Postać iloczynowa wielomianu

Definicja: Postać iloczynowa wielomianu.

Jeżeli liczby x_1, x_2, ..., x_n \in \mathbb{R} są pierwiastkami wielomianu W(x) = a_n x^n + ... + a_1 x + a_0 stopnia n to postacią iloczynową wielomianu jest

W(x) = a_n(x-x_n) * ... * (x-x_2)(x-x_1)

gdzie,

a_n \in \mathbb{R}\backslash \{0\} - współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej wielomianu

a_0,...a_{n-1} \in \mathbb{R} - pozostałe współczynniki wielomianu.

 

Przykład 1

Wielomian W(x) = 3x^2 +3x - 18 ma pierwiastki 2 i -3. Znajdź postać iloczynową wielomianu.

 

Z danych zadania mamy pierwiastki wielomianu x_1 = 2, x_2 = -3 . Wyraz przy największej potędze to a_2 = 3  . Korzystając z definicji postaci iloczynowej wielomianu otrzymujemy:

W(x) = 3(x - 2)(x - (-3)) = 3(x-2)(x+3)

Poniżej zostały przedstawione metody za pomocą, których możemy wielomian rozłożyć na czynniki, czyli zapisać go w postaci iloczynowej.

Rozkład wielomianu na czynniki pierwsze przy pomocy wzorów skróconego mnożenia.

Wzory skróconego mnożenia możemy wykorzystać do rozkładu wielomianu na czynniki. Poniżej kilka przykładów.

 

Przykład 2

Rozłóż wielomian W(x) = -2x^2 + 18 na czynniki.

 

Aby rozwiązać ten przykład wyłączamy -2 przed nawias i otrzymujemy:

W(x) = -2(x^2 - 9)

stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów otrzymujemy:

W(x) = -2(x-3)(x+3)

Przykład 3

Rozłóż wielomian W(x) = 3x^2 +6x + 3 na czynniki.

Podobnie jak w poprzednim przykładzie wyłączamy 3 przed nawias:

W(x) = 3(x^2 + 2x + 1)

stosując wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy otrzymujemy:

W(x) = 3(x+1)^2

Przykład 4

Rozłóż wielomian W(x) = x^3 +3x^2 + 3x+1 na czynniki.

Stosując wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy otrzymujemy:

W(x) = x^3 +3x^2 + 3x+1=(x+1)^3


Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias i grupowanie wyrazów.

Rozkładając wielomiany na czynniki, często stosuje się wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias. Już po części ten sposób został przedstawiony w poprzednich przykładach. Teraz omówimy to trochę szerzej.

Przykład 5

Q(x)=x^3+2x^2+x

Czynnikiem, który występuje w każdym wyrazie wielomianu jest x, zatem ten składnik możemy wyłączyć:

Q(x)=x^3+2x^2+x=x(x^2+2x+1)

Ponieważ x^2+2x+1=(x+1)^2 to:

Q(x)=x(x+1)^2

Przykład 6

R(x)=x^2(x+1)+x(x+1)+2(x+1)

Czynnikiem, który występuje w każdym wyrazie wielomianu jest x+1, zatem ten składnik możemy wyłączyć i w ten sposób otrzymujemy postać iloczynową:

R(x)=x^2(x+1)+x(x+1)+2(x+1)=(x+1)(x^2+x+2)

Przykład 7

R(x)=x^2(x+3)+x(x+3)+x+3

Czynnikiem, który występuje w pierwszych dwóch wyrazach wielomianu jest x+3. Ostatnie dwa wyrazy wielomianu to również x+3, zatem jest to czynnik, który możemy wyłączyć:

R(x)=x^2(x+3)+x(x+3)+(x+3)=(x+3)(x^2+x+1)

Otrzymaliśmy postać iloczynową.

Przykład 8

P(x)=x^3-5x^2+2x-10

Aby rozłożyć powyższy wielomian na czynniki, trzeba zastosować dwie operacje: wyłączania czynnika przed nawias i grupowanie wyrazów. Z pierwszych dwóch wyrazów wielomianu wyłączamy x^2, natomiast z dwóch ostatnich liczbę 2.

P(x)=x^3-5x^2+2x-10=x^2(x-5)+2(x-5)

Teraz przekształcony wielomian ma dwa wyrazy, z których każdy zawiera czynnik x-5 i ten czynnik wyłączamy przed nawias:

P(x)=x^2(x-5)+2(x-5)=(x-5)(x^2+2)

Zatem otrzymaliśmy rozkład wielomianu na czynniki.

 

Jeżeli wydaje Ci się, że niektóre z powyższych przykładów są trudne lub nie wiesz kiedy zastosować, który sposób rozkładu na czynniki, rozwiąż jeszcze kilka przykładów. Jak to mówią, "trening czyni mistrza".

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem


Zadanie 1

Zapisz wielomian  W(x)=x^3-4x^2+x-4 w postaci iloczynowej.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Rozłóż wielomian P(x)=x^3+3x^2-4 na czynniki.

Wskazówka: 3x^2=2x^2+x^2.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Wyznacz dziedzinę następującego wyrażenia wymiernego:

\cfrac{x^2+6x+7}{x^3+6x^2+12x+8}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Wyznacz dziedzinę następującego wyrażenia wymiernego:

\cfrac{7x^2-5}{x^3-7x^2+3x-21}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Rozłóż wielomian W(x) = 9x^3 - 4x^2 - 27x+12  na czynniki.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Wyznacz pierwiastki wielomianu W(x) = x^3 + 3x^2 -4x -12

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Uprość wyrażenie: \cfrac{5x^3+10x^2-x-2}{x^2+5x+6}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Rozłóż na czynniki wielomian W(x) = 9x^3 - 4x^2 - 18x + 8

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Wykaż, że jeżeli m jest liczbą całkowitą, to suma współczynników wielomianu

W(x)=\left( \cfrac{4m^3}{m-\cfrac{1}{2}}x^4-2mx^3-2x^2-\cfrac{1}{2m-1}\right)^{12}

jest także liczbą całkowitą.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

Ile pierwiastków wielomianu W(x) = 3x^3-9x^2-6x+18 jest większych od 0?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

Ile pierwiastków równaniax^5 - 3x^4 - x + 3=0 należy do przedziału (0, +\infty)?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

Wskaż postać iloczynową wielomianu W(x)=x^4 + x^3 + 64x + 64.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

Iloraz największego i najmniejszego pierwiastka równania x^4 - 20x^2 + 64=0 wynosi: 

Wskazówka: zamień -20x^2 na -4x^2 - 16x^2

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

Pierwiastkiem wielomianu W(x)=x^3-3ax^2+26x-8a jest 3. Oznacza to,  że

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz