Co to jest równanie wielomianowe?

Definicja: Równanie wielomianowe. (Równanie algebraiczne n-tego stopnia)

Równaniem wielomianowym nazywamy równanie postaci:

W(x)=0

gdzie W(x) jest wielomianem stopnia n > 0.

Szczególne przypadki równania wielomianowego to równanie liniowe i równanie kwadratowe.

Przykład 1

Równanie x^4+2x^3+3x^2+2x+1=0 jest równaniem wielomianowym stopnia 4.

Równanie x^3+4x^3+2x=-2 jest równaniem wielomianowym stopnia 3 ponieważ jest równoważne równaniu 5x^3 + 2 x+ 2 = 0.


Aby rozwiązać równanie wielomianowe to szukamy wszystkich pierwiastków wielomianu korzystając z różnych sposobów rozkładu wielomianu na czynniki. Mogą to być wzory skróconego mnożenia, grupowanie wyrazów, obliczanie delty czy wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias. 

Są jeszcze inne metody szukania pierwiastków wielomianu czy to całkowitych czy wymiernych, które zaraz omówimy. 

Zaznacz, które z równań są równaniami wielomianowymi:

Pierwiastki wielomianu

Przypomnijmy, że pierwiastek wielomianu to liczba a, która po podstawieniu do wielomianu w miejsce x da nam wynik 0.

Pierwiastek wielomianu jest zarazem pierwiastkiem równania algebraicznego.

Zobaczmy na przykładzie jak sprawdzić czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu

Przykład

Czy liczba  2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)=x^3 + x^2 -5x^2 +x +6?

Podstawiamy x = 2

W(2)=2^3 + 2^2 -5 * 2^2 +2 +6= 8 +4 - 5 * 4 + 2 + 6 = 20 - 20 = 0

zatem liczba  2 jest pierwiastkiem wielomianu.

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Pierwiastkiem wielomianu W(x)=\cfrac{3}{2} x^2 - 6x + 1 jest  x=2
Pierwiastkiem wielomianu W(x)=x(x^2 - 1)+ 2x^2-2 jest  x=-1
Pierwiastkiem wielomianu W(x)=\cfrac{1}{2}x -1 jest  x=2

O rozkładzie wielomianu

Twierdzenie:O rozkładzie wielomianu

Każdy wielomian niezerowy jest iloczynem czynników stopnia co najwyżej drugiego.

Przykład

Rozłóż wielomian W(x)=4x^3+4x+x^2+1 na czynniki.

W(x)=4x^3+4x+x^2+1=4x(x^2+1)+(x^2+1)=(x^2+1)(4x+1)

Wielomian W zapisaliśmy w postaci iloczynu dwóch nierozkładalnych czynników: (x^2+1) i (4x+1).

Potencjalne pierwiastki wielomianu

Gdy metody rozkładu na czynniki pierwsze wielomianu już nam nie pomagają możemy poszukać innych pierwiastków wielomianu. W tym celu możemy zbadać potencjalne pierwiastki. To takie liczby, które z dużym prawdopodobieństwem mogą być pierwiastkami wielomianu.

Twierdzenie: Potencjalne pierwiastki wielomianu

Jeżeli wielomian W(x) = a_n x^n + ... + a_1 x + a_0 o współczynnikach całkowitych

  • ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego a_0
  • ma pierwiastek wymierny w postaci ułamka nieskracalnego \cfrac{p}{q}, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a_0, a q jest dzielnikiem współczynnika a_n przy najwyższej potędze zmiennej.
Przykład

W(x) = x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12

Wielomian W(x) może mieć pierwiastki całkowite (dzielniki wyrazu wolnego 12):

1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12, -12

Sprawdzamy, czy zaproponowane liczby to pierwiastki

W(1) = 1^4 + 2 * 1^3 - 7 * 1^2 - 8 * 1+12=

= 1 + 2 - 7 - 8 +12 = 0

 1 jest pierwiastkiem

W(-1) = (-1)^4 + 2 * (-1)^3 - 7 * (-1)^2 - 8 * (-1) +12=

= 1 - 2 -7 + 8 +12 = 12 \neq 0

 -1 nie jest pierwiastkiem

W(2) = 2^4 + 2 * 2^3 - 7 * 2^2 - 8 * 2 +12=

 = 16 + 16 - 28 - 16 +12= 0

 2 jest pierwiastkiem

W(-2) = (-2)^4 + 2 * (-2)^3 - 7 * (-2)^2 - 8 * (-2)+12=

= 16 - 16 - 28 + 16 +12 = 0

 -2 jest pierwiastkiem

W(-3) = (-3)^4 + 2 * (-3)^3 - 7 * (-3)^2 - 8 * (-3)+12=

 = 81 - 54 - 63 + 24 +12= 0

 -3 jest pierwiastkiem

Ponieważ znaleźliśmy już  4 pierwiastki rozważanego wielomianu stopnia  4 oznacza to, że znaleźliśmy wszystkie pierwiastki wielomianu.
Gdybyśmy, nie znaleźli wszystkich 4 pierwiastków wielomianu, należałoby sprawdzić pierwiastki wymierne. Jednak w tym przypadku potencjalne pierwiastki całkowite są te same co wymierne z uwagi na współczynnik  1 przy najwyższej potędze zmiennej wielomianu.

Rozwiązywanie równań wielomianowych

Aby rozwiązać równanie wielomianowe (inaczej algebraiczne),

W(x) = 0

musimy rozłożyć wielomian W(x) na czynniki tzn. zapisać go w postaci iloczynu nierozkładalnych wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.

W(x) = Q_1(x) * Q_2(x) * ... * Q_m(x),

W praktyce wygląda to np tak: 

W(x) = (x-2)(x+6)(x^2+5)(x^2+9)

Zauważ, że czynników (x^2+5) oraz (x^2 +9) nie da się już rozłożyć na inne czynniki. Czyli są zapisane najprościej jak to jest możliwe.

Wtedy równanie przyjmuje postać

Q_1(x) * Q_2(x) * ... * Q_m(x) = 0,

a w praktyce:

 (x-2)(x+6)(x^2+5)(x^2+9) = 0

Rozwiązania tego równania znajdujemy, porównując każdy ze składników iloczynu do zera:

Q_1(x) = 0 lub  Q_2(x) = 0 lub ... lub Q_m(x) = 0

Innymi słowy iloczyn równy jest zero, jeżeli którykolwiek z jego czynników równy jest zero.

Przykład

Rozwiąż równanie

2(x-1)(x+2)(x^2+5) = 0.

Porównujemy każdy czynnik (każde wyrażenie w nawiasie) do zera:

x - 1 = 0 lub  x + 2 = 0  lub x^2 + 5 = 0

x=1 lub x=-2 lub x^2 = -5

ostatnie równanie jest sprzeczne, otrzymujemy zatem rozwiązanie

x=-2 lub x=1

Największym problemem w rozwiązywaniu równań wielomianowych jest znajdywanie czynników Q_1(x), Q_2(x), ..., Q_m(x) wielomianu W(x).


Zadanie 1

Która z poniższych liczb jest rozwiązaniem równania x^3+3x^2-4x-12=0?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie x^4+4x^2+4=0?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie 2x^4-7=0  ?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Rozwiąż równanie:

2x^3-18x+x^2-9=0

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Rozwiąż równanie:6x^3+x^2+12x+2=0.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Rozwiąż równanie:

x^3+2x^2+2x+4=0

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Rozwiąż równanie:

x^3+3x^2-4x-12=0

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Znajdź pierwiastki wielomianu

W(x)=3x^3-9x^2-6x+18

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Rozwiąż równanie x^4 - 10x^2 +9 = 0

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

Rozwiąż równanie x^3+7x^2-4x-28=0.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

Rozwiąż równanie  x^4 + 4x^2 -5x^2 - 20 = 0

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

Rozwiąż równanie  x^3 - 5x^2 - 7x + 35 = 0 i podaj liczbę rozwiązan tego równania które są większe od zera.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

Rozwiąż równanie:

x^3+3x^2+3x+1=0

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

Rozwiąż równanie:

x^4-4x^2+x^2-4=0

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15

Znajdź rzeczywiste pierwiastki wielomianu W(x) = x^6 - x^4 + x^2 -1

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 16

Iloczyn pierwiastków wielomianu W(x) = x^3 + 5x^2 - 4x - 20 wynosi: 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 17

Rozwiąż równanie:

|8x^3-1|=4x^2+2x+1.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 18

Ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie 5x^4-14=0 ?

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz