Co to jest granica funkcji?
Badając granicę funkcji w punkcie określamy co dzieje się z wartościami tej funkcji (
), gdy z jej argumentami (
) zbliżamy się coraz bardziej do punktu
.
zmierzać= zbliżać się coraz bardziej
Mamy dwie formalne definicje granicy funkcji w punkcie. Przedstawione są one poniżej:
Zakładamy, że:
Funkcja ma granicę
w punkcie
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu
, takiego, że jego granicą jest
, spełniony jest warunek
Funkcja ma granicę
w punkcie
wtedy i tylko wtedy, gdy
Teraz popatrzymy na granice ze strony graficznej, tzn. na wykresie. Podstawowa rzecz zanim przejdziesz do obliczania granic funkcji to przypomnienie sobie dokładnie funkcji elementarnych (funkcje trygonometryczne, funkcja potęgowa, wykładnicza, wielomianowa, wymierna).
a) Daną mamy funkcję: . Jaka jest granica tej funkcji, gdy
zmierza do nieskończoności?
Jaka jest granica tej funkcji gdy zmierza do
? Zauważ, że w tym wypadku funkcja dla argumentu
ma określoną wartość, zatem jej granicą w tym punkcie jest właśnie ta wartość. Obliczając granicę za
wstawiamy
.
Granice jednostronne funkcji.
Może się zdarzyć tak, że funkcja w jednym punkcie w zależności od tego z której strony zmierzamy do tego punktu, ma różne granice. Spójrz na przykład poniżej. Znajduje się tu wykres funkcji .
W granicach jednostronnych oznaczamy, że zmierzamy do od strony lewej używając symbolu
, tak jak poniżej:
natomiast od strony prawej używając symbolu :
Teraz przykład drugiej funkcji:
Dana jest funkcja . Odczytamy z poniższego wykresu granice jednostronne funkcji w punkcie
:
Gdy zbliżamy się z argumentami do wartości od strony lewej to wartości funkcji są coraz większe, zatem zmierzają do nieskończoności.
Jeżeli natomiast policzymy granicę gdy do zmierzamy od strony prawej, to wartości funkcji są coraz mniejsze, zatem:
Granice specjalne funkcji.
Obliczając granice funkcji, warto korzystać z granic specjalnych funkcji. Są to:
Ale uwaga!! Jeżeli zmierza do nieskończoności, to
.
, gdy
, dla
, gdy
i
Kilka przykładów obliczania granic z zastosowaniem granic specjalnych:
a)
Ponieważ , to oznacza, że
zmierza do
. Argument funkcji tangens będącej w mianowniku zmierza do
i mianownik także ( ponieważ jest taki sam jak argument funkcji tangens), zatem korzystając z granicy specjalnej otrzymujemy
.
b)
c)
Reguła de L'Hospitala.
Jeżeli obliczamy granicę pewnej funkcji, i obliczając tą granicę otrzymujemy symbol nieoznaczony typu lub
, to możemy skorzystać z Reguły de L'Hospitala, która bardzo ułatwia obliczanie granic.
Jeżeli funkcje i
są ciągłe w sąsiedztwie punktu
oraz
i
lub
i
oraz istnieje granica , to:
Przy otrzymujemy w granicy symbol nieoznaczony
, obie funkcje ( w liczniku i mianowniku ) są ciągłe, zatem możemy zastosować Regułę de L'Hospitala. Obliczamy pochodną licznika i pochodną mianownika:
Przekształcanie wyrażeń nieoznaczonym do postaci lub
.
Mała uwaga na początek. Pamiętaj, że oraz
.
Z reguły de L'Hospitala możemy korzystać tylko wtedy, gdy mamy do czynienia z symbolami nieoznaczonymi typu lub
. Jednak możemy inne symbole nieoznaczone również do tej postaci doprowadzić przez pewne przekształcenia. Zakładamy, że:
Przeanalizuj poniższe przekształcenia:
Ponieważ:
Oceń czy przy obliczaniu poniższych granic można zastosować regułę de L'Hospitala:
Podstawowe własności granic funkcji.
Załóżmy, że mamy dwie funkcje i
ciągłe w otoczeniu punktu
takie, że
Są to granice skończone, tzn. nie możemy tu otrzymać , muszą to być pewne liczby rzeczywiste:
- są to skończone liczby.
- liczba rzeczywista
Przy tych założeniach prawdziwe są następujące równości:
-
-
-
-
, jeżeli
,
.
Zwróć jeszcze uwagę na to, że:
- jeżeli
to
Jeżeli obliczamy granicę funkcji i w liczniku otrzymujemy pewną liczbę, a cały mianownik tej funkcji zmierza do nieskończoności, to otrzymujemy symbol . Wynikiem jest zero.
- jeżeli
to
Jeżeli obliczamy granicę funkcji i w liczniku otrzymujemy pewną liczbę, a cały mianownik tej funkcji zmierza do zera to w granicy otrzymujemy symbol . Wynikiem jest nieskończoność.
Zobacz rozwiązanieOblicz granicę funkcji:
Zobacz rozwiązanieOblicz granicę funkcji
.
Zobacz rozwiązanieOblicz granicę funkcji
.
Zobacz rozwiązanieOblicz granicę funkcji
.
Zobacz rozwiązanieOblicz granicę funkcji
.
Zobacz rozwiązanieOblicz granicę funkcji
.
Zobacz rozwiązanieOblicz granicę funkcji
.
Zobacz rozwiązanieOblicz granicę funkcji
.
Zobacz rozwiązanieOblicz granicę funkcji
.
Zobacz rozwiązanieOblicz granicę funkcji
.
Zobacz rozwiązanieOblicz granicę funkcji
.
Zobacz rozwiązanieOblicz całkę
.
Przeczytaj także:
COMMENT_CONTENT