Własności funkcji c.d.

Monotoniczność funkcji.

Co to jest monotoniczność? Mówimy że funkcja jest monotoniczna w pewnym przedziale, jeżeli jest w tym przedziale rosnąca, malejąca, nierosnąca lub niemalejąca. No dobrze, a co to znaczy że funkcja rośnie czy maleje?

Definicja: Funkcja rosnąca

Jeżeli dla każdej pary argumentów $x_1,x_2 \in X$ prawdziwa jest implikacja:

$x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$

to funkcję nazywamy rosnącą.

Mówmy, że funkcja rośnie w zbiorze (przedziale), jeżeli wraz ze wzrostem argumentów z tego zbioru (przedziału), wartości funkcji także rosną.

Najłatwiej zobaczyć funkcję rosnącą na wykresie:

(Najprościej tłumacząc, wykres funkcji "idzie do góry".)

Definicja: Funkcja niemalejąca

Jeżeli dla każdej pary argumentów $x_1,x_2 \in X$ prawdziwa jest implikacja:

$x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)\leq f(x_2)$

to funkcję nazywamy niemalejącą.

Funkcja niemalejąca, to taka jak sama nazwa wskazuje, której wartości nie maleją. Tzn. mogą rosnąć lub być w pewnym przedziale stałe.

Nierówność między wartościami funkcji jest słaba. Zobacz na poniższym wykresie przykład funkcji niemalejącej:

Definicja: Funkcja malejąca

Jeżeli dla każdej pary argumentów $x_1,x_2 \in X$ prawdziwa jest implikacja:

$x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$

to funkcję nazywamy malejącą.

Mówimy, że funkcja maleje w zbiorze ( przedziale), jeżeli wraz ze wzrostem argumentów, wartości funkcji maleją

Definicja: Funkcja nierosnąca

Jeżeli dla każdej pary argumentów $x_1,x_2 \in X$ prawdziwa jest implikacja:

$x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)\geq f(x_2)$

to funkcję nazywamy nierosnącą.

Funkcja nierosnąca, to taka (jak sama nazwa wskazuje), której wartości nie rosną. Tzn. mogą maleć lub być w pewnym przedziale stałe.

Nierówność między wartościami funkcji jest słaba. Zobacz na poniższym wykresie przykład funkcji nierosnącej:

Na wykresie łatwo zobaczyć czy funkcja rośnie czy maleje, ale jak to ocenić mając tylko wzór funkcji? Na przykład takiej:

$f(x)=\cfrac{x}{x^2-2x+1}$

w przedziale $(1,+\infty)$ .

Ogólna zasada przy rozwiązywaniu tego typu zadań jest taka. Wybieramy dowolne $x_1,x_2 \in (1,+\infty)$ (wybieramy argumenty z tego przedziału, bo w tym przedziale mamy sprawdzić monotoniczność), takie że $x_1<x_2$ .

Sprawdzamy jaki znak ma różnica $f(x_2)-f(x_1)$ .

Jeżeli $f(x_2)-f(x_1)<0$ , to zgodnie z definicją funkcja jest malejąca.

Jeżeli $f(x_2)-f(x_1)>0$ , to zgodnie z definicją funkcja jest rosnąca.

No to zaczynamy:

$f(x_1)=\cfrac{x_1}{x_1^2-2x_1+1}=\cfrac{x_1}{(x_1-1)^2}$

$f(x_2)=\cfrac{x_2}{(x_2-1)^2}$

Badamy znak różnicy. Czyli:

$f(x_2)-f(x_1)=\cfrac{x_2}{(x_2-1)^2}-\cfrac{x_1}{(x_1-1)^2}=\cfrac{x_2(x_1-1)^2-x_1(x_2-1)^2}{(x_1-1)^2(x_2-1)^2}=$

$=\cfrac{x_2(x_1^2-2x_1+1)-x_1(x_2^2-2x_2+1)}{(x_1-1)^2(x_2-1)^2}=$

$=\cfrac{x_1^2x_2-2x_1x_2+x_2-x_1x_2^2+2x_1x_2-x_1}{(x_1-1)^2(x_2-1)^2}=$

$=\cfrac{x_1^2x_2+x_2-x_1x_2^2-x_1}{(x_1-1)^2(x_2-1)^2}=\cfrac{x_1(x_1x_2-1) -x_2(x_1x_2-1)}{(x_1-1)^2(x_2-1)^2}=$

$=\cfrac{(x_1 -x_2)(x_1x_2-1)}{(x_1-1)^2(x_2-1)^2}$

Ponieważ na początku założyliśmy, że:

$x_1<x_2$ to wynika z tego, że $x_1-x_2<0$

Założyliśmy też, że $x_1,x_2 \in ( 1,+\infty)$ , czyli $x_1>1$ i $x_2>1$ , zatem:

$x_1x_2>1$ ,

$x_1x_2-1>0$ .

Teraz już możemy ocenić znak różnicy:

Cały mianownik jest dodatni ( występują tam czynniki w kwadracie), w liczniku $(x_1-x_2)<0$ i $(x_1x_2-1)>0$ , zatem:

$f(x_2)-f(x_1)=\cfrac{(x_1 -x_2)(x_1x_2-1)}{(x_1-1)^2(x_2-1)^2}<0$

Okresowość i ograniczenie funkcji.

Definicja: Funkcja okresowa

Mamy daną funkcję $y=f(x)$ . $D_f$ jest dziedziną funkcji $f$ .

Tą funkcję nazywamy okresową, jeżeli istnieje taka liczba $t\neq 0$ , że dla każdego $x \in D_f$ , spełnione są warunki:

$(x+t) \in D_f$ ,
$(x-t) \in D_f$ ,
$f(x)=f(x-t)=f(x+t)$ .

$t$ jest okresem funkcji $f$ . Okresem podstawowym funkcji $f$ ( jeżeli istnieje) nazywa się najmniejszy dodatni dodatni okres tej funkcji.

Najprościej mówiąc, funkcja okresowa, to taka, dla której w równych odstępach wartości funkcji się powtarzają. Spójrz poniżej:

Okres powyższej funkcji wynosi $2$ . Każda wartość funkcji powtarza się co $2$ , tzn. $f(x)=f(x+2)$ .

Inne przykłady funkcji okresowych to np.

$y=\sin x$

$y=\cos x$

Okres funkcji sinus i kosinus wynosi $2\pi$ , tzn. każda wartość funkcji powtarza się co $2\pi$ , $\sin x=\sin(x+2\pi)$ oraz $\cos x =\cos (x+2\pi)$ .

$y=\tan x$

$y=\cot x$

Funkcjami okresowymi są także tangens i kotangens. Ich okresy podstawowe wynoszą $\pi$ .

Definicja: Funkcja ograniczona

Funkcję $f$ nazywamy funkcją ograniczoną, jeżeli istnieje taka liczba $M\geq 0$ , że dla każdego $x\in D_f$ , spełniona jest nierówność:

$|f(x)|\leq M$

Czyli ograniczony jest zbiór wartości funkcji. Przykładem funkcji ograniczonej jest sinus. Wszystkie wartości tej funkcji znajdują się w przedziale $[-1,1]$ .

Parzystość funkcji.

Teraz omówimy kolejne własności funkcji jakimi są parzystość i nieparzystość funkcji. Parzystość i nieparzystość funkcji to nie są własności przeciwstawne. Tzn. są funkcje, które nie są ani parzyste ani nieparzyste. Nie możemy powiedzieć, że jeżeli funkcja nie jest parzysta to jest nieparzysta. Oczywiście może się tak zdarzyć, ale tylko w niektórych przypadkach, nie można tego uogólniać. Zatem funkcje możemy podzielić na trzy grupy:

No to teraz możemy przejść do omówienia co oznacza każde z pojęć: parzystość i nieparzystość.

Definicja: Funkcja parzysta

Funkcję $y=f(x)$ nazywamy funkcją parzystą, jeżeli dla każdego $x \in D_{f}$ spełniony jest warunek:

$f(x)=f(-x)$ .

UWAGA!

Aby sprawdzić czy dana funkcja jest parzysta, jeżeli mamy dany jej wzór $y=f(x)$ , to:

obliczamy wartość $f(-x)$
Sprawdzamy, czy $f(-x)=f(x)$
Jeżeli tak, to funkcja jest parzysta.

Własności funkcji parzystych:

funkcje parzyste nie są różnowartościowe
złożenie ( superpozycja) funkcji parzystych jest funkcją parzystą
wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi $OY$ .

Popatrz poniżej na przykłady:

Przykład 1

a) Funkcją parzystą jest $f(x)=|x|$ , bo

$f(x)=|x|$

$f(-x)=|-x|=|x|$

czyli

$f(x)=f(-x)$

Spójrz na jej wykres:

b) Funkcją parzystą jest $y=x^2$ .

$f(x)=x^2$

$f(-x)=(-x)^2=x^2$

Zatem

$f(x)=f(-x)$ .

Oceń czy podane niżej funkcje są parzyste:

Ćwiczenia są dostępne dla zalogowanych uzytkowników posiadających konto premium

Nieparzystość funkcji.

Definicja: Funkcja nieparzysta

Funkcję $y=f(x)$ nazywamy funkcją nieparzystą, jeżeli dla każdego $x\in D_f$ spełniony jest warunek:

$-f(x)=f(-x)$ .

UWAGA!

Aby sprawdzić czy dana funkcja jest nieparzysta postępujemy następująco:

obliczamy wartość $-f(x)$ ,
obliczamy wartość $f(-x)$ ,
sprawdzamy czy zachodzi równość $-f(x)=f(-x)$ ,
jeżeli równość jest spełniona to funkcja jest nieparzysta.

Własności funkcji nieparzystych:

złożenie ( superpozycja) funkcji nieparzystych jest funkcją nieparzystą,
wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.

Przykład 2

a) Funkcją nieparzystą jest $y=x^3$ , bo:

$-f(x)=-x^3$

$f(-x)=(-x)^3=-x^3$

Czyli:

$-f(x)=f(-x)$

Spójrz na wykres:

b) Funkcją nieparzystą jest także $y=\cfrac{1}{x}$ , bo:

$-f(x)=-\cfrac{1}{x}$

$f(-x)=\cfrac{1}{-x}=-\cfrac{1}{x}$

czyli

$-f(x)=f(-x)$

Spójrz na wykres:

Oceń czy poniższe funkcje są nieparzyste:

Ćwiczenia są dostępne dla zalogowanych uzytkowników posiadających konto premium

Wklęsłość i wypukłość funkcji.

Poniżej na rysunku jest narysowany łuk. Jest on wypukły czy wklęsły?

Najbardziej odpowiednie jest tu stwierdzenie: "Punkt widzenia zależy od punktu siedzenia." Z jednej strony jest on wypukły a z drugiej wklęsły.

Jeżeli mówimy o wypukłości albo wklęsłości funkcji, "patrzymy na tą funkcję od dołu". Zobacz poniżej:

Funkcja wypukła

Funkcja wklęsła

Mam nadzieję, że chociaż wizualnie rozumiesz na czym polega wypukłość i wklęsłość. Jeżeli nie, to jeszcze jedno proste porównanie, funkcja jest wypukła jeżeli jej wykres to uśmiechnięta buźka :), natomiast jest wklęsła jeżeli jej wykres to smutna minka :(. Poniżej definicje formalne:

Definicja: Funkcja wypukła

Funkcja $f$ jest wypukła w przedziale $(a,b)$ (zawartym w dziedzinie tej funkcji), jeżeli dla różnych $x_1,x_2 \in (a,b)$ łuk wykresu funkcji łączący punkty $P=(x_1,f(x_1))$ i $Q=(x_2,f(x_2))$ leży pod sieczną przechodzącą przez te punkty.

Jest to równoważne temu, że spełniona jest nierówność:

$\forall x_1,x_2 \in (a,b)$ , $x_1 \neq x_2$ i $\forall t \in [0,1]$

$f(tx_1 +(1-t) x_2) \leq t f( x_1) +(1-t) f( x_2)$

Definicja: Funkcja wklęsła

Funkcja $f$ jest wypukła w przedziale $(a,b)$ ( zawartym w dziedzinie tej funkcji), jeżeli dla różnych $x_1,x_2 \in (a,b)$ łuk wykresu funkcji łączący punkty $P=(x_1,f(x_1))$ i $Q=(x_2,f(x_2))$ leży nad sieczną przechodzącą przez te punkty.