Równania wielomianowe

Drukuj

Co to jest równanie wielomianowe?

Definicja: Równanie wielomianowe. (Równanie algebraiczne n-tego stopnia)

Równaniem wielomianowym nazywamy równanie postaci:

$W(x)=0$

gdzie $W(x)$ jest wielomianem stopnia $n > 0$ .

Szczególne przypadki równania wielomianowego to równanie liniowe i równanie kwadratowe.

Przykład 1

Równanie $x^4+2x^3+3x^2+2x+1=0$ jest równaniem wielomianowym stopnia $4$ .

Równanie $x^3+4x^3+2x=-2$ jest równaniem wielomianowym stopnia $3$ ponieważ jest równoważne równaniu $5x^3 + 2 x+ 2 = 0$ .

Aby rozwiązać równanie wielomianowe to szukamy wszystkich pierwiastków wielomianu korzystając z różnych sposobów rozkładu wielomianu na czynniki. Mogą to być wzory skróconego mnożenia, grupowanie wyrazów, obliczanie delty czy wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias.

Są jeszcze inne metody szukania pierwiastków wielomianu czy to całkowitych czy wymiernych, które zaraz omówimy.

Zaznacz, które z równań są równaniami wielomianowymi:

Ćwiczenia są dostępne dla zalogowanych uzytkowników posiadających konto premium

Pierwiastki wielomianu

Przypomnijmy, że pierwiastek wielomianu to liczba $a$ , która po podstawieniu do wielomianu w miejsce $x$ da nam wynik 0.

Pierwiastek wielomianu jest zarazem pierwiastkiem równania algebraicznego.

Zobaczmy na przykładzie jak sprawdzić czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu.

Przykład

Czy liczba $2$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)=x^3 + x^2 -5x^2 +x +6$ ?

Podstawiamy $x = 2$

$W(2)=2^3 + 2^2 -5 * 2^2 +2 +6= 8 +4 - 5 * 4 + 2 + 6 = 20 - 20 = 0$

zatem liczba $2$ jest pierwiastkiem wielomianu.

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Ćwiczenia są dostępne dla zalogowanych uzytkowników posiadających konto premium

O rozkładzie wielomianu

Twierdzenie:O rozkładzie wielomianu

Każdy wielomian niezerowy jest iloczynem czynników stopnia co najwyżej drugiego.

Przykład

Rozłóż wielomian $W(x)=4x^3+4x+x^2+1$ na czynniki.

$W(x)=4x^3+4x+x^2+1=4x(x^2+1)+(x^2+1)=(x^2+1)(4x+1)$

Wielomian $W$ zapisaliśmy w postaci iloczynu dwóch nierozkładalnych czynników: $(x^2+1)$ i $(4x+1)$ .

Potencjalne pierwiastki wielomianu

Gdy metody rozkładu na czynniki pierwsze wielomianu już nam nie pomagają możemy poszukać innych pierwiastków wielomianu. W tym celu możemy zbadać potencjalne pierwiastki. To takie liczby, które z dużym prawdopodobieństwem mogą być pierwiastkami wielomianu.

Twierdzenie: Potencjalne pierwiastki wielomianu

Jeżeli wielomian $W(x) = a_n x^n + ... + a_1 x + a_0$ o współczynnikach całkowitych

ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego $a_0$
ma pierwiastek wymierny w postaci ułamka nieskracalnego $\cfrac{p}{q}$ , to $p$ jest dzielnikiem wyrazu wolnego $a_0$ , a $q$ jest dzielnikiem współczynnika $a_n$ przy najwyższej potędze zmiennej.

Przykład

$W(x) = x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12$

Wielomian $W(x)$ może mieć pierwiastki całkowite (dzielniki wyrazu wolnego $12$ ):

$1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12, -12$

Sprawdzamy, czy zaproponowane liczby to pierwiastki

$W(1) = 1^4 + 2 * 1^3 - 7 * 1^2 - 8 * 1+12=$

$= 1 + 2 - 7 - 8 +12 = 0$

$1$ jest pierwiastkiem

$W(-1) = (-1)^4 + 2 * (-1)^3 - 7 * (-1)^2 - 8 * (-1) +12=$

$= 1 - 2 -7 + 8 +12 = 12 \neq 0$

$-1$ nie jest pierwiastkiem

$W(2) = 2^4 + 2 * 2^3 - 7 * 2^2 - 8 * 2 +12=$

$= 16 + 16 - 28 - 16 +12= 0$

$2$ jest pierwiastkiem

$W(-2) = (-2)^4 + 2 * (-2)^3 - 7 * (-2)^2 - 8 * (-2)+12=$

$= 16 - 16 - 28 + 16 +12 = 0$

$-2$ jest pierwiastkiem

$W(-3) = (-3)^4 + 2 * (-3)^3 - 7 * (-3)^2 - 8 * (-3)+12=$

$= 81 - 54 - 63 + 24 +12= 0$

$-3$ jest pierwiastkiem

Ponieważ znaleźliśmy już $4$ pierwiastki rozważanego wielomianu stopnia $4$ oznacza to, że znaleźliśmy wszystkie pierwiastki wielomianu.
Gdybyśmy, nie znaleźli wszystkich $4$ pierwiastków wielomianu, należałoby sprawdzić pierwiastki wymierne. Jednak w tym przypadku potencjalne pierwiastki całkowite są te same co wymierne z uwagi na współczynnik $1$ przy najwyższej potędze zmiennej wielomianu.