Schemat Hornera

Schemat Hornera jest to algorytm, który pozwala na:

Ważne! Jeżeli wielomian przez który dzielimy jest w wyższej potędze np (x^2 -2), (x^3 + 1) to nie możemy skorzystać ze schematu Hornera. Musimy wtedy skorzystać z tradycyjnego dzielenia wielomianów.

Aby móc wykonywać algorytm Hornera, trzeba wiedzieć w jaki sposób tworzy się tabelkę.

Dany mamy wielomian:

W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0

Współczynniki wielomianu wpisujemy w górnym wierszu tabeli:

W dolnym wierszu w pierwszej kratce wpisujemy wartość argumentu, dla którego chcemy obliczyć wartość wielomianu (lub jeżeli chcemy podzielić wielomian przez dwumian x-a, wartość a). W drugiej kratce wpisujemy współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu.

Jak dalej wykonujemy obliczenia za pomocą tabelki Hornera pokażemy na przykładzie.

Przykład

Za pomocą Schematu Hornera podzielić wielomian W(x)=x^4+3x^3+x-3 przez dwumian x+2 oraz oblicz wartość wielomianu W(x) dla argumentu x=-2.

  • Zaczynamy od narysowania tabelki:


W pierwszym wierszu wpisujemy współczynniki wielomianu W(x), a w drugim wierszu wpisujemy -2 (ponieważ dzielimy przez dwumian x+2), oraz współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu W(x). Ponieważ wielomian W(x) nie ma potęgi x^2, więc oznacza to, że współczynnik przy tej potędze jest równy 0, co również musimy wpisać do tabeli.

  • Wypełniamy tabelę:

Aby uzupełnić pustą kratkę, mnożymy a=-2 przez liczbę, która znajduje się w poprzedniej wypełnionej kratce ( w tym wypadku jest to 1) i dodajemy liczbę, która znajduje się nad pustą kratką.

Kolejne kratki uzupełniamy analogicznie:

 

  • Odczytujemy wyniki:

Wartość wielomianu W(x) dla argumentu x=-2 jest równa -13. Jest to ostatnia kratka w drugim wierszu. Sprawdzamy:

W(x)=x^4+3x^3+x-3

W(-2)=(-2)^4+3 * (-2)^3+(-2)-3=16-24-5=-13

Po podzieleniu wielomianu W(x) przez dwumian x+2 otrzymujemy:

Wielomian P(x) o stopień niższy niż wielomian W(x) i resztę z dzielenia tego wielomianu. Odczytujemy z tabeli współczynniki wielomianu P(x) oraz resztę z dzielenia:


P(x)=x^3+x^2-2x+5

Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x+2 to:

R=-13.

Możemy zapisać, że:

W(x)=P(x)(x+2)+R

W(x)=(x^3+x^2-2x+5)(x+2)-13.

Przykład

Za pomocą schematu Hornera, sprawdź czy liczba x=2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)=x^3-4x^2+x+6.

Rozwiązanie tego zadania sprowadza się do sprawdzenia, czy wartość wielomianu W(x) dla argumentu x=2 jest równa 0. Tzn, czy ostatnia kratka w drugim wierszu tabeli Hornera  po wykonaniu algorytmu będzie równa 0.

Tworzymy i wypełniamy tabelę:

 

 

Widzimy, że w ostatniej kratce, drugiego wiersza tabeli otrzymaliśmy wartość 0. Oznacza to, że liczba x=2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x).

Możemy zapisać:

 W(x) = (x-2)(x^2 - 2x -3)

UWAGA!

Oznacza to również, że:

  • wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-2,
  • wartość wielomianu W(x) dla argumentu x=2 jest równa 0.

Zadanie 1

Dla jakich wartości parametrów a,\ b wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian Q(x), jeśli:

W(x)=x^4+ax^3+2x^2+4x+b, Q(x)=(x+1)^2.

Zobacz rozwiązanie

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz