Wprowadzenie do dzielenia wielomianów
Wielomiany możemy podzielić tradycyjnie metodą pisemną lub korzystając ze schematu Hornera. Zanim przejdziemy do właściwego dzielenia wielomianów, najpierw przedstawmy kilka definicji, które doprecyzują co to właściwie jest dzielenie wielomianów.
Mówimy, że wielomian })
})
})
=Q(x) \cdot S(x)})
Zobaczmy to na przykładzie:
Wielomian =x^3+x^2-4x-4})
=x+1})
=x^2-4})
Sprawdźmy:
 \cdot S(x)=(x+1)(x^2-4)=x^3-4x+x^2-4=})
})
Tak samo jak przy dzieleniu pisemnym liczb, tak przy dzieleniu wielomianu przez inny wielomian możemy otrzymać resztę z dzielenia.
Reszta z dzielenia wielomianu
Jeśli })
})
=P(x)\cdot Q(x) + R(x)})
gdzie stopień wielomianu
Obliczmy resztę z dzielenia dowolnego wielomianu 
=(x-a)\cdot Q(x) + R(x)})
Obliczmy })
=(a-a)\cdot Q(a) + R(a)=0 \cdot Q(a)+R(p)=R(a)})
Reszta z dzielenia wielomianu
Dany jest wielomian:=x^4+4x^3+kx-1})
. Wiadomo, że reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian 
wynosi 
. Oceń poprawność zdań.
Dzielenie wielomianów
Powyżej zostały przedstawione najważniejsze twierdzenia dotyczące podzielności wielomianów. Teraz przedstawimy w jaki sposób wykonuje się dzielenie wielomianów.
Podzielimy wielomian =2x^3+x^2-5x+1})
- Zapisujemy oba wielomiany w następującej postaci:
- Dzielimy pierwszy składnik wielomianu
) przez pierwszy składnik dwumianu (czyli
). Otrzymany wynik, zapisujemy nad kreską:
- Wynik poprzedniego dzielenia, czyli
, mnożymy przez dwumian
- Wykonujemy odejmowanie. Od wielomianu
Wykonujemy kolejne operacje analogicznie jak poprzednio. Algorytm kończy się w momencie uzyskania wielomianu, o stopniu niższym od tego przez który dzielimy.
Otrzymana liczba
=(x+2)(2x^2-3x+1)-1})
Dany jest wielomian =x^4-5x^3+4x^2+5x-9})
. Jeżeli:
=(x-4)Q_1(x)+R_1(x)})
lub =(x+2)Q_2(x)+R_2(x)})
to:
Zobacz rozwiązanieReszta z dzielenia wielomianu
wynosi
. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu
.
Zobacz rozwiązanieDla jakich wartości parametrów
wielomian
,
=x^2+3x+2})
Zobacz rozwiązanieWielomian
jest podzielny przez
. Reszta z dzielenia wielomianu
. Oblicz współczynniki
.
Zobacz rozwiązanieDla jakich wartości parametrów
,
.
Zobacz rozwiązanieDla jakich wartości parametru
, reszta z dzielenia wielomianu
przez dwumian
jest równa
.
=(m+15)x^{30}+(m-15)x^{29}+(m+14)x^{28}+(m-14)x^{27}+...})
x^{2}+(m-1)x+m^2-m})
Przeczytaj także:
COMMENT_CONTENT