Ciągłość funkcji.

Co to znaczy, że funkcja jest ciągła?

Niektórzy uważają, że funkcja ciągła to taka funkcja, którą można narysować bez odrywania ołówka od kartki. Jednak nie jest to do końca prawda, bo np. funkcja tangens nie daje się w ten sposób narysować a jednak jest funkcją ciągłą. O ciągłości funkcji mówimy, tylko w punktach w których ta funkcja jest określona, tzn. tylko dla argumentów które należą do dziedziny funkcji. Popatrz na poniższe przykłady:

Przykład 1

a) funkcja ciągła

b) funkcja $f(x)=\cfrac{1}{x}$ , także jest funkcją ciągłą. ( Uwaga! argument $x=0$ , nie należy do dziedziny funkcji, nie jest ona tam określona.) Nie ma tutaj znaczenia to, że wykres funkcji jest podzielony na dwie części, ponieważ obie części wykresu są oddzielone ze względu na argument $x=0$ , który nie należy do dziedziny funkcji. W pozostałych punktach, gdzie funkcja jest określona, zachowana jest ciągłość.

c) funkcja nieciągła

Narysowana funkcja nie jest ciągła dla argumentu $x=0$ . Zauważ, że ten punkt należy do dziedziny funkcji i funkcja ma w nim określoną wartość, ale ta wartość jest "oddzielona" od wartości funkcji określonych przed tym argumentem. Oznacza to, że jest ona nieciągła w tym punkcie.

Mamy dwie formalne definicje ciągłości: Heinego ( ciągowa) i Cauchy'ego:

Zakładamy, że $D$ jest zbiorem otwartym i jest dziedziną funkcji $f$ .

Definicja: Ciągłość funkcji w punkcie - definicja Heinego (ciągowa)

Funkcja $f : \mathbb{R} \supset D \rightarrow \mathbb{R}$ jest ciągła w punkcie $x_0 \in D$ , jeżeli dla każdego ciągu $\{x_n\} \subset D$ takiego, że jego granicą jest $x_0$ , spełniony jest warunek:

$\lim_{x_n \rightarrow x_0} f(x_n)=f(x_0)$ .

Chodzi tu o to, że jak mamy dowolny ciąg, który wszystkie wyrazy ma w dziedzinie funkcji, i jego granicą jest punkt $x_0$ , w którym badamy tą ciągłość, to wartości funkcji muszą spełniać określony warunek, tzn. granica funkcji dla tego ciągu, musi być równa, wartości funkcji w punkcie $x_0$ .

Przykład 2

Mamy funkcję daną wzorem: $f(x)=\cfrac{x+5}{x^2+2x+4}$ . Zbadaj korzystając z definicji Heinego, czy ta funkcja jest ciągła w punkcie $x_0=0$ .

Krok 1: (Określamy dziedzinę funkcji)

Najpierw musimy sprawdzić czy ten punkt w ogóle należy do dziedziny funkcji. Ponieważ mianownik nie może być równy zero, dlatego wyznaczając dziedzinę funkcji $f$ , sprawdzamy warunek:

$x^2+2x+4 \neq 0$

$\Delta=2^2-4* 1* 4=-12<0$

zatem dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych:

$D_f=\mathbb{R}$ .

Sprawdzamy ciągłość funkcji w punkcie $x_0=0$ :

Krok 2: ( Wybieramy ciąg $x_n$ )

Niech $\{x_n\}$ będzie dowolnym ciągiem, takim, że:

1) $\{x_n\}\subset \mathbb{R}$

2) $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n=0$ .

Krok 3: (Sprawdzamy warunek ciągłości)

Sprawdzamy czy spełniony jest warunek ciągłości, czyli czy $\lim_{x_n \rightarrow 0} f(x_n)=f(0)$ . Zatem badamy granicę oraz sprawdzamy jaka jest wartość funkcji w punkcie $x_0=0$ :

a) granica

$\lim_{x_n \rightarrow 0} f(x_n)=\lim_{x_n \rightarrow 0} \cfrac{x_n+5}{x_n^2+2x_n+4}=\cfrac{5}{4}$

Gdy $x_n$ zbiega do zera, to licznik zmierza do $0+5=5$ , natomiast mianownik do $0^2+2* 0+4=4$ . W granicy otrzymujemy $\cfrac{5}{4}$ .

b) wartość funkcji w punkcie $x_0=0$

$f(0)=\cfrac{0+5}{0^2+2* 0+4}= \cfrac{5}{4}$

Czy spełniona jest równość? Tak, zatem funkcja jest ciągła w punkcie $x_0=0$ .

Definicja: Ciągłość funkcji w punkcie - definicja Cauchy'ego

Funkcja $f : \mathbb{R} \supset D \rightarrow \mathbb{R}$ jest ciągła w punkcie $x_0 \in D$ , jeżeli dla każdego $\varepsilon >0$ istnieje $\delta >0$ taka, że dla każego $x \in D$ prawdziwa jest implikacja:

$|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon$

Definicja: Ciągłość funkcji w zbiorze

Funkcja $f : \mathbb{R} \supset D \rightarrow \mathbb{R}$ jest ciągła w zbiorze otwartym $A \subset D$ , jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.

Powyżej rozważaliśmy przypadki, gdy zbiór $D$ był zbiorem otwartym, a co się dzieje gdy zbiór jest domknięty? Wówczas definiujemy na krańcach tego zbioru ciągłość jednostronną ( prawo lub lewostronną).

Definicja: Ciągłość funkcji w zbiorze domkniętym

Funkcja $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ jest ciągła w $[a,b]$ jeżeli:

a) jest ciągła w $(a,b)$

b) jest ciągła prawostronnie w punkcie $a$ , czyli

$\lim_{x\rightarrow a^+} f(x)=f(a)$

c) jest ciągła lewostronnie w punkcie $b$ , czyli

$\lim_{x\rightarrow b^-} f(x)=f(b)$

Oceń czy funkcje dane poniższymi wzorami są ciągłe.

Ćwiczenia są dostępne dla zalogowanych uzytkowników posiadających konto premium

Własności funkcji ciągłych.

Poniżej przedstawiłem podstawowe własności jakie posiada funkcja ciągła.

Suma, różnica, iloczyn, iloraz funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.
Złożenie ( superpozycja) funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.
Funkcja $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ ciągła w przedziale domkniętym jest ograniczona i osiąga swoje kresy.

Funkcje

a) trygonometryczne

b) cyklometryczne

i funkcja

c) wielomianowa

d) potęgowa

e) logarytmiczna

f) wymierna

są ciągłe w swoich dziedzinach.

Przeczytaj także:

4 komentarze

snd0cff 16.12.2011 19:12

taka poprawka, pisze się "w ogóle", nie wogóle
lukasz 16.12.2011 21:02

Dzięki za zwrócenie uwagi :) Już poprawione.
Tissol 19.10.2017 07:57

Przykład 1C - gdyby obie części wykresu odpowiednio kończyły się i zaczynały od "pustej" kropki to ta funkcja tez byłaby nieciągła?
nicrovishion 30.11.2017 18:29

@Tissor, wtedy punkt ten nie należałby do dziedziny. W takiej sytuacji nie możemy określać czy funkcja jest w tym punkcie ciągła czy nie - ciągłość funkcji możemy badać tylko w punktach należących do jej dziedziny.