Wprowadzenie do dzielenia wielomianów
Wielomiany możemy podzielić tradycyjnie metodą pisemną lub korzystając ze schematu Hornera. Zanim przejdziemy do właściwego dzielenia wielomianów, najpierw przedstawmy kilka definicji, które doprecyzują co to właściwie jest dzielenie wielomianów.
Mówimy, że wielomian jest podzielny przez wielomian
, jeżeli istnieje taki wielomian
, że:
.
Zobaczmy to na przykładzie:
Wielomian jest podzielny przez wielomian
, ponieważ istnieje wielomian
taki, że jest spełniona równość:
.
Sprawdźmy:
Tak samo jak przy dzieleniu pisemnym liczb, tak przy dzieleniu wielomianu przez inny wielomian możemy otrzymać resztę z dzielenia.
Reszta z dzielenia wielomianu
Jeśli oraz
są wielomianami i
nie jest wielomianem zerowym, to istnieją takie dwa wielomiany
oraz
, że:
,
gdzie stopień wielomianu jest mniejszy od stopnia wielomianu
.
Obliczmy resztę z dzielenia dowolnego wielomianu przez dwumian
. Z powyższego twierdzenia wynika, że:
.
Obliczmy :
.
Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian
, jest równa
.
Dany jest wielomian:
. Wiadomo, że reszta z dzielenia wielomianu
przez dwumian
wynosi
. Oceń poprawność zdań.
Dzielenie wielomianów
Powyżej zostały przedstawione najważniejsze twierdzenia dotyczące podzielności wielomianów. Teraz przedstawimy w jaki sposób wykonuje się dzielenie wielomianów.
Podzielimy wielomian przez dwumian
.
- Zapisujemy oba wielomiany w następującej postaci:
- Dzielimy pierwszy składnik wielomianu
(czyli
) przez pierwszy składnik dwumianu (czyli
). Otrzymany wynik, zapisujemy nad kreską:
- Wynik poprzedniego dzielenia, czyli
, mnożymy przez dwumian
, a wynik zapisujemy pod wielomianem
:
- Wykonujemy odejmowanie. Od wielomianu
odejmujemy wielomian zapisany pod nim. Wynik zapisujemy pod kreską:
Wykonujemy kolejne operacje analogicznie jak poprzednio. Algorytm kończy się w momencie uzyskania wielomianu, o stopniu niższym od tego przez który dzielimy.
Otrzymana liczba jest resztą z dzielenia wielomianu
przez dwumian
. Wielomian
możemy zapisać jako:
Dany jest wielomian
. Jeżeli:
lub
to:
Zobacz rozwiązanieReszta z dzielenia wielomianu
przez trójmian
wynosi
. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu
przez dwumian
.
Zobacz rozwiązanieDla jakich wartości parametrów
wielomian
jest podzielny przez wielomian
, jeśli:
,
Zobacz rozwiązanieWielomian
jest podzielny przez
. Reszta z dzielenia wielomianu
przez dwumian
wynosi
. Oblicz współczynniki
.
Zobacz rozwiązanieDla jakich wartości parametrów
wielomian
jest podzielny przez wielomian
, jeśli:
![]()
,
.
Zobacz rozwiązanieDla jakich wartości parametru
, reszta z dzielenia wielomianu
przez dwumian
jest równa
.
Przeczytaj także:
COMMENT_CONTENT