Krotność pierwiastka wielomianu

Jeżeli zapiszemy wielomian w postaci iloczynowej, niektóre czynniki wielomianu mogą się w tym iloczynie powtarzać, więc zapisujemy je w postaci potęgi. Np.

W(x)=(x-7)^2(x+1)^3(x+5)

Z takiej postaci wielomianu możemy odczytać krotność pierwiastków tego wielomianu. Dla powyższego wielomianu W(x) są to:

-5 jest pierwiastkiem jednokrotnym wielomianu W(x), ponieważ czynnik (x+5) występuje w potędze pierwszej, w rozkładzie tego wielomianu na czynniki. 

7 jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu W(x), ponieważ czynnik (x-7) występuje w potędze drugiej

-1 jest pierwiastkiem trzykrotnym wielomianu W(x), ponieważ czynnik (x+1) występuje w potędze trzeciej

Formalnie rzecz biorąc krotność pierwiastka wielomianu definiujemy następująco:

Definicja: Krotność pierwiastka wielomianu

Jeżeli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x)=a_n x^n+...+a_1 x+a_0 stopnia n, to jego krotnością nazywamy największą liczbę naturalną k, taką, że wielomian W(x)  jest podzielny wielomian (x-a)^k.

Dany jest wielomian P(x)=(x+3)^2(x+3)(x-4)^2(x+9)^4. Oceń poprawność zdań:

-3 jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu P(x)
-9 jest pierwiastkiem czworokrotnym.
4 jest pierwiastkiem dwukrotnym.

Pierwiastki wielomianu parzystokrotne i nieparzystokrotne

Jeżeli czynnik wielomianu występuje w potędze parzystej czyli 2, 4, 6 itd to mówimy, że jest to pierwiastek parzystokrotny. 

Jeżeli czynnik wielomianu, występuje w potędze nieparzystej czyli 1, 3, 5, 7 itd to mówimy, że jest to pierwiastek nieparzystokrotny. 

To czy pierwiastek jest parzystego lub nieparzystego stopnia ma znaczenie przy rysowaniu wykresu wielomianu.


Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz