykład

Wielomian W(x) = 3x^2 +3x - 18 ma pierwiastki 2 i -3. Znajdź postać iloczynową wielomianu.

Z danych zadania mamy pierwiastki wielomianu x_1 = 2, x_2 = -3 . Wyraz przy największej potędze to a_2 = 3  Korzystając z definicji postaci iloczynowej wielomianu otrzymujemy:

W(x) = 3(x - 2)(x - (-3)) = 3(x-2)(x+3)

Przykład

Q(x) = x^3 + 6x^2+11x + 6

Wielomian jest 3-ego stopnia i ma pierwiastki -1, -2, -3, ponieważ Q(-1) = 0, Q(-2) = 0, Q(-3) = 0. Zgodnie z definicją mamy

Q(x) = (x+1)(x+2)(x+3)


Zadanie 1

Wskaż postać iloczynową wielomianu Q(x)=8x^3+125.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz