Pierwiastki wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych.

Definicja: Pierwiastek wielomianu

Każdą liczbę r, dla której W(r) = 0 nazywamy pierwiastkiem (miejscem zerowym) wielomianu W(x).

Teraz zwróć szczególną uwagę na dwa następujące twierdzenia. Będą one bardzo pomocne, przy poszukiwaniu pierwiastków wielomianu.

Dany jest wielomian W(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1 x+a_0 o współczynnikach całkowitych, gdzie a_n \neq  0.

Twierdzenie: O pierwiastkach całkowitych wielomianu

Jeżeli wielomian W(x) ma pierwiastek całkowity to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego.

Przykład 1

Znajdź  jeden z pierwiastków wielomianu

P(x)=x^3+3x^2-8x-4.

Wielomian P(x) ma wszystkie współczynniki całkowite.  Dzielniki wyrazu wolnego (czyli liczby -4 ) to:

-4,4,-2,2,-1,1

Sprawdzamy wartości wielomianu P(x) dla kolejnych dzielników:

P(1)=1+3-8-4=-8 \neq 0

Liczba 1 nie jest pierwiastkiem wielomianu P(x).

 

P(-1)=-1+3+8-4=6 \neq 0

Liczba -1 nie jest pierwiastkiem wielomianu P(x).

 

P(2)=8+12-16-4=0

Liczba 2  jest pierwiastkiem wielomianu P(x).

Twierdzenie: O pierwiastkach wymiernych wielomianu

Jeżeli wielomian W(x) ma pierwiastek wymierny to licznik tego pierwiastka jest  dzielnikiem wyrazu wolnego, a  mianownik jest dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze.

Przykład 2

Znajdź pierwiastki wielomianu Q(x)=2x^3-x^2-2x+1.

Mamy dany wielomian o współczynnikach całkowitych. Szukamy jego pierwiastków wymiernych.

Dzielniki wyrazu wolnego to: -1,1.

Dzielniki wyrazu przy najwyższej potędze to: -2,2,-1,1.

Zatem liczby, które mogłyby być pierwiastkami wielomianu Q(x) to:

\cfrac{-1}{-2},\cfrac{-1}{2},\cfrac{-1}{-1},\cfrac{-1}{1},\cfrac{1}{-2},\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{-1},\cfrac{1}{1}

czyli w rezultacie otrzymujemy 4 liczby, które mogą być pierwiastkami wielomianu Q(x):

\cfrac{1}{2},-\cfrac{1}{2},1,-1.

Sprawdzamy wartości wielomianu dla tych liczb:

 

Q(\cfrac{1}{2})=2* (\cfrac{1}{2})^3-(\cfrac{1}{2})^2-2* (\cfrac{1}{2})+1=

=2* \cfrac{1}{8}-\cfrac{1}{4}-1+1=0

Liczba \cfrac{1}{2} jest pierwiastkiem wielomianu Q(x)

 

Q(-\cfrac{1}{2})=2* (-\cfrac{1}{2})^3-(-\cfrac{1}{2})^2-2* (-\cfrac{1}{2})+1=

=2* (-\cfrac{1}{8})-\cfrac{1}{4}+1+1=\cfrac{3}{2}

Liczba -\cfrac{1}{2} nie jest pierwiastkiem wielomianu Q(x).

 

Q(1)=2-1-2+1=0

Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu Q(x)

 

Q(-1)= -2-1+2+1=0

Liczba -1 jest pierwiastkiem wielomianu Q(x)

 

Wszystkimi pierwiastkami wielomianu wielomianu Q(x) są: \{-1,\cfrac{1}{2},1\}.

Dane są wielomiany: P(x)=6x^3-7x^2+1 Q(x)=6x^3+7x^2-1.

Pierwiastkami wielomianu P(x)\{\cfrac{1}{2},-\cfrac{1}{3},1\}
Pierwiastkami wielomianu Q(x)\{\cfrac{1}{2},-\cfrac{1}{3},-1\}

Zadanie 1

Dany jest wielomian Q(x)=4x^{10}+25x^5+4x^3+6. Która z liczb na pewno nie jest pierwiastkiem tego wielomianu?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Znajdź pierwiastki wielomianu W(x)=x^3+3x^2+5x+6.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Wskaż liczbę pierwiastków wymiernych wielomianu Q(x)=2x^4-3x^2-x^3+x+1.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Na podstawie twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych wskaż, która liczba nie może być pierwiastkiem wielomianu

P(x)=12x^4+71x^2-x^3-6x-6.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Na podstawie twierdzenia o pierwiastkach całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitych wskaż, która liczba nie może być pierwiastkiem całkowitym wielomianu

Q(x)=7x^5-8x^4+3x^2-8x-15.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Znajdź wszystkie pierwiastki wielomianu W(x)=x^5-3x^4-5x^3+15x^2+4x-12, wiedząc że są one liczbami całkowitymi.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz