Funkcja wymierna

Definicja: Funkcja wymierna

Funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci 

f(x)=\cfrac{W_n(x)}{W_m(x)},

gdzie

W_n(x)- jest wielomianem stopnia n (n \in \mathbb{N}),

W_m(x)- jest wielomianem stopnia m (m \in \mathbb{N},\ W_m(x)\neq 0).

Zatem funkcją wymierną jest każda funkcja, której licznikiem i mianownikiem jest pewien wielomian. Funkcje wymierne dzielimy na funkcje wymierne właściwe i niewłaściwe (podobnie jak ułamki). Jeżeli stopień wielomianu w liczniku jest większy bądź równy niż stopień wielomianu w mianowniku, to mówimy o funkcji wymiernej niewłaściwej. Jeżeli natomiast stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy niż stopień wielomianu w mianowniku, to mówimy o funkcji wymiernej właściwej.

 

Twierdzenie: O funkcji wymiernej niewłaściwej

Każda funkcja wymierna niewłaściwa, jest sumą pewnego niezerowego wielomianu oraz funkcji wymiernej właściwej.

 

Przykład:

f(x)=\cfrac{x+1}{x^2+4x+4}

Jest to przykład funkcji wymiernej właściwej. Stopień wielomianu w liczniku wynosi 1 i jest niższy od stopnia wielomianu w mianowniku, który wynosi 2.

 

Przykład:

g(x)=\cfrac{x^3+x+1}{x^2}

Jest to przykład funkcji wymiernej niewłaściwej. Stopień wielomianu w liczniku wynosi 3 i jest wyższy od stopnia wielomianu w mianowniku, który wynosi 2. Zgodnie z powyższym twierdzeniem, funkcję g możemy przedstawić jako sumę pewnego wielomianu i funkcji wymiernej właściwej.

g(x)=\cfrac{x^3+x+1}{x^2}=\cfrac{x^2 * x+x+1}{x^2}=\cfrac{x^2 * x}{x^2}+\cfrac{x+1}{x^2}=x+\cfrac{x+1}{x^2}

 

UWAGA!

Najprostszym sposobem sprowadzenia funkcji wymiernej niewłaściwej, do sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej, jest podzielenie wielomianu będącego w liczniku przez wielomian będący w mianowniku. Spójrz poniżej. 

 

h(x)=\cfrac{x^6+2 x^4+x^2+3}{x^2+1}

x^4+x^2 \\ \overline{(x^6+2x^4+x^2+3)}:(x^2+1) \\-(x^6+x^4)\\ \overline{\qquad x^4+x^2}\\ \qquad{-(x^4 +x^2)}\\ \qquad \qquad \overline{{=}\ \ + 3\ \ \ \ \ \ \ \ }

Po wykonaniu dzielenia wielomianów, otrzymujemy, że:

h(x)=\cfrac{x^6+2 x^4+x^2+3}{x^2+1}=x^4+x^2+\cfrac{3}{x^2+1}

 

Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste

 

Definicja: Ułamek prosty

Ułamkiem prostym nazywamy funkcję wymierną jednej z postaci:

  1. \cfrac{A}{(ax+b)^n}
  2. \cfrac{Bx+C}{(ax^2+bx+c)^n}

gdzie

ax^2+bx+c - wielomian jest nierozkładalny, czyli wyróżnik \Delta=b^2-4ac<0 i a\neq 0,

n \geq 0,

A,B,C,a,b,c \in \mathbb{R}.

Każda funkcja wymierna właściwa jest sumą ułamków prostych, stąd podczas całkowania funkcji wymiernych, często korzysta się z włąśnie z takiego rozkładu.

 

Przykład:

Przedstaw funkcję wymierną f(x)=\cfrac{1}{(x-3)(x+4)} w postaci sumy ułamków prostych.

W mianowniku funkcji f mamy wielomian rozłożony na czynniki stopnia pierwszego. Te czynniki będą mianownikami ułamków prostych, na które rozłożymy funkcję f. Licznikami szukanych ułamków prostych będą nieznane liczby A i B.

\cfrac{1}{(x-3)(x+4)}=\cfrac{A}{x-3}+\cfrac{B}{x+4}

Aby wyznaczyć nieznane stałe A i B sprowadzamy wyrażenie po prawej stronie powyższego równania do wspólnego mianownika.

\cfrac{1}{(x-3)(x+4)}=\cfrac{A(x+4)+B(x-3)}{(x-3)(x+4)}

Wyrażenia po obu stronach mają w tym momencie ten sam mianownik. Skoro są równe, to ich liczniki także muszą być równe.

1=A(x+4)+B(x-3)

1=Ax+4A+Bx-3B

Porządkujemy wyrażenia wzlędem zmiennej x.

1=(A+B)x+4A-3B

Porównując obie strony równania otrzymujemy:

\left\{\begin{matrix}A+B=0&\\1=4A-3B&\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} A=-B&\\ 1=4A-3B& \end{matrix}\right.

1=4(-B)-3B

1=-4B-3B

1=-7B

B=-\frac{1}{7}

A=-B=\cfrac{1}{7}

\cfrac{1}{(x-3)(x+4)}=\cfrac{\frac{1}{7}}{x-3}+\cfrac{-\frac{1}{7}}{x+4}=\cfrac{1}{7(x-3)}-\cfrac{1}{7(x+4)}

 

Przykład:

Przedstaw funkcję wymierną g(x)=\cfrac{x-4}{(x-1)^3(x^2+2)} w postaci sumy ułamków prostych.

 

W mianowniku funkcji g znajduje się czynnik (x-1) w trzeciej potędze. Rozkładając funkcję g dodajemy trzy ułamki proste dla czynnika (x-1)^3 (tzn. \cfrac{A}{x-1}+\cfrac{B}{(x-1)^2}+\cfrac{C}{(x-1)^3}) oraz jeden ułamek prosty dla czynnika (x^2+2) (nie jest on podniesiony do żadnej potęgi).

\cfrac{x-4}{(x-1)^3(x^2+2)}=\cfrac{A}{x-1}+\cfrac{B}{(x-1)^2}+\cfrac{C}{(x-1)^3}+\cfrac{Dx+E}{x^2+2}

Następnie postępujemy jak we wcześniejszym przykładzie, tzn. ułamki proste po prawej stronie równania sprowadzamy do wspólnego mianownika.

\tiny \cfrac{x-4}{(x-1)^3(x^2+2)}=\cfrac{A(x-1)^2(x^2+2) +B(x-1)(x^2+2)+C(x^2+2)+(Dx+E)(x-1)^3}{(x^2+2)(x-1)^3}

Po uporządkowaniu wyrażenia w liczniku otrzymujemy:
\tiny \cfrac{x-4}{(x-1)^3(x^2+2)}=\cfrac{(A+D)x^4+(-2A+B-3D+E)x^3+(3A-B+C+3D-3E)x^2}{(x^2+2)(x-1)^3}

+\cfrac{ (- 4 A+ 2 B- D+3 E ) x + (2 A- 2 B+2C-E )}{(x^2+2)(x-1)^3}

Porównujemy współczynniki wielomianów w liczniku. Na tej podstawie otrzymujemy poniższe równania:

\left\{\begin{matrix}A+D=0\\-2A+B-3D+E=0\\3A-B+C+3D-3E=0\\-4A+2B-D+3E=1\\2A-2B+2C-E=4\end{matrix}\right.

Rozwiązujemy układ równań.

\left\{\begin{matrix} D=-A \\ - 2 A+B - 3 (-A)+ E=0\\3 A- B + C + 3 (-A)- 3  E=0\\- 4 A+ 2 B- (-A)+3 E=1\\2 A- 2 B+2 C- E=4\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} D=-A \\ - 2 A+B + 3 A+ E=0\\3 A- B + C -3A- 3  E=0\\- 4 A+ 2 B+A+3 E=1\\2 A- 2 B+2 C-  E=4\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} D=-A \\ A+B + E=0\\- B + C- 3   E=0\\- 3 A+ 2 B+3 E=1\\2 A- 2 B+2 C-  E=4\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} D=-A \\E=-A-B\\- B + C- 3 (-A-B)=0\\- 3 A+ 2 B+3 (-A-B)=1\\2 A- 2 B+2 C- (-A-B)=4\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} D=-A \\E=-A-B\\- B + C+3A+3B=0\\- 3 A+ 2 B-3A-3B=1\\2 A- 2 B+2 C+A+B=4\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} D=-A \\E=-A-B\\ 3A+2B+C=0\\ -6A-B=1\\3A-B+2 C =4\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} D=-A \\E=-A-B\\ C=-(3A+2B)\\ B=-6A-1\\3A-B+2 C =4\end{matrix}\right.

3A-B+2C=4

3A-(-6A-1)+2(-(3A+2(-6A-1)))=4

3A+6A+1-2(3A-12A-2)=4

9A+1-6A+24A+4=4

27A=-1

A=-\cfrac{1}{27}

B=-6A-1=-6* (-\cfrac{1}{27})-1=-\cfrac{7}{9}

C=-3A-2B=-3 * (-\cfrac{1}{27})-2 * (-\cfrac{7}{9})=\cfrac{5}{3}

D=-A=\cfrac{1}{27}

E=-A-B=-(-\cfrac{1}{27})-(-\cfrac{7}{9})=\cfrac{22}{27}

Obliczyliśmy nieznane współczynniki A,B,C,D,E ułamków prostych. Możemy zatem funkcję wymierną zapisać jako ich sumę.

\cfrac{x-4}{(x-1)^3(x^2+2)}=\cfrac{-\cfrac{1}{27}}{x-1}+\cfrac{-\cfrac{7}{9}}{(x-1)^2}+\cfrac{\cfrac{5}{3}}{(x-1)^3}+\cfrac{\cfrac{1}{27}x+\cfrac{22}{27}}{x^2+2}

\cfrac{x-4}{(x-1)^3(x^2+2)}=-\cfrac{1}{27(x-1)}-\cfrac{7}{9(x-1)^2}+\cfrac{5}{3(x-1)^3}+\cfrac{x+22}{27(x^2+2)}


Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz