Schemat Hornera
Schemat Hornera jest to algorytm, który pozwala na:
- dzielenie wielomianów przez dwumian
- sprawdzenie czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu
- obliczanie wartości wielomianu dla pewnego argumentu.
Ważne! Jeżeli wielomian przez który dzielimy jest w wyższej potędze np ,
to nie możemy skorzystać ze schematu Hornera. Musimy wtedy skorzystać z tradycyjnego dzielenia wielomianów.
Aby móc wykonywać algorytm Hornera, trzeba wiedzieć w jaki sposób tworzy się tabelkę.
Dany mamy wielomian:
Współczynniki wielomianu wpisujemy w górnym wierszu tabeli:
W dolnym wierszu w pierwszej kratce wpisujemy wartość argumentu, dla którego chcemy obliczyć wartość wielomianu (lub jeżeli chcemy podzielić wielomian przez dwumian , wartość
). W drugiej kratce wpisujemy współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu.
Jak dalej wykonujemy obliczenia za pomocą tabelki Hornera pokażemy na przykładzie.
Za pomocą Schematu Hornera podzielić wielomian przez dwumian
oraz oblicz wartość wielomianu
dla argumentu
.
- Zaczynamy od narysowania tabelki:
W pierwszym wierszu wpisujemy współczynniki wielomianu , a w drugim wierszu wpisujemy
(ponieważ dzielimy przez dwumian
), oraz współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu
. Ponieważ wielomian
nie ma potęgi
, więc oznacza to, że współczynnik przy tej potędze jest równy
, co również musimy wpisać do tabeli.
- Wypełniamy tabelę:
Aby uzupełnić pustą kratkę, mnożymy przez liczbę, która znajduje się w poprzedniej wypełnionej kratce ( w tym wypadku jest to
) i dodajemy liczbę, która znajduje się nad pustą kratką.
Kolejne kratki uzupełniamy analogicznie:
- Odczytujemy wyniki:
Wartość wielomianu dla argumentu
jest równa
. Jest to ostatnia kratka w drugim wierszu. Sprawdzamy:
Po podzieleniu wielomianu przez dwumian
otrzymujemy:
Wielomian o stopień niższy niż wielomian
i resztę z dzielenia tego wielomianu. Odczytujemy z tabeli współczynniki wielomianu
oraz resztę z dzielenia:
Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian
to:
.
Możemy zapisać, że:
.
Za pomocą schematu Hornera, sprawdź czy liczba jest pierwiastkiem wielomianu
.
Rozwiązanie tego zadania sprowadza się do sprawdzenia, czy wartość wielomianu dla argumentu
jest równa
. Tzn, czy ostatnia kratka w drugim wierszu tabeli Hornera po wykonaniu algorytmu będzie równa
.
Tworzymy i wypełniamy tabelę:
Widzimy, że w ostatniej kratce, drugiego wiersza tabeli otrzymaliśmy wartość . Oznacza to, że liczba
jest pierwiastkiem wielomianu
.
Możemy zapisać:
Oznacza to również, że:
- wielomian
jest podzielny przez dwumian
,
- wartość wielomianu
dla argumentu
jest równa
.
Zobacz rozwiązanieDla jakich wartości parametrów
wielomian
jest podzielny przez wielomian
, jeśli:
![]()
,
.
COMMENT_CONTENT