Pierwiastek wielomianu

Pierwiastek wielomianu to każda liczba dla której wartość wielomianu wynosi zero W(x) = 0. Pierwiastek wielomianu to inaczej miejsce zerowe wielomianu.

Inaczej mówiąc pierwiastek wielomianu W(x) to taka liczba, która po podstawieniu do tego wielomianu w miejsce x daje wartość 0.

Przykład

W(x) = 2x-2, pierwiastkiem jest liczba x=1, bo W(1) = 2 * ( 1 - 1 ) = 0

 

Przykład

W(x) = x^2-2x+1, pierwiastkiem jest liczba x=1, bo W(1) = 1^2 - 2 * 1 + 1 = 0


Przykład

Czy liczba  2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)=x^3 + x^2 -5x^2 +x +6?

Podstawiamy x = 2

W(2)=2^3 + 2^2 -5 * 2^2 +2 +6= 8 +4 - 5 * 4 + 2 + 6 = 20 - 20 = 0

zatem liczba  2  jest pierwiastkiem wielomianu.

Przykład

Czy liczba  -1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)=x^4 -x^3+6?

Podstawiamy x = -1

W(-1)=(-1)^4 - (-1)^3 + 6 = 1 - (-1) + 6 = 1 + 1 + 6 = 8 \neq 0

zatem liczba -1 nie jest pierwiastkiem rozważanego wielomianu.

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Pierwiastkiem wielomianu W(x)=2x^2 - 4x + 2 jest x=1
Pierwiastkiem wielomianu W(x)=x^3 - 9 jest x=-3
Pierwiastkiem wielomianu W(x)=x^3 + x^2 -x - 1 jest x=3

Ilość pierwiastków wielomianu

Twierdzenie:O ilości pierwiastków wielomianu

Każdy wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków.

Oznacza to, że wielomian stopnia 4 może mieć maksymalnie 4 pierwiastki, ale może też mieć ich mniej lub nie mieć żadnego w zależności od konkretnego wielomianu. 


Zadanie 1

Wyznacz pierwiastki wielomianu W(x) = x^3 + 3x^2 -4x -12

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Znajdź pierwiastki wielomianu

W(x)=3x^3-9x^2-6x+18

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Podaj pierwiastki wielomianu W(x) = x^4 -x^3 - 8x +8 z przedziału (0 ; 3).

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Ile pierwiastków wielomianu W(x) = 3x^3-9x^2-6x+18 jest większych od 0?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Ile pierwiastków równaniax^5 - 3x^4 - x + 3=0 należy do przedziału (0, +\infty)?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Znajdź pierwiastki całkowite wielomianu W(x)=x^3-2x^2-x+2.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Pierwiastkiem wielomianu W(x)=x^3-3ax^2+26x-8a jest 3. Oznacza to,  że

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Wykaż, że jeżeli m jest liczbą całkowitą, to suma współczynników wielomianu

W(x)=\left( \cfrac{4m^3}{m-\cfrac{1}{2}}x^4-2mx^3-2x^2-\cfrac{1}{2m-1}\right)^{12}

jest także liczbą całkowitą.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Iloczyn pierwiastków wielomianu W(x) = x^3 + 5x^2 - 4x - 20 wynosi: 

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz