Ciągłość funkcji.


Spis treści

  1. Co to znaczy, że funkcja jest ciągła?
  2. Własności funkcji ciągłych.

Co to znaczy, że funkcja jest ciągła?

Niektórzy uważają, że funkcja ciągła to taka funkcja, którą można narysować bez odrywania ołówka od kartki. Jednak nie jest to do końca prawda, bo np. funkcja tangens nie daje się w ten sposób narysować a jednak jest funkcją ciągłą. O ciągłości funkcji mówimy, tylko w punktach w których ta funkcja jest określona, tzn. tylko dla argumentów które należą do dziedziny funkcji. Popatrz na poniższe  przykłady:

Przykład 1

a) funkcja ciągła

b) funkcja , także jest funkcją ciągłą. ( Uwaga! argument , nie należy do dziedziny funkcji, nie jest ona tam określona.) Nie ma tutaj znaczenia to, że wykres funkcji jest podzielony na dwie części, ponieważ obie części wykresu są oddzielone ze względu na argument , który nie należy do dziedziny funkcji. W pozostałych punktach, gdzie funkcja jest określona, zachowana jest ciągłość.

c) funkcja nieciągła

 

Narysowana funkcja nie jest ciągła dla argumentu . Zauważ, że ten punkt należy do dziedziny funkcji i funkcja ma w nim określoną wartość, ale ta wartość jest "oddzielona" od wartości funkcji określonych przed tym argumentem. Oznacza to, że jest ona nieciągła w tym punkcie.

Mamy dwie formalne definicje ciągłości: Heinego ( ciągowa) i Cauchy'ego:

Zakładamy, że jest zbiorem otwartym i jest dziedziną funkcji .

Definicja: Ciągłość funkcji w punkcie - definicja Heinego (ciągowa)

Funkcja jest ciągła w punkcie , jeżeli dla każdego ciągu takiego, że jego granicą jest , spełniony jest warunek:

.

Chodzi tu o to, że jak mamy dowolny ciąg, który wszystkie wyrazy ma w dziedzinie funkcji, i jego granicą jest punkt , w którym badamy tą ciągłość, to wartości funkcji muszą spełniać określony warunek, tzn. granica funkcji dla tego ciągu, musi być równa, wartości funkcji w punkcie .

Przykład 2

Mamy funkcję daną wzorem: .  Zbadaj korzystając z definicji Heinego, czy ta funkcja jest ciągła w punkcie .

Krok 1: (Określamy dziedzinę funkcji)

Najpierw musimy sprawdzić czy ten punkt w ogóle należy do dziedziny funkcji. Ponieważ mianownik nie może być równy zero, dlatego wyznaczając dziedzinę funkcji , sprawdzamy warunek:

zatem dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych:

.

Sprawdzamy ciągłość funkcji w punkcie :

Krok 2: ( Wybieramy ciąg )

Niech będzie dowolnym ciągiem, takim, że:

1)

2) .

Krok 3: (Sprawdzamy warunek ciągłości)

Sprawdzamy czy spełniony jest warunek ciągłości, czyli  czy . Zatem badamy granicę  oraz sprawdzamy jaka jest wartość funkcji w punkcie :

a) granica

Gdy zbiega do zera, to licznik zmierza do , natomiast mianownik do . W granicy otrzymujemy .

b) wartość funkcji w punkcie

Czy spełniona jest równość? Tak, zatem funkcja jest ciągła w punkcie .

 

Definicja: Ciągłość funkcji w punkcie - definicja Cauchy'ego

Funkcja jest ciągła w punkcie , jeżeli dla każdego istnieje taka, że dla każego prawdziwa jest implikacja:

 

Definicja: Ciągłość funkcji w zbiorze

Funkcja jest ciągła w zbiorze otwartym , jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.

Powyżej rozważaliśmy przypadki, gdy zbiór był zbiorem otwartym, a co się dzieje gdy zbiór jest domknięty? Wówczas definiujemy na krańcach tego zbioru ciągłość jednostronną ( prawo lub lewostronną).

Definicja: Ciągłość funkcji w zbiorze domkniętym

Funkcja jest ciągła w jeżeli:

a) jest ciągła w

b) jest ciągła prawostronnie w punkcie , czyli


c) jest ciągła lewostronnie w punkcie , czyli

  • Oceń czy funkcje dane poniższymi wzorami są ciągłe.
    Approved-icon Alert-icon

Własności funkcji ciągłych.

Poniżej przedstawiłem podstawowe własności jakie posiada funkcja ciągła.

  • Suma, różnica, iloczyn, iloraz funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.
  • Złożenie ( superpozycja) funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.
  • Funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest ograniczona i osiąga swoje kresy.

 

  • Funkcje

              a)  trygonometryczne

              b)  cyklometryczne

i funkcja

              c)  wielomianowa

              d)  potęgowa

              e)  logarytmiczna

              f)  wymierna

są ciągłe w swoich dziedzinach.

 

 




Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Przydatne

Inne osoby czytały także

  1. Definicja i własności funkcji.
  2. Funkcje wymierne
  3. Granice funkcji.
  4. Własności funkcji c.d.

Zobacz zadania z działu funkcje jednej zmiennej rzeczywistej(12)


Komentarze (
2
):