Granice funkcji.

Co to jest granica funkcji?

Badając granicę funkcji w punkcie $x_0$ określamy co dzieje się z wartościami tej funkcji ( $y$ ), gdy z jej argumentami ( $x$ ) zbliżamy się coraz bardziej do punktu $x_0$ .

zmierzać= zbliżać się coraz bardziej

Mamy dwie formalne definicje granicy funkcji w punkcie. Przedstawione są one poniżej:

Zakładamy, że:

$D_f$ - dziedzina funkcji $f$

$\{x_n\} \subset D_f$

$x_0 \in D_f$

Definicja: Granica funkcji - Heinego (ciągowa)

Funkcja $f$ ma granicę $g$ w punkcie $x_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu $\{x_n\}$ , takiego, że jego granicą jest $x_0$ , spełniony jest warunek

$\lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n)=g$

Definicja: Granica funkcji - Cauchy'ego

Funkcja $f$ ma granicę $g$ w punkcie $x_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$\forall \varepsilon >0 \exists\ \delta>0 \forall x\in D_f \ \ \ |x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-g|<\varepsilon$

Teraz popatrzymy na granice ze strony graficznej, tzn. na wykresie. Podstawowa rzecz zanim przejdziesz do obliczania granic funkcji to przypomnienie sobie dokładnie funkcji elementarnych (funkcje trygonometryczne, funkcja potęgowa, wykładnicza, wielomianowa, wymierna).

Przykład 1

a) Daną mamy funkcję: $f(x)=\cfrac{1}{2}x+3$ . Jaka jest granica tej funkcji, gdy $x$ zmierza do nieskończoności?

$\lim_{x\rightarrow +\infty} (\cfrac{1}{2}x+3)=+\infty$

Jaka jest granica tej funkcji gdy $x$ zmierza do $2$ ? Zauważ, że w tym wypadku funkcja dla argumentu $x=2$ ma określoną wartość, zatem jej granicą w tym punkcie jest właśnie ta wartość. Obliczając granicę za $x$ wstawiamy $2$ .

$\lim_{x \rightarrow 2} (\cfrac{1}{2}x+3)=4$

Granice jednostronne funkcji.

Może się zdarzyć tak, że funkcja w jednym punkcie w zależności od tego z której strony zmierzamy do tego punktu, ma różne granice. Spójrz na przykład poniżej. Znajduje się tu wykres funkcji $f(x)=\cfrac{1}{x}$ .

UWAGA!

W granicach jednostronnych oznaczamy, że zmierzamy do $x_0$ od strony lewej używając symbolu $-$ , tak jak poniżej:

natomiast od strony prawej używając symbolu $+$ :

$\lim_{x \rightarrow 0^+} \cfrac{1}{x}=+\infty$

$\lim_{x \rightarrow 0^-} \cfrac{1}{x}=-\infty$

Teraz przykład drugiej funkcji:

Dana jest funkcja $f(x)= \tan (x)$ . Odczytamy z poniższego wykresu granice jednostronne funkcji w punkcie $x=\cfrac{\pi}{2}$ :

$\lim _{x \rightarrow \cfrac{\pi}{2}^{-}}{\tan (x)}$

Gdy zbliżamy się z argumentami do wartości $x=\cfrac{\pi}{2}$ od strony lewej to wartości funkcji są coraz większe, zatem zmierzają do nieskończoności.

$\lim _{x \rightarrow \cfrac{\pi}{2}^{-}}{\tan (x)}=+\infty$

Jeżeli natomiast policzymy granicę gdy do $x=\cfrac{\pi}{2}$ zmierzamy od strony prawej, to wartości funkcji są coraz mniejsze, zatem:

$\lim _{x \rightarrow \cfrac{\pi}{2}^{+}}{\tan (x)}=-\infty$

Granice specjalne funkcji.

Obliczając granice funkcji, warto korzystać z granic specjalnych funkcji. Są to:

$\lim_{x\rightarrow 0}\cfrac{\sin x}{x}=1$

Ale uwaga!! Jeżeli $x$ zmierza do nieskończoności, to $\lim_{x \rightarrow \infty}\cfrac{\sin x}{x}=0$ .

$\lim_{x\rightarrow 0}\cfrac{\sin ax}{x}=a$

$\lim_{x\rightarrow 0}\cfrac{\tan x}{x}=1$
$\lim_{x\rightarrow 0}\cfrac{\tan ax}{x}=a$
$\lim_{x\rightarrow 0} \left( 1+x\right)^{\cfrac{1}{x}}=e$
$\lim_{x\rightarrow \pm \infty} \left( 1+\cfrac{1}{x}\right)^x=e$
$\lim_{x\rightarrow \pm \infty} \left( 1+\cfrac{a}{x}\right)^x=e^a$
$\lim_{x\rightarrow 0}\cfrac{\arctan x}{x}=1$
$\lim_{x\rightarrow 0}\cfrac{a^x-1}{x}= \ln a$ , gdy $a>0$
$\lim_{x\rightarrow 0}\cfrac{(1+x)^a-1}{x}= a$ , dla $a \in \mathbb{R}$

$\lim_{x\rightarrow 0}\cfrac{ \log_a{(1+x)}}{x}=\cfrac{1}{\ln a}$ , gdy $a>0$ i $a \neq 1$

$\lim_{x\rightarrow 0}\cfrac{ \ln{(1+x)}}{x}=1$

Kilka przykładów obliczania granic z zastosowaniem granic specjalnych:

Przykład 2

a) $\lim_{x\rightarrow 2}\cfrac{\tan (x-2)}{x-2}=1$

Ponieważ $x\rightarrow 2$ , to oznacza, że $(x-2)$ zmierza do $0$ . Argument funkcji tangens będącej w mianowniku zmierza do $0$ i mianownik także ( ponieważ jest taki sam jak argument funkcji tangens), zatem korzystając z granicy specjalnej otrzymujemy $1$ .

b) $\lim_{x\rightarrow -5}\cfrac{\sin (x+5)+\ln(x+6)}{x+5}=$

$\lim_{x\rightarrow -5} \cfrac{\sin (x+5)}{x+5}+\cfrac{ \ln(x+6)}{x+5}=$

$\lim_{x\rightarrow -5} \cfrac{\sin (x+5)}{x+5}+\cfrac{ \ln((x+5)+1)}{x+5}=1+1=2$

c) $\lim_{x\rightarrow \infty}\left(\cfrac{x+6}{x}\right)^x=\lim_{x\rightarrow \infty}\left(1+\cfrac{6}{x}\right)^x=e^6$

Reguła de L'Hospitala.

Jeżeli obliczamy granicę pewnej funkcji, i obliczając tą granicę otrzymujemy symbol nieoznaczony typu $\cfrac{\pm \infty}{\pm \infty}$ lub $\cfrac{0}{0}$ , to możemy skorzystać z Reguły de L'Hospitala, która bardzo ułatwia obliczanie granic.

Twierdzenie: Reguła de L'Hospitala

Jeżeli funkcje $f$ i $g$ są ciągłe w sąsiedztwie punktu $x_0$ oraz

$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=0$ i

$\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=0$

lub

$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\pm \infty$ i

$\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=\pm \infty$

oraz istnieje granica $\lim_{x\rightarrow x_0}\cfrac{f'(x)}{g'(x)}$ , to:

$\lim_{x\rightarrow x_0}\cfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0}\cfrac{f'(x)}{g'(x)}$

Przykład 3

$\lim_{x\rightarrow 0}\cfrac{\sin(x)}{x^2+5x}=$

Przy $x\rightarrow 0$ otrzymujemy w granicy symbol nieoznaczony $\cfrac{0}{0}$ , obie funkcje ( w liczniku i mianowniku ) są ciągłe, zatem możemy zastosować Regułę de L'Hospitala. Obliczamy pochodną licznika i pochodną mianownika:

$\lim_{x\rightarrow 0}\cfrac{\sin(x)}{x^2+5x}\overset{H}{=}\lim_{x\rightarrow 0}\cfrac{\cos(x)}{2x+5}=\cfrac{1}{5}$

Przekształcanie wyrażeń nieoznaczonym do postaci $\cfrac{ \infty}{ \infty}$ lub $\cfrac{0}{0}$ .

Mała uwaga na początek. Pamiętaj, że $\left[\cfrac{1}{\infty}\right]=0$ oraz $\left[\cfrac{1}{0}\right]=\infty$ .

Z reguły de L'Hospitala możemy korzystać tylko wtedy, gdy mamy do czynienia z symbolami nieoznaczonymi typu $\cfrac{ \infty}{ \infty}$ lub $\cfrac{0}{0}$ . Jednak możemy inne symbole nieoznaczone również do tej postaci doprowadzić przez pewne przekształcenia. Zakładamy, że:

$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) =0$

$\lim_{x \rightarrow x_0}g(x) = \infty$

$\lim_{x \rightarrow x_0} h(x) = \infty$

Przeanalizuj poniższe przekształcenia:

$0 * \infty$

$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) * g(x) = \lim_{x \rightarrow x_0} \cfrac{g(x)}{\cfrac{1}{f(x)}}=\cfrac{\infty}{\infty}$

Przykład 4

$\lim_{x\rightarrow 0}x* \ln(x)=\lim_{x\rightarrow 0}\cfrac{\ln(x)}{\cfrac{1}{x}}\overset{H}{=}\lim_{x\rightarrow 0}\cfrac{\cfrac{1}{x}}{\cfrac{-1}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow 0}(-x)=0$

$\infty -\infty$

$\lim_{x \rightarrow x_0} g(x) - h(x) =\lim_{x \rightarrow x_0} \cfrac{1}{\cfrac{1}{g(x)}}-\cfrac{1}{\cfrac{1}{h(x)}} =\lim_{x \rightarrow x_0} \cfrac{\cfrac{1}{h(x)}-\cfrac{1}{g(x)}}{\cfrac{1}{h(x)} * \cfrac{1}{g(x)}} =\cfrac{0}{0}$

Przykład 5

$\lim_{x \rightarrow \infty}x^{\cfrac{1}{x}}=\lim_{x \rightarrow \infty} e^{\ln(x^{\cfrac{1}{x}})}=\lim_{x \rightarrow \infty} e^{\cfrac{1}{x}* \ln(x) }=e^{\lim_{x \rightarrow \infty} {\cfrac{1}{x}* \ln(x) }}=e^{0}=1$

Ponieważ:

$\lim_{x \rightarrow \infty} {\cfrac{1}{x}* \ln(x) }=\lim_{x \rightarrow \infty} {\cfrac{\ln(x)}{x} } \overset{H}{=} \lim_{x \rightarrow \infty} {\cfrac{\cfrac{1}{x}}{1} }=0$

$1^{\infty}$

$\lim_{x \rightarrow x_0} 1^{g(x)}=\lim_{x \rightarrow x_0} e^{\ln1^{g(x)}}=\lim_{x \rightarrow x_0} e^ {g(x)\ln(1)}=$ $e^{\lim_{x \rightarrow x_0} g(x) * 0 }$

Przykład 6

$\lim_{x \rightarrow \infty} 1^{x^2+2x}=\lim_{x \rightarrow \infty} e^{\ln1^{x^2+2x}}=\lim_{x \rightarrow \infty} e^ {(x^2+2x)\ln(1)}=$ $e^{\lim_{x \rightarrow \infty} (x^2+2x) * 0 }=e^0=1$

Oceń czy przy obliczaniu poniższych granic można zastosować regułę de L'Hospitala:

Ćwiczenia są dostępne dla zalogowanych uzytkowników posiadających konto premium

Podstawowe własności granic funkcji.

Załóżmy, że mamy dwie funkcje $f$ i $g$ ciągłe w otoczeniu punktu $x_0$ takie, że

$\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=a$

$\lim_{x\rightarrow x_0} g(x)=b$

Są to granice skończone, tzn. nie możemy tu otrzymać $\pm \infty$ , muszą to być pewne liczby rzeczywiste:

$a,b <\infty$ - są to skończone liczby.

$c$ - liczba rzeczywista

Przy tych założeniach prawdziwe są następujące równości:

$\lim_{x \rightarrow x_0} [f(x) \pm g(x)] = a \pm b$
$\lim_{x \rightarrow x_0} cf(x) = c* a$
$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) * g(x) = a * b$
$\lim_{x \rightarrow x_0} \cfrac{f(x)}{g(x)} = \cfrac{a}{b}$ , jeżeli $g(x) \neq 0$ , $b\neq 0$ .

Zwróć jeszcze uwagę na to, że:

jeżeli $\lim_{x \rightarrow x_0}f(x) =\pm \infty$ to

$\lim_{x \rightarrow x_0} \cfrac{1}{f(x)} = 0$

Jeżeli obliczamy granicę funkcji i w liczniku otrzymujemy pewną liczbę, a cały mianownik tej funkcji zmierza do nieskończoności, to otrzymujemy symbol $\left[\cfrac{1}{\infty} \right]$ . Wynikiem jest zero.

jeżeli $\lim_{x \rightarrow x_0}f(x) =0$ to

$\lim_{x \rightarrow x_0} \cfrac{1}{f(x)} = \infty$

Jeżeli obliczamy granicę funkcji i w liczniku otrzymujemy pewną liczbę, a cały mianownik tej funkcji zmierza do zera to w granicy otrzymujemy symbol $\left[\cfrac{1}{0} \right]$ . Wynikiem jest nieskończoność.