Rozkład wielomianu na czynniki

Drukuj

Rozkład wielomianu na czynniki pierwsze przy pomocy wzorów skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia możemy wykorzystać do rozkładu wielomianu na czynniki. Poniżej kilka przykładów.

Przykład

Rozłóż wielomian $W(x) = -2x^2 + 18$ na czynniki.

Aby rozwiązać ten przykład wyłączamy $-2$ przed nawias i otrzymujemy:

$W(x) = -2(x^2 - 9)$

stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów otrzymujemy:

$W(x) = -2(x-3)(x+3)$

Przykład

Rozłóż wielomian $W(x) = 3x^2 +6x + 3$ na czynniki.

Podobnie jak w poprzednim przykładzie wyłączamy $3$ przed nawias:

$W(x) = 3(x^2 + 2x + 1)$

stosując wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy otrzymujemy:

$W(x) = 3(x+1)^2$

Przykład

Rozłóż wielomian $W(x) = x^3 +3x^2 + 3x+1$ na czynniki.

Stosując wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy otrzymujemy:

$W(x) = x^3 +3x^2 + 3x+1=(x+1)^3$

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias i grupowanie wyrazów

Rozkładając wielomiany na czynniki, często stosuje się wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias. Już po części ten sposób został przedstawiony w poprzednich przykładach. Teraz omówimy to trochę szerzej.

Przykład

$Q(x)=x^3+2x^2+x$

Czynnikiem, który występuje w każdym wyrazie wielomianu jest $x$ , zatem ten składnik możemy wyłączyć:

$Q(x)=x^3+2x^2+x=x(x^2+2x+1)$

Ponieważ $x^2+2x+1=(x+1)^2$ to:

$Q(x)=x(x+1)^2$

Przykład

$R(x)=x^2(x+1)+x(x+1)+2(x+1)$

Czynnikiem, który występuje w każdym wyrazie wielomianu jest $x+1$ , zatem ten składnik możemy wyłączyć i w ten sposób otrzymujemy postać iloczynową:

$R(x)=x^2(x+1)+x(x+1)+2(x+1)=(x+1)(x^2+x+2)$

Przykład

$R(x)=x^2(x+3)+x(x+3)+x+3$

Czynnikiem, który występuje w pierwszych dwóch wyrazach wielomianu jest $x+3$ . Ostatnie dwa wyrazy wielomianu to również $x+3$ , zatem jest to czynnik, który możemy wyłączyć:

$R(x)=x^2(x+3)+x(x+3)+(x+3)=(x+3)(x^2+x+1)$

Otrzymaliśmy postać iloczynową.

Przykład

$P(x)=x^3-5x^2+2x-10$

Aby rozłożyć powyższy wielomian na czynniki, trzeba zastosować dwie operacje: wyłączania czynnika przed nawias i grupowanie wyrazów. Z pierwszych dwóch wyrazów wielomianu wyłączamy $x^2$ , natomiast z dwóch ostatnich liczbę $2$ .

$P(x)=x^3-5x^2+2x-10=x^2(x-5)+2(x-5)$

Teraz przekształcony wielomian ma dwa wyrazy, z których każdy zawiera czynnik $x-5$ i ten czynnik wyłączamy przed nawias:

$P(x)=x^2(x-5)+2(x-5)=(x-5)(x^2+2)$

Zatem otrzymaliśmy rozkład wielomianu na czynniki.

Jeżeli wydaje Ci się, że niektóre z powyższych przykładów są trudne lub nie wiesz kiedy zastosować, który sposób rozkładu na czynniki, rozwiąż jeszcze kilka przykładów. Jak to mówią, "trening czyni mistrza".

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Ćwiczenia są dostępne dla zalogowanych uzytkowników posiadających konto premium

Zadanie 1

Zapisz wielomian $W(x)=x^3-4x^2+x-4$ w postaci iloczynowej $.$

Rozkład wielomianu na czynniki

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki