Jak narysować wykres wielomianu?

Gdy będziesz rysował wykres wielomianu to będzie on zawsze przybliżonym a nie dokładnym wykresem ze względu na to, że w praktyce dokładne wartości będziesz miał tylko w miejscach zerowych wielomianu. Taki wykres przyda się nam np w przypadku rozwiązywania nierówności wielomianowych.

Aby sprawnie i szybko narysować wykres wielomianu należy:

Zanim przystąpisz do rysowania wykresów wielomianów, musisz:

Wykresy wielomianów

Najprościej będzie zobaczyć jak narysować wykres wielomianu na przykładzie.

Przykład

Dany jest wielomian:

Q(x)=3(x+4)^2(x+3)(x-2)^3(x-5)^4

Dla uproszczenia samego procesu rysowania wykresu podałem wielomian w postaci iloczynowej. Standardowo należy przekształcić go do takiej postaci w pierwszym kroku.

Teraz narysujemy przybliżony wykres tego wielomianu:

-4 - pierwiastek dwukrotny (druga potęga przy (x+4))

-3 - pierwiastek jednokrotny(pierwsza potęga przy (x+3))

2 - pierwiastek trzykrotny(trzecia potęga przy (x-2))

5 - pierwiastek czterokrotny(czwarta potęga przy (x-5))

  • Zaznaczamy na osi liczbowej pierwiastki wielomianu.

  • Ustalamy znak współczynnika kierunkowego wielomianu - znak liczby stojącej przy najwyższej potędze wielomianu

Q(x)=\boxed{3}(x+4)^2(x+3)(x-2)^3(x-5)^4

W naszym przykładzie, współczynnikiem kierunkowym wielomianu Q(x) jest liczba 3. I jest to liczba dodatnia.

  • Ustalamy, gdzie zaczynamy rysować wykres.

Rysowanie wykresu wielomianu zawsze zaczynamy od prawej strony!

Zaczynamy od:

dołu, jeżeli współczynnik kierunkowy a_n wielomianu jest ujemny,

- góry, jeżeli współczynnik kierunkowy a_n wielomianu jest dodatni.

W naszym przykładzie, ponieważ a_n=3>0 to rysowanie wykresu zaczynamy od góry.

Rysując wykres musimy zwrócić uwagę na krotność pierwiastków.

Dla pierwiastków parzystokrotnych wielomianu wykres nie przecina osi, tylko "odbija się" od niej, styka się z nią w miejscu, gdzie znajduje się taki pierwiastek. Jeżeli dla pewnego wielomianu R(x), x=2 byłby pierwiastekiem parzystokrotnym, to wykres w pobliżu tego pierwiastka wyglądałby następująco:


Dla pierwiastków nieparzystokrotnych wykres przecina oś w miejscu, gdzie znajduje się pierwiastek. Jeżeli dla pewnego wielomianu R(x), x=2 byłby pierwiastekiem nieparzystokrotnym, to wykres w pobliżu tego pierwiastka wyglądałby następująco:

  • Rysujemy wykres:

Zaczynamy od góry i prowadzimy linię przez kolejne pierwiastki wielomianu. Jeżeli pierwiastek jest parzystokrotny (dwu-, cztero-, sześciokrotny, itd.) to linia będąca wykresem wielomianu styka się z osią. Jeżeli pierwiastek jest nieparzystokrotny ( jedno-, trzy-, pięciokrotny, tid.) to linia będąca wykresem wielomianu przecina oś.

Zaczynamy rysować od prawej strony od góry. Przybliżony wykres wielomianu Q(x), to:

Dany jest wielomian W(x)=-5(x+2)^2(x-4)^3(x+1). Oceń poprawność zdań dotyczących wielomianu W(x).

Rysowanie wykresu wielomianu zaczynamy z lewej strony od dołu .
Wykres wielomianu przecina oś w punkcie x=-1.
Wykres wielomianu styka się z osią w punkcie x=-2.

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz