Definicja i własności funkcji.

Definicja funkcji i jej własności.

Pierwsze i najważniejsze tutaj pojęcie to funkcja. Co to w ogóle jest?

Definicja: Funkcja

Dane są dwa zbiory $X$ i $Y$ . Funkcją nazywamy takie odwzorowanie, w którym każdemu elementowi zbioru $X$ , został przyporządkowany dokładnie jeden element zbioru $Y$ .

Spójrz poniżej:

To jest funkcja:

Najważniejsza tutaj rzecz to taka, że każdy element zbioru $X$ ma przyporządkowany dokładnie jeden element zbioru $Y$ .

Ale jeżeli weźmiemy pod uwagę różne elementy zbioru $X$ np. $g$ i $h$ , to mogą one mieć przyporządkowany ten sam element zbioru $Y$ , w tym wypadku $5$ .

To przyporządkowanie nie jest funkcją:

Dziedzina, zbiór wartości funkcji, sposoby określania funkcji zostały omówione tutaj.

Własności funkcji:

Definicja: Równość funkcji

Dwie funkcje są równe, jeżeli mają takie same dziedziny, oraz dla każdego argumentu z dziedziny przyjmują dokładnie taką samą wartość.

Oceń, czy funkcje są różnowartościowe:

Ćwiczenia są dostępne dla zalogowanych uzytkowników posiadających konto premium

Injekcja - funkcja różnowartościowa.

Tak jak sama nazwa wskazuje, funkcja różnowartościowa to taka, która dla różnych argumentów przyjmuje różne wartości. Formalnie zapisujemy to tak:

Definicja: Funkcja różnowartościowa - injekcja

Funkcja $f:X\rightarrow Y$ jest różnowartościowa jeżeli dla wszystkich $x_1,x_2 \in X$ prawdziwa jest implikacja:

$x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)$

Przykład 1

Funkcje różnowartościowe:

1) $f(x)=3x+5$

2) $f(x)=e^x$

3) $f(x)=\log_{2}x$

Funkcje, które nie są różnowartościowe:

1) $f(x)=x^2$

Ta funkcja np. dla $x=2$ i $x=-2$ , przyjmuje tą samą wartość $4$ . Zatem nie jest to funkcja różnowartościowa.

2) $f(x)=\sin x$

Funkcja sinus także nie jest funkcją różnowartościową. Wartości ten funkcji powtarzają się dla argumentów oddalonych od siebie o $2 \pi$ , np. dla $x=0$ oraz $x=2\pi$ , funkcja sinus przyjmuje tą samą wartość $0$ .

3) $f(x)=|x|$

Weźmy pod uwagę np. $x=5$ oraz $x=-5$ , wartość funkcji dla obu tych argumentów wynosi $5$ .

Sprawdzanie czy funkcja jest różnowartościowa:

Kiedy chcemy sprawdzić czy dana funkcja jest różnowartościowa, to możemy to zrobić na wiele sposobów. Chciałam tu zwrócić uwagę jednak na te najważniejsze:

Sposób I: z definicji

Zakładamy, że dla $x_1,x_2 \in X$ spełniony jest warunek $x_1 \neq x_2$ .

Pokazujemy, że przy tych założeniach $f(x_1)\neq f(x_2)$ .

Wówczas funkcja jest różnowartościowa.

Przykład 2

Wykaż z definicji, że funkcja dana wzorem $f(x)=3x+5$ jest różnowartościowa.

Zakładamy, że dla $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$ spełniony jest warunek $x_1\neq x_2$ .

Należy pokazać, że $f(x_1)\neq f(x_2)$ . Czyli, że $3x_1+5 \neq 3x_2+5$ .

Rozwiązanie:

Korzystamy z tego co mamy dane w założeniu. Wiemy, że:

$x_1 \neq x_2$

Zatem prawdą jest również, że:

$3x_1 \neq 3x_2$

oraz jeżeli dodamy obustronnie $5$ :

$3x_1+5 \neq 3x_2+5$

Czyli otrzymaliśmy, tezę:

$f(x_1) \neq f(x_2)$

Sposób II: dowód nie wprost

Zakładamy, że dla dowolnych $x_1,x_2 \in X$ spełniony jest warunek $f(x_1) = f(x_2)$ .

Pokazujemy, że przy tych założeniach $x_1=x_2$ .

Wówczas funkcja jest różnowartościowa.

Przykład 3

Wykaż "nie wprost", że funkcja dana wzorem $f(x)=\cfrac{x}{x+2}$ jest różnowartościowa.

Zakładamy, że dla dowolnych $x_1,x_2 \in \mathbb{R}\backslash\{-2\}$ spełniony jest warunek $f(x_1) = f(x_2)$ .

Pokazujemy, że przy tych założeniach $x_1=x_2$ .

Rozwiązanie:

Korzystamy z założenia. Wiemy, że:

$f(x_1) = f(x_2)$

oraz

$f(x_1)=\cfrac{x_1}{x_1+2}$

$f(x_2)=\cfrac{x_2}{x_2+2}$

Czyli

$\cfrac{x_1}{x_1+2}=\cfrac{x_2}{x_2+2}$

$x_1(x_2+2)=x_2(x_1+2)$

$x_1x_2+2x_1=x_2x_1+2x_2$

$2x_1=2x_2$

$x_1=x_2$

Pokazaliśmy tezę. Zatem funkcja jest różnowartościowa.

Sposób III:

Jeżeli dana funkcja nie jest różnowartościowa, wystarczy wskazać dwa takie argumenty dla których przyjmuje tą samą wartość.

Przykład 4

Sprawdź czy funkcja $f(x)=3x^2+5$ jest różnowartościowa.

Rozwiązanie:

Wybierzmy dwa różne argumenty funkcji $f$ :

$x_1=-2$

$x_2=2$

$x_1\neq x_2$ .

Dla tych argumentów otrzymujemy, że:

$f(x_1)=f(-2)=3* (-2)^2+5=17$

$f(x_2)=f(2)=3* (2)^2+5=17$

Czyli dla dwóch różnych argumentów, funkcja przyjmuje te same wartości. Zatem nie jest różnowartościowa.

Surjekcja - funkcja "na".

Definicja: Surjekcja

Funkcję $f:X\rightarrow Y$ nazywamy funkcją "na" ( surjekcją), jeżeli dla każdego $y\in Y$ istnieje $x \in X$ , taki, że $y=f(x)$ .

Spójrz na poniższy rysunek:

To jest funkcja "na" (surjekcja). Każdy element zbioru $Y$ ma swój odpowiednik w zbiorze $X$ . $Y=\{2,5,6,9\}$ jest zbiorem wartości funkcji i jednocześnie przeciwdziedziną.

Ta funkcja nie jest surjekcją. Zauważ, że w zbiorze $Y$ znajduje się liczba $8$ . Nie jest ona wartością funkcji, dla żadnego argumentu ze zbioru $X$ ( ten $y=8$ nie ma odpowiadającego mu $x$ w zbiorze $X$ ). Zbiorem wartości funkcji $f$ jest zbiór $W_f=\{1,3,5,13\}$ , natomiast przeciwdziedziną jest cały zbiór $Y=\{1,3,5,8,13\}$ .

Czyli funkcja jest surjekcją ( funkcją "na") jeżeli zbiór wartości funkcji pokrywa się z przeciwdziedziną tej funkcji. Sprawdzanie czy dana funkcja jest surjekcją sprowadza się do sprawdzenia jej zbioru wartości. Jeżeli jest on taki sam jak przeciwdziedzina, to funkcja jest "na". Zatem, aby wogóle móc określać czy funkcja jest "na", konieczne jest najpierw podanie jej dziedziny i przeciwdziedziny ( czyli skąd dokąd prowadzi).

Funkcja dana tym samym wzorem w jednym przypadku może być surjekcją ( funkcją "na"), a w innym nie, to zależy od tego jak zdefiniujemy jej przeciwdziedzinę.

Przykład 5

Określ czy dane funkcje są surjekcjami (funkcjami "na"):

a) $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , $f(x)=x^2$

b) $f:\mathbb{R} \rightarrow [0,+\infty)$ , $f(x)=x^2$

W przypadku a) i b) mamy funkcję daną tym samym wzorem $f(x)=x^2$ . Dziedziną tej funkcji w obu przypadkach jest zbiór liczb rzeczywistych. Jaki jest zbiór wartości tej funkcji? Jest to przedział $[0,+\infty)$ . Zatem:

a) Runkcja nie jest funkcją "na", ponieważ zbiór wartości funkcji $[0,+\infty)$ nie pokrywa się z przeciwdziedziną $\mathbb{R}$ . Zbiór wartości jest zawarty w przeciwdziedzinie.

b) W tym wypadku zbiór wartości funkcji oraz przeciwdziedzina są sobie równe, czyli funkcja jest surjekcją.

Określ czy funkcja jest surjekcją:

Ćwiczenia są dostępne dla zalogowanych uzytkowników posiadających konto premium

Bijekcja

Definicja: Bijekcja

Bijekcją nazywamy funkcję, która jest jednocześnie funkcją różnowartościową (injekcją) i funkcją "na" (surjekcją).

Oceń czy funkcja jest bijekcją.

Ćwiczenia są dostępne dla zalogowanych uzytkowników posiadających konto premium

Funkcja odwrotna i funkcja odwracalna.

Dla funkcji, która jest bijekcją możemy wskazać funkcję odwrotną. Najpierw wyjaśnimy to pojęcie:

Definicja: Funkcja odwrotna

Daną mamy funkcję $f:X \rightarrow Y$ . Funkcja $f$ jest bijekcją ( jest funkcją różnowartościową oraz funkcją "na").

Funkcją odwrotną nazywamy funkcję $f^{-1}:Y \rightarrow X$ określoną następująco:

$f^{-1}(y)=x$

gdzie $x \in X$ jest taki, że $y=f(x)$ .

Przykład 6

Poniżej na pierwszym rysunku jest przedstawiona funkcja $f$ , a na kolejnym funkcja do niej odwrotna.

Własności funkcji odwrotnej:

funkcją odwrotną do $f^{-1}$ jest $f$
funkcja odwrotna jest bijekcją ( injekcją i surjekcją)
dla każdej funkcji będącej bijekcją istnieje dokładnie jedna funkcja odwrotna
Jeżeli funkcję $f$ i jej funkcję odwrotną przedstawimy na wykresie, to wykresy tych funkcji są symetryczne względem prostej $y=x$
Jeżeli złożymy ze sobą funkcję $f$ i funkcję do niej odwrotną $f^{-1}$ to otrzymamy identyczność.

$f \circ f^{-1}=id$

$\ f^{-1}\circ f=id$

Definicja: Funkcja odwracalna

Jeżeli funkcja $f$ ma funkcję odwrotną $f^{-1}$ , to nazywamy ją odwracalną.

UWAGA!

Często pojawiającym się zadaniem na studiach jest:

Sprawdź czy funkcja $f:X \rightarrow Y$ dana wzorem $f(x)=...$ jest bijekcją. Jeżeli tak to znajdź jej funkcję odwrotną. (Radzę dobrze przestudiować zadania tego typu przed kolokwium z tego materiału ). Poniżej przykład takiego zadania:

Przykład 7

Sprawdź czy funkcja $f: \mathbb{R}\backslash\{-\cfrac{5}{3}\} \rightarrow \mathbb{R}\backslash\{\cfrac{1}{3}\}$ dana wzorem

$f(x)=\cfrac{x}{3x+5}$

jest bijekcją. Jeżeli tak, to znajdź jej funkcję odwrotną.

różnowartościowość funkcji $f$ :

Injektywność funkcji sprawdzimy przez dowód "nie wprost". Zakładamy, że dla dowolnych $x_1,\ x_2\in \mathbb{R}\backslash\{-\cfrac{5}{3}\}$ prawdziwa jest równość $f(x_1)=f(x_2)$ . Pokażemy, że $x_1=x_2$ .

$f(x_1)=\cfrac{x_1}{3x_1+5}$

$f(x_2)=\cfrac{x_2}{3x_2+5}$

Te wartości są równe zatem:

$\cfrac{x_1}{3x_1+5}=\cfrac{x_2}{3x_2+5}$

$x_1(3x_2+5)=x_2(3x_1+5)$

$3x_1x_2+5x_1=3x_1x_2+5x_2$

$5x_1=5x_2$

$x_1=x_2$

Zatem funkcja jest różnowartościowa.

surjektywność

Sprawdzimy, czy dla każdego $y \in \mathbb{R}\backslash\{\cfrac{1}{3}\}$ , istnieje $x \in \mathbb{R}\backslash\{-\cfrac{5}{3}\}$ taki, że $y=f(x)$ .

Wybierzmy zatem dowolny $y\in \mathbb{R}\backslash\{\cfrac{1}{3}\}$ . Szukamy takiego $x$ należącego do dziedziny, aby $y=f(x)$ .

$y=\cfrac{x}{3x+5}$

Cała zabawa polega teraz na tym, żeby tak przekształcić to równanie powyżej, żeby wyznaczyć z niego $x$ . Czyli znaleźć równanie $x=f(y)$ . Po prawej stronie ma nam pozostać tylko funkcja zależna od $y$ . Czy da się to w ten sposób przekształcić? Spróbujmy!

$y=\cfrac{x}{3x+5}$

$y(3x+5)=x$

$3xy+5y=x$

$3xy-x=-5y$

$x(3y-1)=-5y$

No i teraz pojawia się pytanie, czy możemy podzielić równanie przez $3y-1$ ? Możemy, o ile $3y-1 \neq 0$ , a czy tak faktycznie jest?

$3y-1 \neq 0$

$3y \neq 1$

$y\neq \cfrac{1}{3}$

Czyli, możemy podzielić tą nierówność przez $3y-1$ , jeżeli $y \neq \cfrac{1}{3}$ , a tak faktycznie jest bo na samym początku ustatliliśmy, że wybieramy $y$ należące do zbioru $\mathbb{R}\backslash\{\cfrac{1}{3}\}$ .

Wracamy do równania:

$x(3y-1)=-5y$

Dzielimy obustronnie przez $3y-1$ :

$x=\cfrac{-5y}{3y-1}=\cfrac{5y}{1-3y}$ .

Udało się wyznaczyć $x$ , dla wybranego $y$ , zatem funkcja jest surjekcją.

funkcja odwrotna

Ponieważ funkcja jest injekcją i surjekcją to jest bijekcją, czyli istnieje funkcja odwrotna. Zauważ, że wykonując powyższe przekształcenia, wyznaczyliśmy funkcję odwrotną.

$f^{-1}: \mathbb{R}\backslash\{\cfrac{1}{3}\} \rightarrow \mathbb{R}\backslash\{-\cfrac{5}{3}\}$

$f^{-1}(y)=\cfrac{5y}{1-3y}$ .

Superpozycja funkcji (złożenie).

Popatrz na poniższy rysunek:

Mamy tutaj trzy zbiory $X,\ Y,\ Z$ , oraz dwie funkcje:

$f:X\rightarrow Y$

$g:Y \rightarrow Z$ .

Droga od zbioru $X$ do zbioru $Z$ jest daleka, przez funkcję $f$ ,a później jeszcze przez funkcję $g$ . I właśnie w takich sytuacjach, kiedy chcemy bezpośrednio przejść ze zbioru $X$ do zbioru $Z$ , tworzymy superpozycję funkcji (złożenie funkcji), tzn. nową funkcję $h$ dzięki, której bezpośrednie przejście ze zbioru $X$ w zbiór $Z$ będzie możliwe.