Dziedzina funkcji

Funkcja f przyporządkowuje elementom ze zbioru X(argumenty) elementy zbioru Y (wartości funkcji).

f: X \rightarrow Y

Wszystkie elementy zbioru X dla których funkcja f przyjmuje wartość w zbiorze Y, tworzą dziedzinę tej funkcji. Patrząc na powyższy rysunek, dziedziną funkcji f jest zbiór \{a,b,c,g,h\}.

Definicja: Dziedzina funkcji

Dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich jej argumentów.

Przykład 1

Funkcja jest przedstawiona za pomocą wykresu ( na rysunku poniżej). Na czerwono została zaznaczona dziedzina tej funkcji, czyli zbiór wszystkich x dla których funkcja przyjmuje jakąś wartość. W tym wypadku jest to przedział [-3,4]

 

Funkcja została opisana za pomocą tabeli:

Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich argumentów czyli \{1,2,3,4,5\}

Teraz zadanie dla Ciebie.  Poniżej znajduje się kilka wykresów funkcji. Sprawdź czy ich dziedzina została prawidłowo określona.

Rys.1

 

Rys.2

 

Rys.3

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Dziedzina funkcji na Rys.1 to (-3,3)
Dziedzina funkcji na Rys.2 to [-1,4]
Dziedzina funkcji na Rys.3 to (-8,8)

Wyznacz dziedzinę funkcji

Bardzo często w trakcie rozwiązywania zadania musimy zacząć od wyznaczenia dziedziny funkcji. Dziedzinę funkcji wyznaczamy po to, aby wyeliminować przypadki takich argumentów (wartości x) dla których musielibyśmy wykonać jakąś niedozwoloną operację np. dzielić przez zero. 

Najczęstsze operacje przed którymi musimy się chronić, bo są niedozwolone w matematyce to:

  • dzielenie przez zero
  • wyciąganie pierwiastka parzystego stopnia z liczby ujemnej, np \sqrt{-9} lub \sqrt[4]{-16}
  • logarytmowanie liczby ujemnej
  • umieszczanie w podstawie logarytmu liczby ujemnej lub równej 1

Jaka jest dziedzina funkcji dla...

  • funkcja liniowa np f(x) = 2x + 4 - dziedzina to zbiór liczb rzeczywistych
  • funkcja kwadratowa np f(x) = 2x^2 + 4x + 2 - dziedzina to zbiór liczb rzeczywistych
  • funkcja wielomianowa np f(x) = 2x^4 + x^3 - 4x^2 + x - 5 - dziedzina to zbiór liczb rzeczywistych
  • funkcja wykładnicza np f(x) = 5^x - dziedzina to zbiór liczb rzeczywistych
  • funkcja wymierna np f(x) = \frac{x^2 + 5}{x} - dziedzina to zbiór liczb rzeczywistych oprócz zera (mianownik nie może być równy zero)

Zadanie 1

Dziedziną funkcji, której wykres znajduje się na rysunku jest:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Dziedziną funkcji przedstawionej na poniższym rysunku jest:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Dziedziną funkcji opisanej za pomocą powyższej tabeli jest:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

 

Na rysunku został przedstawiony wykres funkcji y=f(x). Odczytaj z tego wykresu funkcji następujące wartości:

a) miejsca zerowe

b) dziedzinę

c) zbiór wartości

d) maksymalny przedział, w którym funkcja jest rosnąca

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Dziedziną wyrażenia wymiernego \cfrac{x^2+\sqrt{3}x+2}{x^3-27} jest:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego:

\cfrac{x^2+6x+7}{x^3+6x^2+12x+8}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Dziedziną wyrażenia wymiernego \cfrac{x^2+\sqrt{3}x+2}{(x-9)(x+6)} jest:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego:

\cfrac{x^2+6x-5}{(x^2+9)(x^2-3x+7)}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Narysuj wykres funkcji spełniającej następujące warunki:

1) zbiorem wartości funkcji jest zbiór [-3,5]\cup(6,7),

2) dziedziną funkcji jest zbiór [-2,6),

3) miejscami zerowymi funkcji są x=0 i x=5.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

Wyznacz dziedzinę funkcji liniowej f(x) = -7x-3, której zbiorem wartości jest przedział (15, 21).

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

Wyznacz dziedzinę następującego wyrażenia wymiernego:

\cfrac{x^2-\sqrt{3}}{(x^2-4)(x^2-8x+15)}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

Liczba rozwiazań równania \cfrac{(x-3)(x-5)(x-6)}{x^2-9x+18}=0 wynosi

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego:

\cfrac{7x^2-5}{x^3-7x^2+3x-21}

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz