Krotność pierwiastka wielomianu.

Przypomnienie:

 

Definicja: Wielomian

Wielomianem jednej zmiennej x \in  \mathbb{R} nazywamy funkcję określoną wzorem

W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}  + ... + a_1 x + a_0

gdzie

n \in  \mathbb{N} - stopień wielomianu

a_0, a_1, ..., a_n \in  \mathbb{R} - współczynniki wielomianu

a_n \neq 0 - wyraz przy najwyższej potędze

a_0 - wyraz wolny wielomianu

 

 

Przed przystąpieniem do tej nauki musisz mieć opanowany materiał z działu wielomiany.

A teraz przejdźmy do części właściwej tej nauki.

 

Krotność pierwiastka wielomianu:

Jeżeli zapiszemy już wielomian w postaci iloczynu, niektóre czynniki mogą się w tym iloczynie powtarzać, więc zapisujemy je w postaci potęgi. Np.

W(x)=(x-7)^2(x+1)^3(x+5)

Z takiej postaci wielomianu możemy odczytać krotność pierwiastków tego wielomianu. Dla powyższego wielomianu W(x) są to:

  • -5 jest pierwiastkiem jednokrotnym wielomianu W(x), ponieważ czynnik (x+5) występuje w potędze pierwszej, w rozkładzie tego wielomianu na czynniki. Jest to pierwiastek nieparzystokrotny, ponieważ 1 jest liczbą nieparzystą.
  • 7 jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu W(x), ponieważ czynnik (x-7) występuje w potędze drugiej, w rozkładzie tego wielomianu na czynniki. Jest  to pierwiastek parzystokrotny, ponieważ 2 jest liczbą parzystą.
  • -1 jest pierwiastkiem trzykrotnym wielomianu W(x), ponieważ czynnik (x+1) występuje w potędze trzeciej, w rozkładzie tego wielomianu na czynniki. Jest to pierwiastek nieparzystokrotny, ponieważ 3 jest liczbą nieparzystą.

 Formalnie rzecz biorąc krotność pierwiastka wielomianu definiujemy następująco:

Definicja: Krotność pierwiastka wielomianu

Jeżeli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x)=a_n x^n+...+a_1 x+a_0 stopnia n, to jego krotnością nazywamy największą liczbę naturalną k, taką, że wielomian W(x)  jest podzielny wielomian (x-a)^k.

 

Dany jest wielomian P(x)=(x+3)^2(x+3)(x-4)^2(x+9)^4. Oceń poprawność zdań:

-3 jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu P(x)
-9 jest pierwiastkiem nieparzystokrotnym.
Wszystkie pierwiastki wielomianu są parzystokrotne.

Wykresy wielomianów.

W tej części nauki omówimy w jaki sposób rysujemy przybliżone wykresy wielomianów.

Przykład 1

Dany jest wielomian:

Q(x)=3(x+4)^2(x+3)(x-2)^3(x-5)^4

Narysujemy jego przybliżony wykres:

  • Odczytujemy pierwiastki wielomianu oraz ich krotności.

-4 - pierwiastek dwukrotny

-3 - pierwiastek jednokrotny

2 - pierwiastek trzykrotny

5 - pierwiastek czterokrotny

 

  •  Zaznaczamy na osi liczbowej pierwiastki wielomianu.

 

  • Ustalamy znak współczynnika kierunkowego wielomianu.

Q(x)=\boxed{3}(x+4)^2(x+3)(x-2)^3(x-5)^4

W naszym przykładzie, współczynnikiem kierunkowym wielomianu Q(x) jest liczba 3. I jest to liczba dodatnia.

  • Ustalamy, gdzie zaczynamy rysować wykres.

Rysowanie wykresu wielomianu zawsze zaczynamy od prawej strony!

Zaczynamy od:

 - dołu, jeżeli współczynnik kierunkowy a_n  wielomianu jest ujemny,

 

 - góry, jeżeli współczynnik kierunkowy a_n  wielomianu  jest dodatni.

W naszym przykładzie, ponieważ a_n=3>0 to rysowanie wykresu zaczynamy od góry.

Rysując wykres musimy zwrócić uwagę na krotność pierwiastków.

Dla pierwiastków parzystokrotnych wykres nie przecina osi, tylko "odbija się" od niej, styka się z nią w miejscu, gdzie znajduje się taki pierwiastek. Jeżeli dla pewnego wielomianu R(x), x=2 byłby pierwiastekiem parzystokrotnym, to wykres w pobliżu tego pierwiastka wyglądałby następująco:


 

Dla pierwiastków nieparzystokrotnych wykres  przecina oś w miejscu, gdzie znajduje się pierwiastek. Jeżeli dla pewnego wielomianu R(x), x=2 byłby pierwiastekiem nieparzystokrotnym, to wykres w pobliżu tego pierwiastka wyglądałby następująco:

 

  •  Rysujemy wykres:

Zaczynamy od góry i prowadzimy linię przez kolejne pierwiastki wielomianu. Jeżeli pierwiastek jest parzystokrotny (dwu-, cztero-, sześciokrotny, itd.) to linia będąca wykresem wielomianu styka się z osią. Jeżeli pierwiastek jest nieparzystokrotny ( jedno-, trzy-, pięciokrotny, tid.) to linia będąca wykresem wielomianu przecina oś. Przybliżony wykres wielomianu Q(x), to:

 

Dany jest wielomian W(x)=-5(x+2)^2(x-4)^3(x+1). Oceń poprawność zdań dotyczących wielomianu W(x).

Rysowanie wykresu wielomianu zaczynamy z lewej strony od dołu .
Wykres wielomianu przecina oś w punkcie x=-1.
Wykres wielomianu styka się z osią w punkcie x=-2.

Roziązanie nierówności wielomianowej.

Rozwiązując nierówności wielomianowe, postępujemy tak samo jak z równaniami wielomianowymi, tzn. sprowadzamy wielomian do postaci iloczynowej i wyznaczamy pierwiastki. Następnie rysujemy przybliżony wykres wielomianu, a na końcu odczytujemy wartości, które spełniają zadaną nierówność. Wszystkie te operacje na wielomianach były opisane we wcześniejszych naukach, więc tutaj przećwiczmy to w całości na przykładzie.

 

Przykład 2

Rozwiąż nierówność:

 

x^3+5x^2+8x+4>0

Oznaczmy: W(x)=x^3+5x^2+8x+4

Najpierw musimy zapisać lewą stronę nierówności w postaci iloczynowej. Wiemy, że  jeżeli wielomian ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego. Dzielnikami wyrazu wolnego w naszej nierówności są -1,1,-2,2,-4,4. Za pomocą schematu Hornera, sprawdzimy, czy są one pierwiastkami wielomianu po lewej stronie nierówności:

Sprawdzamy pierwszy dzielnik:

x=-1

Zatem x=-1 jest pierwiastkiem wielomianu po lewej stronie nierówności. Możemy zapisać, że:

W(x)=(x+1)(x^2+4x+4)

Korzystając, ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy rozkładamy na czynniki wielomian x^2+4x+4. Otrzymujemy:

W(x)=(x+1)(x+2)^2

Wielomian W(x) udało nam się zapisać w postaci iloczynowej. Rysujemy przybliżony wykres tego wielomianu.

Wielomian W(x) ma dwa pierwiastki:

-1 jest pierwiastkiem jednokrotnym,

-2 jest pierwiastkiem dwukrotnym.

 Zaznaczamy pierwiastki na osi:

 Współczynnik kierunkowy wielomianu to a_3=1, jest zatem dodatni. Rysowanie wykresu rozpoczynamy od góry z prawej strony:

-1 jest pierwiastkiem jednokrotnym, dlatego wykres wielomianu przecina oś w tym punkcie,

-2 jest pierwiastkiem dwukrotnym, dlatego wykres wielomianu "odbija się" od osi w tym punkcie.

 Teraz musimy wskazać wartości, które spełniają nierówność:

(x+1)(x+2)^2>0

Wykres wielomianu znajduje się nad osią dla x \in (-1,+\infty), zatem ten przedział jest rozwiązaniem.


Zadanie 1

Rozwiąż nierówność:

6x^7+5x^5-4x^3<0.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Rozwiąż nierówność:

x^3+x^2+3x+10 \geq 0.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Rozwiąż nierówność:

4x^3-22x^2+24x+18<0.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz