Funkcje wymierne

Funkcja wymierna

Definicja: Funkcja wymierna

Funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci

$f(x)=\cfrac{W_n(x)}{W_m(x)}$ ,

gdzie

$W_n(x)$ - jest wielomianem stopnia $n$ ( $n \in \mathbb{N})$ ,

$W_m(x)$ - jest wielomianem stopnia $m$ ( $m \in \mathbb{N},\ W_m(x)\neq 0$ ).

Zatem funkcją wymierną jest każda funkcja, której licznikiem i mianownikiem jest pewien wielomian. Funkcje wymierne dzielimy na funkcje wymierne właściwe i niewłaściwe (podobnie jak ułamki). Jeżeli stopień wielomianu w liczniku jest większy bądź równy niż stopień wielomianu w mianowniku, to mówimy o funkcji wymiernej niewłaściwej. Jeżeli natomiast stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy niż stopień wielomianu w mianowniku, to mówimy o funkcji wymiernej właściwej.

Twierdzenie: O funkcji wymiernej niewłaściwej

Każda funkcja wymierna niewłaściwa, jest sumą pewnego niezerowego wielomianu oraz funkcji wymiernej właściwej.

Przykład:

$f(x)=\cfrac{x+1}{x^2+4x+4}$

Jest to przykład funkcji wymiernej właściwej. Stopień wielomianu w liczniku wynosi $1$ i jest niższy od stopnia wielomianu w mianowniku, który wynosi $2$ .

Przykład:

$g(x)=\cfrac{x^3+x+1}{x^2}$

Jest to przykład funkcji wymiernej niewłaściwej. Stopień wielomianu w liczniku wynosi $3$ i jest wyższy od stopnia wielomianu w mianowniku, który wynosi $2$ . Zgodnie z powyższym twierdzeniem, funkcję $g$ możemy przedstawić jako sumę pewnego wielomianu i funkcji wymiernej właściwej.

$g(x)=\cfrac{x^3+x+1}{x^2}=\cfrac{x^2 * x+x+1}{x^2}=\cfrac{x^2 * x}{x^2}+\cfrac{x+1}{x^2}=x+\cfrac{x+1}{x^2}$

UWAGA!

Najprostszym sposobem sprowadzenia funkcji wymiernej niewłaściwej, do sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej, jest podzielenie wielomianu będącego w liczniku przez wielomian będący w mianowniku. Spójrz poniżej.

$h(x)=\cfrac{x^6+2 x^4+x^2+3}{x^2+1}$

$x^4+x^2 \\ \overline{(x^6+2x^4+x^2+3)}:(x^2+1) \\-(x^6+x^4)\\ \overline{\qquad x^4+x^2}\\ \qquad{-(x^4 +x^2)}\\ \qquad \qquad \overline{{=}\ \ + 3\ \ \ \ \ \ \ \ }$

Po wykonaniu dzielenia wielomianów, otrzymujemy, że:

$h(x)=\cfrac{x^6+2 x^4+x^2+3}{x^2+1}=x^4+x^2+\cfrac{3}{x^2+1}$

Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste

Definicja: Ułamek prosty

Ułamkiem prostym nazywamy funkcję wymierną jednej z postaci:

$\cfrac{A}{(ax+b)^n}$
$\cfrac{Bx+C}{(ax^2+bx+c)^n}$

gdzie

$ax^2+bx+c$ - wielomian jest nierozkładalny, czyli wyróżnik $\Delta=b^2-4ac<0$ i $a\neq 0$ ,

$n \geq 0$ ,

$A,B,C,a,b,c \in \mathbb{R}$ .

Każda funkcja wymierna właściwa jest sumą ułamków prostych, stąd podczas całkowania funkcji wymiernych, często korzysta się z włąśnie z takiego rozkładu.

Przykład:

Przedstaw funkcję wymierną $f(x)=\cfrac{1}{(x-3)(x+4)}$ w postaci sumy ułamków prostych.

W mianowniku funkcji $f$ mamy wielomian rozłożony na czynniki stopnia pierwszego. Te czynniki będą mianownikami ułamków prostych, na które rozłożymy funkcję $f$ . Licznikami szukanych ułamków prostych będą nieznane liczby $A$ i $B$ .

$\cfrac{1}{(x-3)(x+4)}=\cfrac{A}{x-3}+\cfrac{B}{x+4}$

Aby wyznaczyć nieznane stałe $A$ i $B$ sprowadzamy wyrażenie po prawej stronie powyższego równania do wspólnego mianownika.

$\cfrac{1}{(x-3)(x+4)}=\cfrac{A(x+4)+B(x-3)}{(x-3)(x+4)}$

Wyrażenia po obu stronach mają w tym momencie ten sam mianownik. Skoro są równe, to ich liczniki także muszą być równe.

$1=A(x+4)+B(x-3)$

$1=Ax+4A+Bx-3B$

Porządkujemy wyrażenia wzlędem zmiennej $x$ .

$1=(A+B)x+4A-3B$

Porównując obie strony równania otrzymujemy:

$\left\{\begin{matrix}A+B=0&\\1=4A-3B&\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} A=-B&\\ 1=4A-3B& \end{matrix}\right.$

$1=4(-B)-3B$

$1=-4B-3B$

$1=-7B$

$B=-\frac{1}{7}$

$A=-B=\cfrac{1}{7}$

$\cfrac{1}{(x-3)(x+4)}=\cfrac{\frac{1}{7}}{x-3}+\cfrac{-\frac{1}{7}}{x+4}=\cfrac{1}{7(x-3)}-\cfrac{1}{7(x+4)}$

Przykład:

Przedstaw funkcję wymierną $g(x)=\cfrac{x-4}{(x-1)^3(x^2+2)}$ w postaci sumy ułamków prostych.

W mianowniku funkcji $g$ znajduje się czynnik $(x-1)$ w trzeciej potędze. Rozkładając funkcję $g$ dodajemy trzy ułamki proste dla czynnika $(x-1)^3$ (tzn. $\cfrac{A}{x-1}+\cfrac{B}{(x-1)^2}+\cfrac{C}{(x-1)^3}$ ) oraz jeden ułamek prosty dla czynnika $(x^2+2)$ (nie jest on podniesiony do żadnej potęgi).

$\cfrac{x-4}{(x-1)^3(x^2+2)}=\cfrac{A}{x-1}+\cfrac{B}{(x-1)^2}+\cfrac{C}{(x-1)^3}+\cfrac{Dx+E}{x^2+2}$

Następnie postępujemy jak we wcześniejszym przykładzie, tzn. ułamki proste po prawej stronie równania sprowadzamy do wspólnego mianownika.

$\tiny \cfrac{x-4}{(x-1)^3(x^2+2)}=\cfrac{A(x-1)^2(x^2+2) +B(x-1)(x^2+2)+C(x^2+2)+(Dx+E)(x-1)^3}{(x^2+2)(x-1)^3}$

Po uporządkowaniu wyrażenia w liczniku otrzymujemy:
$\tiny \cfrac{x-4}{(x-1)^3(x^2+2)}=\cfrac{(A+D)x^4+(-2A+B-3D+E)x^3+(3A-B+C+3D-3E)x^2}{(x^2+2)(x-1)^3}$

$+\cfrac{ (- 4 A+ 2 B- D+3 E ) x + (2 A- 2 B+2C-E )}{(x^2+2)(x-1)^3}$

Porównujemy współczynniki wielomianów w liczniku. Na tej podstawie otrzymujemy poniższe równania:

$\left\{\begin{matrix}A+D=0\\-2A+B-3D+E=0\\3A-B+C+3D-3E=0\\-4A+2B-D+3E=1\\2A-2B+2C-E=4\end{matrix}\right.$

Rozwiązujemy układ równań.

$\left\{\begin{matrix} D=-A \\ - 2 A+B - 3 (-A)+ E=0\\3 A- B + C + 3 (-A)- 3 E=0\\- 4 A+ 2 B- (-A)+3 E=1\\2 A- 2 B+2 C- E=4\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} D=-A \\ - 2 A+B + 3 A+ E=0\\3 A- B + C -3A- 3 E=0\\- 4 A+ 2 B+A+3 E=1\\2 A- 2 B+2 C- E=4\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} D=-A \\ A+B + E=0\\- B + C- 3 E=0\\- 3 A+ 2 B+3 E=1\\2 A- 2 B+2 C- E=4\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} D=-A \\E=-A-B\\- B + C- 3 (-A-B)=0\\- 3 A+ 2 B+3 (-A-B)=1\\2 A- 2 B+2 C- (-A-B)=4\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} D=-A \\E=-A-B\\- B + C+3A+3B=0\\- 3 A+ 2 B-3A-3B=1\\2 A- 2 B+2 C+A+B=4\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} D=-A \\E=-A-B\\ 3A+2B+C=0\\ -6A-B=1\\3A-B+2 C =4\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} D=-A \\E=-A-B\\ C=-(3A+2B)\\ B=-6A-1\\3A-B+2 C =4\end{matrix}\right.$

$3A-B+2C=4$

$3A-(-6A-1)+2(-(3A+2(-6A-1)))=4$

$3A+6A+1-2(3A-12A-2)=4$

$9A+1-6A+24A+4=4$

$27A=-1$

$A=-\cfrac{1}{27}$

$B=-6A-1=-6* (-\cfrac{1}{27})-1=-\cfrac{7}{9}$

$C=-3A-2B=-3 * (-\cfrac{1}{27})-2 * (-\cfrac{7}{9})=\cfrac{5}{3}$

$D=-A=\cfrac{1}{27}$

$E=-A-B=-(-\cfrac{1}{27})-(-\cfrac{7}{9})=\cfrac{22}{27}$

Obliczyliśmy nieznane współczynniki $A,B,C,D,E$ ułamków prostych. Możemy zatem funkcję wymierną zapisać jako ich sumę.

$\cfrac{x-4}{(x-1)^3(x^2+2)}=\cfrac{-\cfrac{1}{27}}{x-1}+\cfrac{-\cfrac{7}{9}}{(x-1)^2}+\cfrac{\cfrac{5}{3}}{(x-1)^3}+\cfrac{\cfrac{1}{27}x+\cfrac{22}{27}}{x^2+2}$