Twierdzenia wprowadzające do dzielenia wielomianów.

W tej części nauki omówimy w jaki sposób wykonujemy operację dzielenia na wielomianach.

 

Definicja: Podzieloność wielomianów

Mówimy, że wielomian P(x) jest podzielny przez wielomian Q(x) (gdzie wielomian Q(x) jest różny od wielomianu zerowego), jeżeli istnieje taki wielomian S(x), że:

P(x)=Q(x) * S(x).

Przykład 1

Wielomian P(x)=x^3+x^2-4x-4 jest podzielny przez wielomian Q(x)=x+1, ponieważ  istnieje wielomian S(x)=x^2-4 taki, że jest spełniona równość:

P(x)=Q(x) * S(x).

Sprawdźmy:

Q(x) * S(x)=(x+1)(x^2-4)=x^3-4x+x^2-4=

=x^3+x^2-4x-4=P(x)

 

Jedno z podstawowych twierdzeń dotyczących podzielności wielomianów to Twierdzenie Bezouta. Jego treść jest następująca:

 

Twierdzenie: Bezouta

Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-a.

Przykład 2

Wyznacz współczynnik b wielomianu W(x)=x^3-bx^2-x+3 wiedząc, że wielomian ten jest podzielny przez dwumian x-3.

Z Twierdzenia Bezouta wynika, że pierwiastkiem wielomianu W(x) jest liczba x=3. Czyli wartość tego wielomianu dla tego argumentu jest równa 0.

W(3)=3^3-b * 3^2-3+3=27-9b=0

27=9b

b=3

 

 

Twierdzenie: O dzieleniu wielomianów z resztą

Jeśli W(x) oraz P(x) są wielomianami i P(x) nie jest wielomianem zerowym, to istnieją takie dwa wielomiany Q(x) oraz R(x), że:

W(x)=P(x)* Q(x) + R(x),

gdzie stopień wielomianu R(x)  jest mniejszy od stopnia wielomianu  P(x). Jeżeli wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x) to R(x) jest wielomianem zerowym ( tzn. R(x)=0 ).

 

Obliczmy resztę z dzielenia dowolnego wielomianu W(x) przez dwumian x-a. Z powyższego twierdzenia wynika, że:


  W(x)=(x-a)* Q(x) + R(x).

Obliczmy W(a):

  W(a)=(a-a)* Q(a) + R(a)=0 * Q(a)+R(p)=R(a).

Twierdzenie: O reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x-a

Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x-a, jest równa W(a).

 

Dany jest wielomian:W(x)=x^4+4x^3+kx-1. Wiadomo, że reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x+3 wynosi -1. Oceń poprawność zdań.

Pierwiastkiem wielomianu W(x) jest liczba 2
Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x-1 jest równa -5

Dzielenie wielomianów.

Powyżej zostały przedstawione najważniejsze twierdzenia dotyczące podzielności wielomianów. Teraz przedstawimy w jaki sposób wykonuje się dzielenie wielomianów.

 

Podzielimy wielomian W(x)=2x^3+x^2-5x+1 przez dwumian x+2.

  •  Zapisujemy oba wielomiany w następującej postaci:

 

\overline{2x^3+x^2-5x+1}: \quad x+2

 

  • Dzielimy pierwszy składnik wielomianu W(x) (czyli 2x^3 ) przez pierwszy składnik dwumianu  (czyli x). Otrzymany wynik, zapisujemy nad kreską:

 

2x^2

\overline{2x^3+x^2-5x+1}: \quad x+2

 

  • Wynik poprzedniego dzielenia, czyli 2x^2, mnożymy przez dwumian x+2, a wynik zapisujemy pod wielomianem W(x):

 

2x^2

\overline{2x^3+x^2-5x+1}: \quad  x+2

2x^3+4x^2

 

 

  • Wykonujemy odejmowanie. Od wielomianu W(x) odejmujemy wielomian zapisany pod nim. Wynik zapisujemy pod kreską:

 

2x^2

\overline{2x^3+x^2-5x+1}: \quad   x+2

\underline{2x^3+4x^2}

         -3x^2-5x+1

 

Wykonujemy kolejne operacje analogicznie jak poprzednio. Algorytm kończy się w momencie uzyskania wielomianu, o stopniu niższym od tego przez który dzielimy.

 

2x^2-3x+1

\overline{2x^3+x^2-5x+1}: \quad    x+2

\underline{2x^3+4x^2}

         -3x^2-5x+1

         \underline{-3x^2-6x}

                           x+1

                           \underline{x+2}

                                 -1

 

Otrzymana liczba -1 jest resztą z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x+2. Wielomian W(x) możemy zapisać jako:

W(x)=(x+2)(2x^2-3x+1)-1

Dany jest wielomian P(x)=x^4-5x^3+4x^2+5x-9. Jeżeli: P(x)=(x-4)Q_1(x)+R_1(x) lub P(x)=(x+2)Q_2(x)+R_2(x) to:

Schemat Hornera

Schemat Hornera jest to algorytm, który pozwala na:

  • dzielenie wielomianów przez dwumian x-a
  • sprawdzenie czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu
  • obliczanie wartości wielomianu dla pewnego argumentu.

Aby móc wykonywać algorytm Hornera, trzeba wiedzieć w jaki sposób tworzy się tabelkę.

Dany mamy wielomian:

W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0

Współczynniki wielomianu wpisujemy w górnym wierszu tabeli:

 W dolnym wierszu w pierwszej kratce wpisujemy wartość argumentu, dla którego chcemy obliczyć wartość wielomianu (lub jeżeli chcemy podzielić wielomian przez dwumian x-a, wartość a). W drugiej kratce wpisujemy współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu.

Jak dalej wykonujemy obliczenia za pomocą tabelki Hornera pokażemy na przykładzie.

Przykład 3

Za pomocą Schematu Hornera podzielić wielomian W(x)=x^4+3x^3+x-3 przez dwumian x+2 oraz oblicz wartość wielomianu W(x) dla argumentu x=-2.

  • Zaczynamy od narysowania tabelki:


W pierwszym wierszu wpisujemy współczynniki wielomianu W(x), a w drugim wierszu wpisujemy -2 (ponieważ dzielimy przez dwumian x+2), oraz współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu W(x). Ponieważ wielomian W(x) nie ma potęgi x^2, więc oznacza to, że współczynnik przy tej potędze jest równy 0, co również musimy wpisać do tabeli.

  • Wypełniamy tabelę:

Aby uzupełnić pustą kratkę, mnożymy a=-2 przez liczbę, która znajduje się w poprzedniej wypełnionej kratce ( w tym wypadku jest to 1) i dodajemy liczbę, która znajduje się nad pustą kratką.

Kolejne kratki uzupełniamy analogicznie:

 

  • Odczytujemy wyniki:

Wartość wielomianu W(x) dla argumentu x=-2 jest równa -13. Jest to ostatnia kratka w drugim wierszu. Sprawdzamy:

W(x)=x^4+3x^3+x-3

W(-2)=(-2)^4+3 * (-2)^3+(-2)-3=16-24-5=-13

Po podzieleniu wielomianu W(x) przez dwumian x+2 otrzymujemy:

Wielomian P(x) o stopień niższy niż wielomian W(x) i resztę z dzielenia tego wielomianu. Odczytujemy z tabeli współczynniki wielomianu P(x) oraz resztę z dzielenia:


 

P(x)=x^3+x^2-2x+5

Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x+2 to:

R=-13.

Możemy zapisać, że:

W(x)=P(x)(x+2)+R

W(x)=(x^3+x^2-2x+5)(x+2)-13.

Przykład 4

Za pomocą schematu Hornera, sprawdź czy liczba x=2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)=x^3-4x^2+x+6.

Rozwiązanie tego zadania sprowadza się do sprawdzenia, czy wartość wielomianu W(x) dla argumentu x=2 jest równa 0. Tzn, czy ostatnia kratka w drugim wierszu tabeli Hornera  po wykonaniu algorytmu będzie równa 0.

Tworzymy i wypełniamy tabelę:

  

 

Widzimy, że w ostatniej kratce, drugiego wiersza tabeli otrzymaliśmy wartość 0. Oznacza to, że liczba x=2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x).

UWAGA!

Oznacza to również, że:

  • wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-2,
  • wartość wielomianu W(x) dla argumentu x=2 jest równa 0.

 


Zadanie 1

Wielomian W(x)=x^4+x^3+ax^2+bx+c jest podzielny przez x^2-4x+3. Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x+3 wynosi -48. Oblicz współczynniki a,\ b,\ c.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Dla jakich wartości parametru m, reszta z dzielenia wielomianu

W(x)=(m+15)x^{30}+(m-15)x^{29}+(m+14)x^{28}+(m-14)x^{27}+...

+(m+1)x^{2}+(m-1)x+m^2-m

przez dwumian x+1 jest równa 246.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez trójmian x^2-x-6 wynosi 2x-1. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x-3.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Dla jakich wartości parametrów a,\ b wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian Q(x), jeśli:

W(x)=ax^5+3x^3+bx+1, Q(x)=x^2+3x+2

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Dla jakich wartości parametrów a,\ b wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian Q(x), jeśli:

W(x)=x^4+ax^3+2x^2+4x+b, Q(x)=(x+1)^2.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz